河南省鄭州市金水區(qū)柳林鎮(zhèn)第二中心小學(xué) 劉敬霞

恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！边@一科學(xué)的精髓就是數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題，將抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，使抽象的問題直觀化、形象化、簡單化，并學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考和解決數(shù)學(xué)問題。

羅增儒在《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中，從信息加工角度將“數(shù)形結(jié)合”理解為：“數(shù)形結(jié)合是一種極富數(shù)學(xué)特點(diǎn)的信息轉(zhuǎn)換，數(shù)學(xué)上總是用數(shù)的抽象性質(zhì)來說明形象的事實(shí)，同時(shí)又用圖形的性質(zhì)來說明數(shù)的事實(shí)?！睌?shù)形結(jié)合既是是一種重要的數(shù)學(xué)思想也是一把解題的雙刃劍。數(shù)形結(jié)合方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在問題解決上。

一、以數(shù)解形

“以數(shù)解形”，就是利用“數(shù)”的精確揭示“形”中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，反映圖形的某些屬性。它往往借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，表示形的特征，立體圖形比較抽象，但大多可以用簡單的數(shù)來表示。

如教學(xué)五年級(jí)《長方體的認(rèn)識(shí)》時(shí)，可借助精確的“數(shù)”來表示“形”的特征。先出示6、12、8三個(gè)數(shù)字，學(xué)生從這三個(gè)數(shù)字中找找長方體的面、棱長、頂點(diǎn)的特征：6個(gè)面，12條棱，8個(gè)頂點(diǎn)。6個(gè)面中有兩個(gè)相對(duì)的面是相等的，12條棱中有4條相對(duì)的棱相等。這種認(rèn)識(shí)方式對(duì)后來求長方體的表面積、棱長之和有很大的幫助，初學(xué)時(shí)弄清所以然就避免出現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤。學(xué)生一看到6、12、8這幾個(gè)數(shù)字，就能想到長方體的各個(gè)特征，在腦子中建立起長方體的模型。教師巧妙滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，幫助學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)形結(jié)合方法解決問題的習(xí)慣，形成“數(shù)形結(jié)合”的意識(shí)，最終上升為思想。

二、以形助數(shù)

（一）利用圖形解決雞兔同籠問題

小學(xué)三年級(jí)的奧數(shù)中有雞兔同籠這類問題，對(duì)于這類問題的講解，借助“形”的直觀學(xué)生更容易理解和接受。解題中所畫的圖形，也把枯燥的奧數(shù)問題變得生動(dòng)有趣。

問題：一只雞有一個(gè)頭2只腳，一只兔有一個(gè)頭4只腳．如果一個(gè)籠子里關(guān)著的雞和兔共有10個(gè)頭和26只腳，你知道籠子里有幾只雞、有幾只兔嗎？

分析：這是古代的民間趣題，叫“雞兔同籠”問題。

①先畫10個(gè)頭：

②每個(gè)頭下畫上兩條腿：

數(shù)一數(shù)，共有20條腿，比題中給出的腿數(shù)少26-20=6條腿。

③給一些雞添上兩條腿，讓它變成兔．邊添腿邊數(shù)，湊夠26條腿。

每把一只雞添上兩條腿，它就變成了兔，顯然添6條腿就變出來3只兔．這樣就得出答案，籠中有3只兔和7只雞．

借助畫圖，只用數(shù)一下頭和腿的數(shù)量就把這么“難”的奧數(shù)問題解決了，那么誰能用自己的語言總結(jié)一下這類方法的步驟？學(xué)生在用語言描述的過程其實(shí)是對(duì)此類問題解題方法的總結(jié)，也有助于其言語思維的發(fā)展。

（二）利用圖形解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

修一條公路，第一天修了它的1/6，第二天修了它的1/8，第一天比第二天多修15千米，這條路有多長？

求此公路多長，即求單位“1”。根據(jù)“單位1×對(duì)應(yīng)分率=部分量”可知“單位1=部分量÷對(duì)應(yīng)分率”。題中，部分量是“第一天比第二天多修15千米”，那對(duì)應(yīng)分率就該是“第一天比第二天多修路程對(duì)應(yīng)的分率”，題目沒直接給出，通過圖可知=1/6-1/8。列式15÷（1/6-1/8）=360（千米），這條路長360千米。

學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)乘除法的意義模糊，數(shù)量關(guān)系混亂，不知如何下手。借助圖形就很好理清復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系。教學(xué)時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生嘗試數(shù)形結(jié)合的方法。當(dāng)它內(nèi)化為學(xué)生的意識(shí)、思想后，產(chǎn)生的正能量是不可估量的。

（三）用幾何圖形解決代數(shù)問題

輔導(dǎo)六年級(jí)的學(xué)生時(shí)，有一道題：甲正方形的邊長比乙正方形的邊長多3，乙正方形的面積比甲少63，甲乙兩個(gè)正方形的面積各是多少？

這看似一道簡單的代數(shù)問題，但用算術(shù)法不結(jié)合圖形很難找到頭緒。如果設(shè)未知數(shù)列方程呢？ 解：設(shè)乙正方形的邊長為X.

數(shù)量關(guān)系為：S甲-S乙=63(X+3)2-X2=63

二次方程是九年級(jí)的知識(shí)，六年級(jí)學(xué)生不會(huì)解，顯然這個(gè)方法行不通。下面借助直觀的圖形來解決這道題。結(jié)合圖形易知A、B的長寬都一樣，因此二者面積一樣，C其實(shí)是邊長為3的正方形。通過分析，可先求C正方形的面積為3×3=9，A、B的面積和為63-9=54，SA=SB=54÷2=27。從圖上知，A的長為27÷3=9。乙正方形的邊長為9，甲正方形的邊長為9+3=12，甲的面積為9×9=81，乙的面積為12×12=144。

通過以上幾個(gè)案例不難發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法去分析解決數(shù)學(xué)問題，可以化抽象為直觀，化繁難為簡捷。教師在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生嘗試、運(yùn)用這種方法，無形中學(xué)生分析問題和解決問題的能力就會(huì)提高。

日本數(shù)學(xué)史家米山國藏在他的著作《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》中說道：“不管他們(指學(xué)生)從事什么業(yè)務(wù)工作，即使把所教給的知識(shí)(概念、定理、法則和公式等)全忘了，唯有銘刻在他們心中的數(shù)學(xué)精神、思想和方法都隨時(shí)隨地地發(fā)生作用，使他們受益終生。”雖然小學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)很簡單，但是如何既把這些簡單的知識(shí)“傳授”給學(xué)生，又滲透給他們很好的數(shù)學(xué)思想方法，讓其在以后的人生中實(shí)現(xiàn)終身學(xué)習(xí)和可持續(xù)發(fā)展，是需要一定的理論指導(dǎo)和實(shí)踐探索的。