白雪峰??

在中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，如何有效促進學(xué)生思維水平的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，提高他們發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，是值得數(shù)學(xué)教師們認(rèn)真思考和深入研究的重要問題.通過對每年中考試題進行整理、歸類、分析和研究，挖掘其中優(yōu)秀試題所蘊涵的特點，探究其多種解法或證法，并進行適度延伸和拓展，或可使我們對解題教學(xué)獲得更為鮮活和有益的啟示.

下面筆者就以2013年蘇州市初中暨升學(xué)考試試卷第27題第（1）問為例，談?wù)剬?shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的認(rèn)識.

問題已知：如，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是邊AB上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連接DE并延長DE交BC的延長線于點F.

（1）求證：BD=BF.

（2）略.1本題特點

上述問題是一個證明線段相等的問題，此類問題是平面幾何中的基本問題，具有以下三個特點：

首先，這類問題是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何入門基本功的重要題型.本題考查基本知識全面，在下面所給出的幾種證明方法中應(yīng)用到了對頂角、余角、全等三角形、相似三角形等相關(guān)概念，同時還用到了圓周角定理、弦切角定理以及切線長定理等知識.

其次，它是培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)的典型問題.在證明本題的過程中，利用了多種添加輔助線的方法，證明方法的多樣性很自然地考查了學(xué)生思維的靈活性和廣泛性.同時，多種不同證法中都蘊含著數(shù)學(xué)中同一種重要的解題思想，即轉(zhuǎn)化的思想.轉(zhuǎn)化思想不僅是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式.

第三，它是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的基礎(chǔ)問題.本題具有一定的生成性，可以通過“分裂”角平分線為“等角線”將本題進行適度地拓展和延伸.2證法賞析所謂轉(zhuǎn)化思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而達到解決的一種方法.下面，一起欣賞幾種不同的證法，感受轉(zhuǎn)化思想的魅力.

證法1如，連接OE，

因為AC是⊙O的切線，切點為E，

所以O(shè)E⊥AC，∠OEA=90°.

因為∠ACB=90°，

所以∠AEO=∠ACB，

所以O(shè)E∥BC，

所以∠OED=∠F.

因為OE=OD，

所以∠OED=∠ODE，

所以∠F=∠ODE，

所以BD=BF.

說明解決圓中有關(guān)線段相等的問題，可以利用切線，連接半徑，形成直角三角形，構(gòu)造出一組平行線，進而通過形成等腰三角形證明兩條線段相等是一個基本思路，也是添加輔助線的常用手段.此種思路能將證明線段相等的問題轉(zhuǎn)化為證明兩角相等的問題.

證法2如，連接BE，

因為AC與⊙O相切于點E，

所以∠BEC=∠BDE.

因為BD為⊙O的直徑，

所以∠DEB=∠FEB=90°.

又因為∠ACB=∠ACF=90°，

所以∠CEF與∠EFC互為余角，

所以∠CEF與∠BEC互為余角，

所以∠EFC=∠BEC.

所以∠EFC=∠BDE，

即∠BFD=∠BDE，

所以BD=BF.

說明連接BE，構(gòu)成直徑上的圓周角（直角），同時形成弦切角∠BEC，從而將∠BDF與∠BFD相等的問題轉(zhuǎn)化為∠BDE與∠BEC相等的問題，進一步利用“同角的余角相等”這一知識得到結(jié)論.

證法3如，作EH⊥BD于H，延長EH交⊙O于G.

因為BD為⊙O的直徑，

所以GD=DE.

因為AC與⊙O相切于點E，

所以∠GED=∠AED.

又因為∠AED=∠FEC，

所以∠GED=∠FEC，

即∠HED=∠FEC.

因為∠ACB=90°，

所以∠EHD=∠ECF=90°.

所以Rt△EHD∽Rt△ECF，

所以∠EDH=∠EFC，

即∠BDF=∠BFD，

所以BD=BF.

說明過點E作直徑BD的垂線，構(gòu)造Rt△DHE，通過證明它與Rt△FCE相似，得到∠BDE與∠BFD，從而得到等腰△BDF，進而證得BD=BF.

證法4如，過點D作⊙O的切線DG，

與⊙O的切線AC相交于點G，

則有GD=GE，∠GDE=∠GED.

因為BD為⊙O的直徑，

所以∠GDB=90°.

所以∠GDE與∠BDF互為余角.

因為∠ACB=∠ACF=90°，

所以∠FEC與∠BFD互為余角.

又因為∠GED=∠FEC，

所以∠BDF=∠BFD，

所以BD=BF.

說明上述證明方法通過過點D作⊙O的切線，與已知切線AC交于點G，形成了切線長定理的條件，得到了一組相等的角∠GDE=∠GED，再通過對頂角相等和同角的余角相等相關(guān)知識，把問題轉(zhuǎn)化，從而得證.

證法5如，連接BE.

因為AC與⊙O相切于點E，

所以∠BDE=∠BEC.

因為BD為⊙O的直徑，

所以∠BED=90°.

又因為∠ACB=90°，

所以∠BED=∠ACB=90°.

所以Rt△BED∽Rt△BCE.

所以∠1=∠2.

在Rt△BED和Rt△BEF中，

因為∠1=∠2，BE為公共邊，

所以Rt△BED≌Rt△BEF.

所以BD=BF.

說明利用全等三角形的知識來證明兩條線段相等也是一種基本思路.在上述證明過程中，在利用弦切角定理證明了∠BDE與∠BEC相等后，通過相似三角形的知識得到∠1=∠2，這為證明Rt△BED與Rt△BEF的全等創(chuàng)造了重要條件.

證法6如，過點B作⊙O的切線BG，

與⊙O的切線AC的延長線相交于點G，連接BE.

則有GB=GE，∠GBE=∠GEB.

因為BD為⊙O的直徑，

所以∠GBD=90°，

所以∠1與∠GBE互為余角.

因為EC⊥BC，

所以∠2與∠GEB互為余角，

所以∠1=∠2.

以下與證法5相同.

說明上述證明中將輔助線的添加改為過點B作⊙O的切線BG，與⊙O的切線AC的延長線相交于點G，從而利用切線長定理得到等腰△BEG，這與證法4異曲同工.

證法7如，設(shè)BC與⊙O相交于點G，

連接DG，BE.

因為BD為⊙O的直徑，

所以∠BGD=90°.

又因為∠ACB=90°，

所以DG∥AC.

又因為AC與⊙O相切于點E，

所以DE=EG，

所以∠1=∠2.

以下與證法5相同.

說明上述證明中通過添加輔助線將∠1與∠2相等的問題轉(zhuǎn)化為它們所對的弧相等的問題，再利用圓周角定理使問題得證.3適度拓展

如，將⊙O的切線AC變化成與它平行的割線，原切點E分裂為割點（割線AC與⊙O的交點）E1、E2，相應(yīng)的點F則分裂為點F1、F2，BF變化為BF1、BF2.

那么原結(jié)論BD=BF會有怎樣的變化呢？

事實上，可以猜想結(jié)論為：BD2=BF1··BF2.

經(jīng)過驗證，猜想成立，從而得到下面的拓展問題：

拓展問題已知：如，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D是邊AB上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相交于點E1、E2，連接DE1、DE2并延長與BC的延長線交于點F1、F2.

求證：BD2=BF1·BF2.0

證明如0，設(shè)BC與⊙O相交于點G，

連接DG.

因為BD為⊙O的直徑，

所以∠BGD=90°.

又因為∠ACB=90°，

所以DG∥AC.

又因為直線AC與⊙O相交于點E1、E2，

所以DE1=GE2.

連接BE1和BE2，

所以∠DBE1=∠E2BF2.

因為BD為⊙O的直徑，

所以∠BE1D=∠BE1F1=90°，∠BE2D=∠BE2F2=90°.

所以Rt△BE1D∽Rt△BE2F2，

所以BE1BE2=BDBF2.①

又在Rt△BE2D與Rt△BE1F1中，

易證∠DBE2=∠E1BF1.

所以Rt△BE2D∽Rt△BE1F1，

所以BE2BE1=BDBF1.②

①與②兩式相乘得到1=BD2BF1·BF2，

所以BD2=BF1·BF2.

說明在上述原問題的拓展過程中，核心的變化是將∠DBF的平分線BE分裂為∠DBF的內(nèi)等角線BE1、BE2，從而得到關(guān)鍵條件∠DBE1=∠E2BF2.事實上，還可以將內(nèi)等角線BE1、BE2繼續(xù)繞著點B反向同步旋轉(zhuǎn)，演變成外等角線，從而將問題做進一步的拓展推廣，有興趣的讀者可以嘗試研究此時結(jié)論會發(fā)生怎樣的變化.

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)科學(xué)建立和發(fā)展的靈魂，也是分析和解決數(shù)學(xué)問題的核心.在解題教學(xué)中，教師要在注重基礎(chǔ)知識和基本技能訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，強調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，使學(xué)生在解題活動中深刻體驗和感悟數(shù)學(xué)思想的魅力.在上述問題的解決過程中，主要利用的就是轉(zhuǎn)化（化歸）的數(shù)學(xué)思想，將證明線段相等的問題轉(zhuǎn)化為證明兩個三角形全等、構(gòu)造等腰三角形等問題，這一數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的基本套路，也是研究平面幾何問題的精髓.綜觀上述平面幾何問題的多種證明和拓展推廣過程，師生可以深切體會到一道優(yōu)秀題目的真正意義和教育價值，那就是此類問題中所凸顯的證明思路的廣泛性、具體證法的多樣性和蘊含思想的深刻性，以及在研究并解決這一問題的整個過程中對師生思維深度和廣度的啟發(fā)性和引領(lǐng)性.

參考文獻

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作者簡介白雪峰，男，1972年生，北京人，中學(xué)高級教師，北京市優(yōu)秀教師，北京市特級教師，北京數(shù)學(xué)會理事.主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)和中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究工作.現(xiàn)任北京教育學(xué)院朝陽分院教師專業(yè)發(fā)展中心主任、中學(xué)數(shù)學(xué)培訓(xùn)教師.在全國中學(xué)數(shù)學(xué)青年教師教學(xué)觀摩與評比中獲一等獎，主持或參與了國家、市區(qū)多個課題的研究工作，多篇論文獲得全國和北京市一等獎.近年主編或參編10余部論著，發(fā)表數(shù)學(xué)教學(xué)論文30余篇.