陳麗萍　彭思言　呂慧明

【摘要】比利時數(shù)學家丹德林于1822年就已給出了平面截圓錐生成截口曲線為橢圓的證明方法。用丹德林的方法可以證明，用一個平面去截圓柱，得到的截口曲線也是橢圓。本文在其基礎上，更進一步，尋找到了橢圓中的定值與截面和圓柱之間明確的數(shù)量關系。此結論對于中學生進一步學習橢圓有很大的幫助。

【關鍵詞】橢圓 常數(shù) 影響因素

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）03-0253-02

我們已經(jīng)熟知，平面內到兩定點距離之和等于常數(shù)（大于兩定點間的距離）的點的軌跡叫做橢圓。橢圓與科研、生產以及人類的生活有著密切的關系。例如，天體中一些行星運行的軌道是橢圓，一些電影放映燈泡反射鏡面的橫截面就是橢圓的部分。又如在圓柱形的試管中盛一半水，將試管傾斜一個角度，水面的邊界就是橢圓。

那么，水面的邊界為什么就是一個橢圓呢？我們可以從實際問題中抽象出數(shù)學模型，然后做進一步的研究?？蓪⒃嚬艹橄蟪蓤A柱體，將水面抽象成一個平面，水面的邊界就是平面與圓柱體相交生成的截面曲線。如圖1所示：

我們不妨先做一些預備工作。如果將一個球放入圓柱內，且它的半徑與圓柱面的底面半徑相等，那么球與圓柱的交線為一個圓，就說該球與圓柱相切。如圖2，我們把兩個球O1，O2放入圓柱內，使他們位于平面α的兩側，且每一個球既與圓柱相切，又與平面α相切，像這樣的球稱為丹德林球。已知球O1，O2與平面α分別切于點F1和點F2，取截面曲線C上任意一點P，連接PF1，PF2。過點P的圓柱的母線交圓MM1于F1'，交圓NN1于F2'。由于PF1， PF1'同是球O1的切線，所以有PF1= PF1' ，同理PF2= PF2'

F1' F2' 為一常數(shù)，且大于F1 F2，由橢圓的定義，可知平面斜截圓柱面時，生成的截面曲線是橢圓[1]。

我們只知道F1' F2' 的長度為一常數(shù)，這一常數(shù)與截面和圓柱的哪些要素有關呢？是否有具體的數(shù)量關系呢？不妨在圖2的基礎上做一些輔助線，得到圖3：

通過圖3可知，F(xiàn)1' F2' = MN，因此我們只需再研究常數(shù)MN 的長度與截面和圓柱的哪些要素有關。為簡化圖形，抽取出平面MO1O2N ，標出相應的點和線，得到圖4。其中A為橢圓長軸與圓柱母線的一個交點，不難得到一定的數(shù)量關系和位置關系。設圓柱面的底面圓半徑為R，則有 O1 M=O1 F1=O2 F2=O2 N=R，還有 O1 F1⊥AF1，O2 F2⊥AF2。接下來，再設平面與圓柱面的軸所成的角為β，即∠NAF2=β ，由三角形全等易知，。

通過上式，我們知道平面斜截圓柱生成截口曲線為橢圓中的這一常數(shù)與圓柱的底面半徑有關，還與圓柱母線和截平面的夾角有關，它們之間存在著明確的數(shù)量關系。當二者為一定值時，截口曲線上任意一點到兩定點的距離之和為一常數(shù)，所以截口曲線為橢圓。用控制變量法可進一步分析，用平面去斜截兩個底面不同的圓柱，當截平面與圓柱母線的夾角相同時，圓柱底面半徑大的這一常數(shù)就大，反之，圓柱底面半徑小的這一常數(shù)就小。如果用不同平面斜截同一個圓柱，此時圓柱母線與截平面的夾角不相同，根據(jù)正弦函數(shù)的特點，不妨只看二者所形成的那個較小的角。夾角在，夾角小的對應的常數(shù)值反而大，夾角大的對應的常數(shù)值反而小。如果圓柱的底面半徑不同，夾角也不同，那么就要通過具體的數(shù)量關系計算了。

參考文獻

[1] 普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》A版選修1-1.北京：人民教育出版社，2007年2月第三版