田鈺

【摘 要】學(xué)生在初中的學(xué)習(xí)中已了解直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，并知道可以利用直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及圓心與直線(xiàn)的距離d與半徑r的關(guān)系判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，但是，在初中學(xué)習(xí)時(shí)，利用圓心與直線(xiàn)的距離d與半徑r的關(guān)系判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的方法卻以結(jié)論性的形式呈現(xiàn). 而高中人教版教材中這部分內(nèi)容，是在原有的基礎(chǔ)知識(shí)上再加深拓展。在高一學(xué)習(xí)了解析幾何以后，要考慮的問(wèn)題是如何掌握由直線(xiàn)和圓的方程判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的方法。解決問(wèn)題的方法主要是幾何法和代數(shù)法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);直線(xiàn)與圓;位置;關(guān)系

直線(xiàn)與圓位置關(guān)系這章節(jié)要求學(xué)生掌握直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定，因?yàn)樗潜締卧幕A(chǔ)，如：“切線(xiàn)的判斷和性質(zhì)定理”是在它的基礎(chǔ)上研究的，也是高中解析幾何中研究“直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系”的基礎(chǔ)。在對(duì)性質(zhì)和判定的研究中，既要有歸納概括能力，又要有轉(zhuǎn)換思想和能力，所以是本節(jié)的難點(diǎn)。另外對(duì)“相切”要分清直線(xiàn)與圓有唯一公共點(diǎn)是指有一個(gè)并且只有一個(gè)公共點(diǎn)，與有一個(gè)公共點(diǎn)含義不同，這一點(diǎn)到直線(xiàn)和曲線(xiàn)相切時(shí)很重要，學(xué)生較難理解。

一、直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的判斷

直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)比較簡(jiǎn)單，直線(xiàn)與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，那么直線(xiàn)和圓相交;直線(xiàn)和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，那么直線(xiàn)和圓相切;直線(xiàn)和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)， 那么直線(xiàn)和圓相離。

例如：設(shè)圓C的方程x2+y2-2x-2y-2=0，直線(xiàn)l的方程（m+1）x-my-1=0，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，圓C與直線(xiàn)l的位置關(guān)系是 ? ? ? 。

分析：求出直線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn)，確定點(diǎn)與圓心的距離與半徑的關(guān)系，推出結(jié)論。

解：由直線(xiàn)l的方程（m+1）x-my-1=0，可得m（x-y）+x-1=0，直線(xiàn)恒過(guò)（1，1）點(diǎn)，

圓C的方程x2+y2-2x-2y-2=0，的圓心（1，1），所以圓C與直線(xiàn)l的位置關(guān)系是：相交。

故答案為：相交。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，還考查了轉(zhuǎn)化思想，將直線(xiàn)與圓的位置，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓的位置來(lái)解決。

二、圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)距離

求圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)距離，學(xué)生在遇到?jīng)]見(jiàn)過(guò)的題目時(shí)，往往不知道從何下手，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離即點(diǎn)到直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)，何時(shí)達(dá)到最大或最小值，要引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、猜測(cè)、驗(yàn)證、下結(jié)論。

例如：圓x2+y2=1上的點(diǎn)到直線(xiàn)3x+4y-25=0的距離的最小值是 ? ?。

分析：先看圓心到直線(xiàn)的距離，結(jié)果大于半徑，可知直線(xiàn)與圓相離，進(jìn)而可知圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最小距離為圓心到直線(xiàn)的距離減去圓的半徑。解：圓心（0，0）到直線(xiàn)的距離為：=1，∴圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最小距離為：5-1=4。

故答案為：4。

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系。考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化和化歸的思想。

又如：圓x2+y2-2x-2y+1=0上的點(diǎn)到直線(xiàn)x-y=2的距離的最大值是（ ? ）

A.2 B.1+ C.2 D.1+2

分析：此題考查解析幾何初步中的圓和直線(xiàn)的相關(guān)知識(shí)、點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式、數(shù)形結(jié)合能力和等價(jià)轉(zhuǎn)化能力;圓x2+y2-2x-2y+1=0上的點(diǎn)到直線(xiàn)x-y=2的距離的最大值是：圓心到直線(xiàn)的距離加上半徑，此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-1）2+（y-1）2=1，圓心是（1，1），半徑是1，所以dmax=+1=+1，所以選B。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，當(dāng)考查圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離問(wèn)題，基本思路是：先求出圓心到直線(xiàn)的距離，最大值時(shí)，再加上半徑，最小值時(shí)，再減去半徑。

三、截距相等問(wèn)題

截距相等問(wèn)題，首先考慮截距都為0的情況，截距不為0時(shí)要考慮符號(hào)必須相同，截距不同于距離，距離是非負(fù)的，而截距可以是負(fù)的。

例如：與圓（x-3）2+（y-3）2=8相切，且在x、y軸上截距相等的直線(xiàn)有（ ? ）

A.4條 B.3條 C.2條 D.1條

分析：與圓（x-3）2+（y-3）2=8相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)，必有過(guò)原點(diǎn)的2條直線(xiàn)，還有斜率為-1的兩條直線(xiàn)。

解：由圓的方程（x-3）2+（y-3）2=8，可得圓心坐標(biāo)為C（3，3），半徑是r=2，由|OC|==3>r，故原點(diǎn)在圓外。當(dāng)所求直線(xiàn)的方程的截距為0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，顯然有兩條直線(xiàn)滿(mǎn)足題意。當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)所求直線(xiàn)的方程為：x+y=a（a≠0）。

則圓心到直線(xiàn)的距離d==e=2，由此求得a=2，或a=10，由于滿(mǎn)足題意a的值有2個(gè)，所以滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)有2條。

綜上可得，與圓（x-3）2+（y-3）2=8 相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)中，過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)有兩條，斜率為-1的切線(xiàn)也有兩條;共4條。

故選A。

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生理解直線(xiàn)與圓相切時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式解決實(shí)際問(wèn)題。

四、直線(xiàn)與圓相交

例如：若直線(xiàn)l與圓（x+1）2+（y-2）2=100相交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為（-2，3），則直線(xiàn)l的方程為 ? 。

分析：由圓的方程找出圓心C的坐標(biāo)，連接圓心與弦AB的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的逆定理得到此直線(xiàn)與直線(xiàn)l垂直，根據(jù)兩直線(xiàn)垂直時(shí)斜率的乘積為-1，由圓心與弦AB中點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率，求出直線(xiàn)l的斜率，再由直線(xiàn)l過(guò)AB的中點(diǎn)，即可得到直線(xiàn)l的方程。

解：由圓（x+1）2+（y-2）2=100，得到圓心C的坐標(biāo)為（-1，2），由題意得：圓心C與弦AB中點(diǎn)的連線(xiàn)與直線(xiàn)l垂直，

∵弦AB的中點(diǎn)為（-2，3），圓心C的坐標(biāo)為（-1，2），

∴圓心與弦AB中點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率為=-1，

∴直線(xiàn)l的斜率為1，又直線(xiàn)l過(guò)（-2，3），

則直線(xiàn)l的方程為y-3=x+2，即x-y+5=0。

故答案為：x-y+5=0。

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查直線(xiàn)方程的求法，正確處理直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系時(shí)解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力。

本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，是為后面的圓與圓的位置關(guān)系作鋪墊的一節(jié)課。本節(jié)的主題是直線(xiàn)和圓，在解析幾何中，直線(xiàn)與圓的關(guān)系是一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，可以對(duì)學(xué)生的思維有一個(gè)很好的鍛煉。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉耀忠.例談求直線(xiàn)方程的常用方法[J].新高考（高一語(yǔ)數(shù)外）;2011年Z1期

[2]周棟梁.“顯而易見(jiàn)”下的缺失——《直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系》聽(tīng)課后的感想[J].中學(xué)數(shù)學(xué)2013年02期

（作者單位：江蘇省姜堰中學(xué)）