李文明

具有能量采集驅(qū)動的MIMO廣播信道和多址接入信道最優(yōu)傳輸方案

李文明

提出了一個(gè)新穎的方法來獲得具有能量采集驅(qū)動的節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)傳輸方案，結(jié)合凸優(yōu)化理論探索了多輸入多輸出（MIMO：multi-input multi-output）廣播信道（BC：broadcasting channel）和MIMO多址接入信道（MAC：multi-access channel）網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中最優(yōu)傳輸，設(shè)計(jì)了低復(fù)雜度的上下行對偶性嵌套優(yōu)化算法、阻塞協(xié)作迭代提升算法獲得信道傳輸中最大化的總吞吐量并研究所提出算法的實(shí)時(shí)、在線操作。其方案將對未來能量采集驅(qū)動的MIMO BC和MIMO MAC通信網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供理論指導(dǎo)。

能量采集；廣播信道；多址接入信道；功率分配；凸優(yōu)化；迭代；高能效通信

0 引言

在新興的能量采集網(wǎng)絡(luò)中，帶有可采集能量裝置和可充電能量裝置的無線設(shè)備可以從外界環(huán)境中采集可再生能源（如太陽能、風(fēng)能等）進(jìn)行通信。由于這些再生資源在本質(zhì)上是間歇性的，導(dǎo)致收集到的能量中可供使用的能量額不均勻地改變，例如，總長為10秒的傳輸時(shí)段內(nèi)，能量2、3、7、8焦分別在時(shí)刻0、2、5、9秒被采集，如圖1所示：

圖1 能量因果性限制條件下的最優(yōu)通信策略

因此，在能量采集驅(qū)動模型中需要加入能量因果性限制條件（ECC：energy causality constraint）：使用的總能量不能超過目前所采集的總能量；傳統(tǒng)通信中的最優(yōu)策略因而無法實(shí)現(xiàn)。若進(jìn)一步考慮存儲所采集能量的電池的有限容量的影響，探求EH驅(qū)動無線通信的最佳策略顯然將遇到許多新問題、新難點(diǎn)。

在這些新型限制條件下，文獻(xiàn)[1]-[5]研究了點(diǎn)對點(diǎn)、BC、MAC、中繼及干擾信道模型中 EH節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)傳輸策略問題。其中，點(diǎn)對點(diǎn)鏈路中EH節(jié)點(diǎn)在靜態(tài)（時(shí)不變）及時(shí)變衰落信道中的最佳通信策略問題已進(jìn)行了大部分的研究和探討。而對其它多點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)模型的研究卻還僅局限于單天線[10][11]及時(shí)不變信道等簡單場景。另外，現(xiàn)有方法不具有良好的可擴(kuò)展性，難以應(yīng)用于多天線、多用戶、時(shí)變信道下的通用場景。

本文分別研究了MIMO BC和MIMO MAC系統(tǒng)吞吐量最大化的最優(yōu)（離線）傳輸策略。通過結(jié)合上下行對偶性并引入“嵌套凸優(yōu)化”方法，我們證明了本文的最優(yōu)MIMO BC調(diào)度問題能轉(zhuǎn)化為等效的“點(diǎn)對點(diǎn)”鏈路最優(yōu)功率分配的凸問題，再通過凸優(yōu)化理論得到MIMO BC系統(tǒng)中的原問題的最優(yōu)解。

與只有一個(gè)能量采集驅(qū)動發(fā)送端的點(diǎn)對點(diǎn)廣播通信情況不同，MAC中有多個(gè)發(fā)送端通過多址接入系統(tǒng)收集能量，而這些多個(gè)能量采集過程會對用戶的傳輸策略產(chǎn)生耦合影響，因此，針對MAC系統(tǒng)提出了一個(gè)“阻塞協(xié)助提升迭代算法”來避開這些耦合影響，在每次迭代過程中通過固定部分用戶的能量來獲得某一個(gè)用戶的最優(yōu)功率分配值，進(jìn)而將相應(yīng)的問題也轉(zhuǎn)化為類似BC中等效的“點(diǎn)對點(diǎn)”鏈路最優(yōu)功率調(diào)度問題，從而可通過具有線性計(jì)算復(fù)雜度的基于注水的“繃弦算法”來獲得原問題的解。連續(xù)的通過優(yōu)化其他用戶的功率分配，不斷增加總的吞吐量，即能保證我們提出的方案收斂到一個(gè)全局最優(yōu)功率分配解，從而獲得全局最優(yōu)MIMO MAC策略。

1 廣播信道模型

考慮一個(gè)通用MIMO BC系統(tǒng)，在發(fā)送端有Nt根發(fā)送天線，K 個(gè)用戶中每個(gè)用戶都有 Nr根接收天線。表示從第發(fā)射端到第個(gè)用戶的信道協(xié)方差矩陣，則用戶k接收的復(fù)基帶信號表達(dá)式如公式（1）：

其中x(t)表示在時(shí)刻t的發(fā)送矢量信號表達(dá)式，zk(t)為附加零均值復(fù)高斯噪聲信號表達(dá)式，其相應(yīng)的Nr天線數(shù)量相關(guān)矩陣為I。發(fā)送的信號為信號發(fā)送到單獨(dú)用戶的求和，即(t ?？偟陌l(fā)送相關(guān)矩陣則為，其中半正定為用戶k的發(fā)送相關(guān)矩陣?？偟陌l(fā)送功率為其中tr(·)為跡運(yùn)算。

假定發(fā)送端為理想狀態(tài)信息的信道，MIMO BC的信道容量可以通過臟紙編碼（DPC ：dirty paper coding）獲得，則在該編碼中所有用戶均可連續(xù)編碼使得被編碼的用戶對已編碼用戶沒有干擾影響。令則對于給定的發(fā)送功率P ，通過DPC得到的MIMO BC的容量區(qū)域?yàn)楣剑?）：

其中表示凸包，該集合包含所有用戶指數(shù)集的排列，而

1.1 上下行鏈路對偶性

根據(jù)上下行對偶性，MIMO BC的加權(quán)吞吐量最大化可轉(zhuǎn)化為相同總功率限制下如圖2所示：

圖2 MIMO廣播信道與其對偶多址接入信道

其“對偶”MAC的加權(quán)吞吐量最大化問題。

在對偶MAC中，接收信號表達(dá)式如公式（3）：

其中 xk(t)表示用戶k在時(shí)刻t的發(fā)送矢量信號表達(dá)式，z(t)為附加零均值復(fù)高斯噪聲信號表達(dá)式，其相應(yīng)的Nr天線數(shù)量相關(guān)矩陣為I。表示用戶k的發(fā)送相關(guān)矩陣，為K個(gè)用戶收集的能量集。令，則對于給定的P，MAC容量區(qū)域?yàn)楣剑?）：

在文章[8]中的上下行對偶性證明了公式(2)中BC容量區(qū)域等效于 MAC中滿足所有功率矢量條件下容量區(qū)域的聯(lián)合，即公式（5）：

1.2 能量采集驅(qū)動過程

假定發(fā)送端沒有持續(xù)的功率供應(yīng)。取而代之的是通過嵌入的可收集能量裝置機(jī)器和可充電電池，從而提供發(fā)送端從外界環(huán)境中收集到可再生能源并存儲到電池中供后續(xù)使用。在初始時(shí)刻(t0=0)可利用能量為E0。在整個(gè)傳輸階段[0, T]，假定有 N-1能量分別在時(shí)刻到達(dá)。為方便起見，表示兩個(gè)連續(xù)的能量到達(dá)時(shí)刻間隔，稱為時(shí)元。則第i個(gè)時(shí)元的長度為 Li=ti-t-1i， i=1,…,N 。很明顯可以得到0＜ Ei≤Emax，i =0,1,…, N - 1, k=1,…, K否則超出的能量 Ei-Emax不能儲存到電池里，所以可以取值到

1.3 理想情況下傳播

其中C1表示能量因果性限制，即目前累計(jì)消耗的能量不能超過累計(jì)采集的能量，C2表示最少能量使用限制，即目前累計(jì)消耗的能量需要達(dá)到一定的量，防止能量溢出。

根據(jù)上下行對偶性，我們可證明：

引理1：嚴(yán)格凹函數(shù) R(Pi)可通過以下凸函數(shù)問題的最優(yōu)值來獲得如公式（7）：

其中 π是用戶 {1…,K,的指數(shù)排列：

則可用 R(Pi)將最優(yōu)廣播問題轉(zhuǎn)化為等效“點(diǎn)對點(diǎn)”鏈路的最優(yōu)總功率分配問題如公式（8）：

當(dāng)EN=Emax時(shí)，tN時(shí)刻的最少能量使用限制條件和因果性限制條件會使得，即所有收集到的能量都必須在最后使用完。

1.4 凸優(yōu)化及最優(yōu)條件

若用P*表示方程(8)的最優(yōu)解，Λ*表示對應(yīng)的最優(yōu)拉格朗日乘子。定義。根據(jù)Karush-Kuhn-Tucker (KKT)最優(yōu)條件[7]，可得：?i，公式（9）

1.5 最優(yōu)用戶功率分配

在引理1已證明 R(Pi)為嚴(yán)格凹函數(shù)，令 R'(Pi)表函數(shù) R(Pi)的偏導(dǎo)數(shù)，很顯然， R'(Pi)是關(guān)于 Pi的嚴(yán)格遞減函數(shù)。令 R'-1表示 R'的反函數(shù)，由方程(22)可得到考慮函數(shù)R(Pi)的嚴(yán)格凹性， R'-1(Pi)關(guān)于 Pi嚴(yán)格遞減。因此，也為關(guān)于θi的遞減函數(shù)，再根據(jù)方程(10)-(11)的互補(bǔ)松弛條件，我們能推斷：

引理2：最優(yōu)功率 P僅在某時(shí)刻tn（如能量因果性限制條件或最少使用限制條件收緊處）發(fā)生改變。特別地，若在時(shí)刻tn處則該時(shí)刻過后功率會增大；若在時(shí)刻tn處則該時(shí)刻過后功率會減小。

算法1基于繃弦功率算法

算法1的核心部分是FirstChangeP函數(shù)，該函數(shù)表示在系統(tǒng)的最優(yōu)方案中，第一次功率改變時(shí)刻tτ、在該時(shí)刻之前使用的功率P，以及該時(shí)刻前消耗的總能量E。在該函數(shù)中，τ+和τ-為第一次時(shí)刻發(fā)生改變的兩個(gè)候選時(shí)元指數(shù)，而P+和P-則分別表示維持在時(shí)元段和的候選功率。

1.6 在線算法探索

假定時(shí)不變信道H已知，收集能量過程通過隨機(jī)泊松分布模擬，其中在時(shí)域T內(nèi)到達(dá)的能量數(shù)服從均值為λe的泊松分布，而該能量數(shù)在每次到達(dá)時(shí)都是獨(dú)立同分布的，均值為[9]。假定λe和已知。

為了確定算法1中t0=0時(shí)刻最優(yōu)總功率的值，我們需要計(jì)算出每個(gè) tn時(shí)刻和的值。調(diào)用，其中當(dāng)初始能量 E0已知時(shí)，所有的 Ei,i = 1,… ,n-和 Li,i = 1,…,n都是未知的信息，在實(shí)際中是很難預(yù)先知道的。即表示為在時(shí)間段(0, tn)收集的總能量，其中。給定λe和，可得公式（14）：

利用公式(15)-(16)中的估計(jì)值，我們將同算法1一樣應(yīng)用功率繃弦方法產(chǎn)生在t0時(shí)刻第一個(gè)發(fā)送功率值，這些功率一直使用到新的能量到達(dá)時(shí)刻t1，接著我們將把t1當(dāng)做新的“t0”，并將初始能量E0更新為未消費(fèi)的新收集能量E1。依據(jù)公式（15）-（16），再次執(zhí)行算法來產(chǎn)生下一個(gè)發(fā)送功率值。該過程一直持續(xù)到所有能量用盡或到達(dá)傳輸時(shí)段T末端。

2 多接入信道模型

根據(jù)第2節(jié)提出的上下行對偶MIMO MAC系統(tǒng)。假定每個(gè)用戶通過獨(dú)立的能量采集過程補(bǔ)充功率，令用戶k的電池容量為Emax,k，在初始時(shí)刻(t0=0)可利用能量為E0,k。在整個(gè) 傳輸階 段 [0T, ，假定 有 N-1能量分別在時(shí)刻到達(dá)。目標(biāo)方程為最大用戶吞吐量權(quán)重和如公式（17）：

引理3：嚴(yán)格凹函數(shù) R(Pi)可通過以下凸函數(shù)問題的最優(yōu)值來獲得公式（18）：

則可用 R(Pi)將公式(17)轉(zhuǎn)化為以下功率分配問題如公式（19）：

同理可將方程(19)轉(zhuǎn)化為一個(gè)凸問題。根據(jù)凸優(yōu)化理論，最優(yōu)解 Pi*和最優(yōu)拉格朗日乘子 Λ*的充分必要最優(yōu)條件為：

以及：?n,?k，如公式（21）、（22）

由于R(Pi)給出的不是封閉解，通過一般的解凸優(yōu)化方程法很難找到滿足方程（20）-（22）的關(guān)于方程（19）的全局最優(yōu)解 {}。依據(jù)方程（20）-（22）的特殊結(jié)構(gòu)，我們將提出一個(gè)低復(fù)雜度的阻塞協(xié)調(diào)提升算法來獲得{}。

2.1 最優(yōu)用戶功率分配

與點(diǎn)對點(diǎn)廣播傳輸不同的是，在MAC信道中，每個(gè)用戶都有其獨(dú)立的能量因果性限制和最少使用限制集，而這K組能量采集限制集在最優(yōu)用戶傳輸策略中又有著相互的耦合影響。為了繞開該耦合帶來的困難，我們將采取一系列凸優(yōu)化方式，如：每次迭代過程中我們通過固定用戶k以外的所有用戶的功率來求得單個(gè)用戶k的最優(yōu)功率分配值。

若用Pi,-k表示功率集 Pi中用戶k以外所有用戶的功率集，則可得。令q表示迭代指數(shù)，而和，分別為Pi,k和拉格朗日乘子在第q次迭代中的最優(yōu)值。在功率計(jì)Pi,-k固定的條件下，可由方程（20）得到公式（23）：

同理，由方程（21）-（22）可直接得到公式（24）、（25）：

公式（23）-（25）正好對應(yīng)于在用戶k與接收點(diǎn)之間的等效“點(diǎn)對點(diǎn)”鏈路總吞吐量最大化問題的KKT條件。而第二節(jié)中的低復(fù)雜度“繃弦”算法可以用來獲得 {}。如果考慮其他用戶發(fā)送的信號，可歸為在優(yōu)化MIMO MAC編碼中的噪聲。因此，盡管本模型中MIMO MAC物理信道是時(shí)不變的，但該等效的“點(diǎn)對點(diǎn)”鏈路的結(jié)果是通過固定其他用戶的功率值來獲得的，而在每次迭代過程中，其他用戶由于其不同的信號功率可能會引入不同的噪聲水平，因而該信道實(shí)際上也是“時(shí)變”的。固我們應(yīng)該采用一個(gè)基于“繃弦”的水柱算法來找到 {}。

引理4：1) 用戶k的最優(yōu)功率值{}解的形式可由注水形似給出：，其中注水因子

基于引理 4揭示的內(nèi)容，我們將進(jìn)一步提出一個(gè)基于“繃弦”注水算法。令和分別表示：在第q次迭代中，使得用戶k在tn時(shí)刻時(shí)隙n的能量因果性限制條件和最少使用限制條件收緊的注水因子常量。給定時(shí)刻tn之前的注水因子ω，而為給定的在時(shí)隙i中用戶k的功率。因此，對的值能通過以下方程解出公式（26）：

算法2基于繃弦注水算法

同理算法2中的FirstChange函數(shù)表示第一次水柱改變時(shí)刻tτ及在該時(shí)刻之前使用的注水因子（與算法1中的功率P相對應(yīng)）。兩個(gè)候選的注水因子將以的形式更新。

2.2 阻塞協(xié)調(diào)提升迭代算法

算法3阻塞協(xié)調(diào)提升迭代算法

算法3中的每第q次迭代，都將調(diào)用算法2中的基于繃弦的注水算法，連續(xù)的一個(gè)接一個(gè)優(yōu)化用戶發(fā)送功率。根據(jù)，再逐次通過引理3的方法計(jì)算出方程(18)中的 R()，進(jìn)而求出總吞吐量并和上一次迭代求出的總吞吐量進(jìn)行比較，直到吞吐量的增量小于容忍度時(shí)迭代終止。由于算法3實(shí)際上服從經(jīng)典的阻塞協(xié)調(diào)提升思想，所以它能收斂到一個(gè)局部最優(yōu)。因?yàn)楣?19)是一個(gè)凸問題，則每一個(gè)局部最優(yōu)都將是全局最優(yōu)，即算方法3將使公式（19）收斂到一個(gè)全局最優(yōu)的 P*。一旦獲得 P*，再通過公式（18）和≡,?i ,k,我們將最終找到MIMOMAC中最優(yōu)發(fā)送相關(guān)矩陣{}。

2.3 在線算法探索

用解耦“功率繃弦”方法得到近似最優(yōu)結(jié)果，該思路激勵我們提出一個(gè)探索式的在線方案。假定時(shí)不變信道H已知，每個(gè)用戶收集到的能量通過隨機(jī)泊松過程模擬，其中在時(shí)域T內(nèi)到達(dá)的能量數(shù)服從均值為λe的泊松分布，而該能量數(shù)在每次到達(dá)時(shí)都是獨(dú)立同分布的，均值為。假定λe和已知。當(dāng)初始能量 E0,k,?k已知時(shí)，所有的都是未知的信息，在實(shí)際中是很難預(yù)先知道的。則公式（27）、（28）：

3 仿真結(jié)果

設(shè)定一個(gè)只有K=2用戶的時(shí)不變MIMO BC，數(shù)據(jù)傳輸時(shí)長T=100s。權(quán)重矢量w=[1,1]，在信道矩陣Hk(k=1,2)中的每一個(gè)元素都是零均值復(fù)高斯隨機(jī)變化的單位變量。發(fā)送端的電池容量為 Emax= 100焦耳。假定發(fā)送端隨機(jī)能量采集過程的設(shè)定可通過一個(gè)均值同為λe的隨機(jī)泊松過程來模擬，每次能量到達(dá)的數(shù)量服從均值為50焦耳獨(dú)立同分布。

平均吞吐量與λe如圖3所示：

圖3 BC中不同能量達(dá)到概率λe下平均吞吐量

在分別設(shè)定（Nt, Nr）為（2,2）和（4,2）時(shí)的對比情況，每一組結(jié)果都是取50次隨機(jī)產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)情況的平均值。圖3中加入了離線最優(yōu)功率繃弦算法和提出的在線方案，為了進(jìn)行對比，我們還加入對比了兩組其他可行方案：滿足因果性方案（ECP：energy causality policy）和最少能量使用方案(ENP：energy non-overflow policy)，這兩組方案分別是通過總是選取發(fā)送功率滿足其下一組因果性和最少能量使用限制條件來獲得。提出的離線最優(yōu)算法在所有λe值下都能取得理想的吞吐量值，也明顯優(yōu)于在線最有算法。圖3中也很明顯看出當(dāng)發(fā)送天線數(shù)量增倍時(shí)，MIMO BC的總速率也顯著提升了。

在設(shè)定（Nt, Nr）為（2,2），λ=0.1,0.2,0.3,0.4時(shí)，算法2在每次迭代后的平均吞吐量如圖4所示：

圖4 吞吐量與迭代次數(shù)

則算法2的快速收斂性顯而易見，經(jīng)過3到4次迭代之后就能收斂到最優(yōu)值。

不同方案下平均吞吐量與λe的對比情況，如圖5所示：

圖5 MAC中能量到達(dá)概率λe下平均吞吐量

其中每一組結(jié)果都是通過40次隨機(jī)產(chǎn)生試驗(yàn)次數(shù)來獲得的。我們比較了算法4和解耦的功率繃弦方案的性能，同時(shí)我們也加入對比了ECP和ENP方案。從圖5中我們也能有趣的發(fā)現(xiàn)，對于解耦的功率繃弦方案，每個(gè)用戶只需要其能量采集信息，就能獲得接近最優(yōu)吞吐量基準(zhǔn)值99%的結(jié)果。另一方面，滿足因果性方案和非溢出方案在已知下一組（非因果）能量到達(dá)信息條件下也能獲得較優(yōu)的吞吐量值，而相比最優(yōu)基準(zhǔn)值會有接近0.3比特/秒的相差量。本文提出的在線方案盡管僅知每個(gè)用戶所需的因果信息，但在所有λe情況下也能獲得接近最優(yōu)總吞吐量85%的好結(jié)果。

4 總結(jié)

本節(jié)提出了一個(gè)新穎的算法來獲得MIMO BC和MIMO MAC在有能量采集驅(qū)動的理想電路環(huán)境下最優(yōu)傳輸方案。該方案能以低復(fù)雜度計(jì)算離線最優(yōu)解，能為未來無線通信網(wǎng)絡(luò)中帶能量采集驅(qū)動的數(shù)據(jù)傳輸實(shí)踐案例提供最優(yōu)基準(zhǔn)參考。文中也提出了基于最優(yōu)策略的在線方案。

[1]Yang J. and Ulukus S., Optimal packet scheduling in an energy harvesting communication system[J].IEEE Trans. Commun., 2012,60(1):220-230.

[2]Ho C. and Zhang R.Optimal energy allocation for wireless communications with energy harvesting constraints[J]. IEEE Trans. Signal Process,2012,60(9):4808-4818.

[3]Ozel O., Jing Y., Ulukus S.Optimal broadcast scheduling for an energy harvesting rechargeable transmitter with a finite capacity battery[J]. IEEE Trans. Wireless Commun.,2012,11( 6):2193-2203.

[4]Yang J. and Ulukus S.Optimal packet scheduling in a multiple access channel with energy harvesting transmitters[J]. J. Commun. Netw,2012,14(2):140-150.

[5]Tutuncuoglu K. and Yener A.The energy harvesting multiple access channel with energy storage losses[J]. Proc. ITW, 2012.

[6]Tutuncuoglu K. and Yener A. Optimum transmission policies for battery limited energy harvesting nodes，”[J].IEEE Trans. Wireless Commun.,2012, 11(3):1180-1189.

[7]Yang J. and Ulukus S.Optimal packet scheduling in an energy harvesting communication system[J].IEEE Trans. Commun.,2012, 60(1):220-230.

[8]Vishwannath S., Jindal N., and Goldsmith A.Duality. Achievable rates, and sum rate capacity of Gaussian MIMO broadcast channels[J]. IEEE Trans. Inf. Theroy, 2003,49(10):2658-2668.

[9]Xu J. and Zhang R.Throughput optimal policies for energy harvesting wireless transmitters with non-ideal circuit power[J]. to appear in IEEE J. Sel. Areas Commun..

[10]Boyd S. and Vandenberghe L., Convex Optimizatio[M], Cambridge University Press,2004.

[11]Zafer M. and Modiano E..A calculus approach to minimum energy transmission policies with quality of service guarantees[J]. Proc. INFOCOM,2005, 1:548–559.

Optimal Transmission Policy for Energy-harvesting Powered MIMO Broadcasting and Multi-access Channels

Li Wenming
(Department of Communication Science and Engineering, Fudan University, Shanghai 200433, China)

This paper develops a novel approach to obtain optimal transmission strategy for the energy-harvesting node. With convex optimization tools, it explores optimal transmission for MIMO BC and MIMO MAC network models, and provides a low-complexity uplink-downlink duality “nested optimization” method and iterative block coordinate ascent algorithm to obtain the optimal transmission policies that maximize the weighted sum-throughput, and it researches their online implementations for practical energy harvesting communication systems. The proposed approach will provide theoretic guidelines for practical designs of the future energy-harvesting MIMO BC and MIMO MAC communication networks.

Energy Harvesting; BC; MAC; Power Control; Convex Optimization; Iteration

TN919.1

A

2014.06.05）

1007-757X(2015)05-0054-07

李文明（1989-），男，湖北，復(fù)旦大學(xué)通信科學(xué)與工程系，碩士研究生，研究方向：無線通信網(wǎng)絡(luò)中的能量收集，上海，200433