余樹寶

二項分布與正態(tài)分布是常見的隨機變量概率分布模型，也是高考理科數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容之一. 縱觀歷年的高考試題，有關(guān)二項分布與正態(tài)分布的問題，尤其是二項分布的問題經(jīng)常在解答題中出現(xiàn)，因此重視此類問題的解決非常重要.

重點難點

重點：理解n次獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ图岸椃植?，并能解決一些簡單的實際問題；了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

難點：正確判斷隨機變量的概率分布模型；正確應(yīng)用二項分布、正態(tài)分布等有關(guān)知識解決生產(chǎn)、生活中的實際問題.

方法突破

1. 判斷隨機變量的概率分布是否為二項分布模型，首先要判斷隨機試驗是否為獨立重復(fù)試驗，此時就要看每次試驗的條件是否相同，如果不同，那么某事件發(fā)生的次數(shù)X不會服從二項分布.

因此，二項分布只有事件滿足以下條件時才能適用：

（1）每次試驗的結(jié)果只有一種并且是相互對立的，如正面或反面，活著或死亡等.

（2）如果某一事件發(fā)生的概率為p，那么其對立事件發(fā)生的概率為1-p. 在實際計算中，p是從大量觀察中獲得的比較穩(wěn)定的數(shù)值.

（3）在相同的條件下進行n次試驗，并且每次試驗的結(jié)果是相互獨立的，即每次試驗的結(jié)果是不會受到其他試驗結(jié)果影響的，就像要求疾病無家族性、無傳染性等.

2. 二項分布B（n，p）中有兩個參數(shù)，一個是獨立重復(fù)試驗的總次數(shù)n，另一個是每次試驗中某事件A發(fā)生的概率p. 正確解決二項分布問題首先要準確地確定好這兩個量.

3. 若隨機變量X∽B（n，p），則P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n），它恰好是（q+p）n的二項展開式中的第k+1項（其中q=1-p），故名二項分布. 其分布列為：

其數(shù)學(xué)期望與方差可直接由E（X）=np，D（X）=np（1-p）來進行計算，這樣可以大大減少運算量，提高解題速度.

4. 正態(tài)分布由參數(shù)μ，σ唯一確定，如果隨機變量ξ∽N（μ，σ2），那么根據(jù)定義有：μ=E（ξ），σ=D（ξ）. 正態(tài)曲線具有以下性質(zhì)：

（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交，曲線與x軸之間的面積為1.

（2）曲線關(guān)于直線x=μ對稱，且曲線在x=μ處達到峰值■.

（3）當x<μ時，曲線上升；當x>μ時，曲線下降. 并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近.

（4）當μ一定時，曲線的形狀由σ確定. σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法理解以上四條性質(zhì)并進行解題非常關(guān)鍵和有效.

典例精講

■例1 （2014年高考遼寧卷） 一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖1所示.

■圖1

將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立.

（1）求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；

（2）用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）.

思索 此題（2）問中的X是服從二項分布的，原因是題設(shè)中告訴我們每天的銷售量相互獨立，且由（1）問知“每天的銷售量不低于100個”發(fā)生的概率為0.6，符合二項分布的應(yīng)用條件，可判定X是服從二項分布的. 于是由P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，n）可求X取每一個值的概率，從而進一步得到分布列. 其數(shù)學(xué)期望與方差可直接由E（X）=np，D（X）=np（1-p）進行計算，方便快捷.

破解 （1）設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個且另1天銷售量低于50個”. 因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，P（A2）=0.003×50=0.15，P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108.

（2）X可能取的值為0，1，2，3，相應(yīng)的概率分別為：P（X=0）=C03·（1-0.6）3=0.064，P（X=1）=C13·0.6（1-0.6）2=0.288，P（X=2）=C23·0.62（1-0.6）=0.432，P（X=3）=C33·0.63=0.216.

故X的分布列為：

■

因為X∽B（3，0.6），所以期望E（X）=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（1-0.6）=0.72.

■例2 某人參加射擊，擊中目標的概率是■.

（1）設(shè)ξ1為他射擊6次擊中目標的次數(shù)，求隨機變量ξ1的分布列；

（2）設(shè)ξ2為他射擊1次擊中目標的次數(shù)，求隨機變量ξ2的分布列；

（3）設(shè)η為他第一次擊中目標時所需要射擊的次數(shù)，求η的分布列；

（4）若他連續(xù)射擊6次，設(shè)X為他第一次擊中目標前射擊的次數(shù)，求X的分布列；

（5）設(shè)他只有6顆子彈，若他擊中目標，則不再射擊，否則子彈打完，求他射擊次數(shù)Y的分布列.

思索 此題有五個小問，涉及五個隨機變量，其中（1）中的變量ξ1服從的是二項分布，因為6次射擊相當于6次獨立重復(fù)試驗，每次試驗“擊中目標”的概率都是■，所以射擊6次擊中目標的次數(shù)ξ1服從二項分布；（2）問中ξ2服從的是兩點分布（又稱0-1分布），關(guān)于兩點分布與二項分布的關(guān)系，事實上，兩點分布是一種特殊的二項分布，即是n=1的二項分布；其他三個小問中變量η，X，Y服從的不是二項分布，它們雖然都表示射擊的次數(shù)，但它們各自表示的意義是不一樣的，所以解題時要正確理解.endprint

破解 （1）隨機變量ξ1服從二項分布B6，■，則P（ξ=k）=C■■■k·■6-k（k=0，1，2，3，4，5，6），故ξ1的分布列為：

■

■

（2）隨機變量ξ2服從兩點分布B1，■，故ξ2的分布列為：

■

（3）設(shè)η=k，表示他前k-1次未擊中目標，而在第k次射擊時擊中目標，則η的取值為全體正整數(shù)1，2，3，…，則P（η=k）=■k-1·■ （k=0，1，2，3，…）. 故η的分布列為：

■

（4）設(shè)X=k表示前k次未擊中目標，而第k+1次擊中目標，X的取值為0，1，2，3，4，5，當X=6時，表示射擊6次均未擊中目標，則P（X=k）=■k·■（k=0，1，2，3，4，5），而P（X=6）=■6. 故X的分布列為：

■

（5）設(shè)Y=k，表示前k-1次未擊中，而第k次擊中，k=1，2，3，4，5，所以P（Y=k）=■k-1·■（k=1，2，3， 4，5）；而Y=6表示前5次未擊中，第6次可以擊中，也可以未擊中，所以P（Y=6）=■5. 故Y的分布列為：

■

■例3 如果X∽B20，■，則使P（X=k）取最大值的k的值是_______.

思索 問題的解決沒有必要分別求出X取0，1，2，…，20時的概率，如果那樣做的話，運算量顯然是巨大的. 應(yīng)該去考慮比值■=■·■=1+■，當k<（n+1）p-1時，P（X=k+1）>P（X=k），即概率隨k值的增大而增大；當k>（n+1）p-1時，P（X=k+1）

破解 由已知可得■=■=■×■≥1，得k≤6. 所以當k≤6時，P（X=k+1）≥P（X=k）；當k>6時，P（X=k+1）

■例4 在某市組織的一次數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的成績近似地服從正態(tài)分布N（60，100），已知成績在90分以上的學(xué)生有13人.

（1）求此次參加競賽的學(xué)生總數(shù)共有多少人；

（2）若計劃獎勵競賽成績排在前228名的學(xué)生，問：受獎學(xué)生的分數(shù)線是多少？

思索 我們知道，正態(tài)密度函數(shù)φμ，σ（x）=■e■，若X∽N（μ，σ2），則對于任意a>0，P（μ-a

破解 設(shè)學(xué)生的得分為隨機變量X，X∽N（60，100），則μ=60，σ=10.

（1）P（3090）=■[1-P（30

（2）成績排在前228名的學(xué)生數(shù)占總數(shù)的0.0228. 設(shè)分數(shù)線為x0，則P（X≥x0）=0.0228，所以P（120-x0

變式練習(xí)

1. 甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽采取五局三勝制，無論哪一方先勝三局則比賽結(jié)束，假定甲每局比賽獲勝的概率均為■，則甲以3∶1的比分獲勝的概率為（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

2. 在高三的一個班中，有■的學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，若從班中隨機找出5名學(xué)生，那么數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)ξ～B5，■，則使P（ξ=k）取最大值的k的值為（ ）

A. 0？搖？搖？搖？搖？搖？搖 B. 1？搖？搖 ？搖C. 2 ？搖？搖 D. 3

3. 已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)fi（x）=■e■（x∈R，i=1，2，3）的圖象如圖2所示，則（ ）

A. μ1<μ2=μ3，σ1=σ2>σ3？搖？搖

B. μ1>μ2=μ3，σ1=σ2<σ3

C. μ1=μ2<μ3，σ1<σ2=σ3？搖？搖

D. μ1<μ2=μ3，σ1=σ2<σ3

■

圖2

4. 某籃球隊與其他6支籃球隊依次進行6場比賽，每場均決出勝負，設(shè)這支籃球隊與其他籃球隊比賽勝場的事件是獨立的，并且勝場的概率是■.

（1）求這支籃球隊首次勝場前已經(jīng)負了兩場的概率；

（2）求這支籃球隊在6場比賽中恰好勝了3場的概率；

（3）求這支籃球隊在6場比賽中勝場數(shù)的期望和方差.

5. 在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績X服從正態(tài)分布，即X∽N（100，100），已知滿分為150分.

（1）試求考試成績X位于區(qū)間（80，120]內(nèi)的概率；

（2）若這次考試共有2000名考生參加，試估計這次考試及格（不小于90分）的人數(shù).

參考答案

1. A 2. B 3. D

4. （1）■ （2）■

（3）E（X）=6×■=2，D（X）=6×■×1-■=■.

5. （1）0.9544 （2）1683人 ■