趙銀倉++王健

隨機(jī)抽樣是研究如何合理收集數(shù)據(jù)，而用樣本估計(jì)總體則是研究如何整理與分析數(shù)據(jù)，從樣本的數(shù)據(jù)特征來了解整體的情況，由于樣本的隨機(jī)性，所以可以透過部分看整體. 在學(xué)習(xí)這一部分知識(shí)時(shí)，要通過實(shí)際問題情境，學(xué)習(xí)隨機(jī)抽樣、樣本估計(jì)總體的基本方法，體會(huì)用樣本估計(jì)總體及其特征的思想；通過解決實(shí)際問題，較為系統(tǒng)地經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集與處理的全過程，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異. 由于抽樣方法與用樣本估計(jì)總體所體現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)思想是一種重要的思想方法，所以這部分成為高考每年必考的內(nèi)容.

重點(diǎn)難點(diǎn)

隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體要求在解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中，用隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本，進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想，會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征；初步體會(huì)樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機(jī)性.

在歷年高考中，該部分知識(shí)在選擇題、填空題和解答題中都有出現(xiàn)，考查的方向主要有抽樣方法的選擇，繪制、識(shí)別頻率分布表和頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，并能應(yīng)用這些圖表解決一些簡單實(shí)際問題.

重點(diǎn)：掌握抽樣方法的特點(diǎn)及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，面對(duì)實(shí)際問題能合理選擇抽樣方法抽取樣本；繪制頻率分布表和頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，會(huì)計(jì)算方差和標(biāo)準(zhǔn)差，并能計(jì)算樣本平均數(shù)，還能進(jìn)一步解釋這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的實(shí)際意義.

難點(diǎn)：實(shí)際問題中抽樣方案的確定；頻率分布表和頻率分布直方圖的理解與應(yīng)用，如計(jì)算平均數(shù)等.

方法突破

1.？搖隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體的基本思路

（1）簡單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：總體中個(gè)體性質(zhì)相似，無明顯層次；總體容量較小，尤其是樣本容量較?。挥煤唵坞S機(jī)抽樣方法抽出的個(gè)體帶有隨機(jī)性，個(gè)體間無固定間距.

系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)：適用于元素個(gè)數(shù)很多且均衡的總體，各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等；總體分組后，在起始部分抽樣時(shí)，采用簡單隨機(jī)抽樣.

分層抽樣的特點(diǎn)：適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況；分層后，在每一層抽樣時(shí)可采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣.

（2）作頻率分布直方圖的步驟：①求極差；②確定組距和組數(shù)；③將數(shù)據(jù)分組；④列頻率分布表；⑤畫頻率分布直方圖.

（3）標(biāo)準(zhǔn)差與方差：標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏離程度，所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一致的，但在解決實(shí)際問題時(shí)，一般多用標(biāo)準(zhǔn)差.

2. 隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體的基本策略

（1）理解抽樣方法的區(qū)別與聯(lián)系

簡單隨機(jī)抽樣是系統(tǒng)抽樣與分層抽樣的基礎(chǔ)，是一種等概率的抽樣，由定義應(yīng)抓住以下特點(diǎn)：它要求總體個(gè)數(shù)較少；它是從總體中逐個(gè)抽取的；它是一種不放回抽樣.

系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，號(hào)碼序列一確定，樣本即確定了，但要求總體中不能含有一定的周期性，否則其樣本的代表性是不可靠的，甚至?xí)?dǎo)致明顯的偏向.

（2）分析總體特征，選擇合理的抽樣方法. 抽樣方法經(jīng)常交叉使用，比如系統(tǒng)抽樣中的第一均衡部分，可采用簡單隨機(jī)抽樣，分層抽樣中，若每層中的個(gè)體數(shù)量仍很大時(shí)，則可輔之以系統(tǒng)抽樣.

（3）準(zhǔn)確繪制頻率分布表和頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖. 通過頻率分布表和頻率分布直方圖可以對(duì)總體作出估計(jì)，這就依賴于繪制圖表的準(zhǔn)確性.在計(jì)數(shù)和計(jì)算時(shí)一定要準(zhǔn)確，在繪制小矩形時(shí)，寬窄要一致，這樣才能使繪制的頻率分布圖表準(zhǔn)確地反應(yīng)實(shí)際問題.

（4）理解估計(jì)總體的有關(guān)概述并熟記有關(guān)公式. 若取值x1，x2，…，xn的頻率分別為p1，p2，…，pn，則其平均值為x1p1+x2pn+…+xnpn. 若取值x1，x2，…，xn的平均數(shù)為■，方差為s2，則ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均數(shù)為a■+b，方差為a2s2.

典例精講

■例1 （2013年高考陜西卷）某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法，抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，…，840隨機(jī)編號(hào)，則抽取的42人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481，720]的人數(shù)為（ ）

A. 11 B. 12 C. 13 D. 14

思索 當(dāng)總體中所含的個(gè)體數(shù)比較大，并且個(gè)體間沒有顯著差異，被抽取的概率一樣時(shí)，采用系統(tǒng)抽樣法. 本題從840中用系統(tǒng)抽樣抽取42人，則每20人為一組，每組抽取一人. 因此只需要按等間隔抽取規(guī)則求出編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481， 720]的組數(shù)，并且還要弄清首未兩組是否為全體.

破解 根據(jù)從編號(hào)1開始，每20人一組等距分組規(guī)則，第1組的編號(hào)區(qū)間為[1，20]，第2組的編號(hào)區(qū)間為[21，40]，以此類推，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481，720]的為第24組至第35組的全體，共有12組，所以抽取的42人中， 編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481，720]的人數(shù)為12人，故選B.

■例2 （2014年高考廣東卷）已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和圖2所示. 為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（ ）

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圖1 圖2

A. 200，20？搖 B. 100，20？搖？搖？搖？搖

C. 200，10 ？搖？搖 D. 100，10

思索 由于中小學(xué)生的年齡差異明顯，因而近視情況的差異很大，所以選用分層抽樣方法. 本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的實(shí)際應(yīng)用，問題的關(guān)鍵是識(shí)圖，讀懂題目給出的圖表，明白其中數(shù)據(jù)的意義.

破解 根據(jù)題中的圖可知，該地區(qū)中小學(xué)生一共有10000人，因?yàn)橐槿?%的學(xué)生，所以樣本容量是10000×2%=200. 因?yàn)楦咧猩慕暵蕿?0%，所以抽取的高中生近視的人數(shù)為2000×2%×50%=20. 故選A.endprint

■例3 （2014年高考北京卷）從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖（如圖3）.

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圖3

（1）從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率；

（2）求頻率分布直方圖中的a，b的值；

（3）假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組.（只需寫出結(jié)論）

思索 本題要能夠讀懂頻數(shù)分布表及直方圖，明確圖表中每個(gè)數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)意義：頻數(shù)分布表以2小時(shí)為單位分組，直方圖中矩形的高為頻率與組距的比，寬為閱讀時(shí)間，面積為閱讀時(shí)間在該范圍的頻率，直方圖中小矩形的面積和為1. 從頻率分布直方圖來估計(jì)平均值，等于直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

破解 （1）根據(jù)頻數(shù)分布表，100名學(xué)生中課外閱讀時(shí)間不少于12小時(shí)的學(xué)生共有6+2+2=10（名），所以樣本中的學(xué)生課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的頻率是1-■=0.9. 故從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，估計(jì)其課外閱讀時(shí)間少于12小時(shí)的概率為0.9.

（2）課外閱讀時(shí)間落在組[4，6）內(nèi)的有17人，頻率為0.17，所以a=■=■=0.085. 課外閱讀時(shí)間落在組[8，10）內(nèi)的有25人，頻率為0.25，所以b=■=■=0.125.

（3）由頻數(shù)分布圖中的數(shù)據(jù)可得平均數(shù)為■=0.06×1+0.08×3+0.17×5+0.22×7+0.25×9+0.12×11+0.06×13+0.02×15+0.02×17=7.68，所以樣本中的100名學(xué)生課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第4組.

■例4 （2014年高考湖南卷）某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩個(gè)小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下：（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b）. 其中a，a分別表示甲組研發(fā)成功和失?。籦，b分別表示乙組研發(fā)成功和失敗.

（1）若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品，則給該組記1分，否則記0分. 試計(jì)算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成績的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平.

（2）若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品，試估計(jì)恰有一組研發(fā)成功的概率.

思索 本題綜合考查隨機(jī)樣本的收集，用樣本的平均數(shù)與方差估計(jì)總體. 根據(jù)規(guī)定用1和0來表示研發(fā)的成功與失敗，將隨機(jī)抽取的研發(fā)結(jié)果轉(zhuǎn)化為關(guān)于反映甲、乙成績的兩組數(shù)值，計(jì)算它們的平均值與方差，以此來比較它們的研發(fā)水平.

破解 （1）甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，

1，其平均數(shù)為x甲=■=■，方差為s2甲=■1-■？搖2×10+0-■？搖2×5=■.

乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，其平均數(shù)為x乙=■=■，方差為s2乙=■1-■？搖2×9+0-■？搖2×6=■.

因?yàn)閤甲>x乙，s2甲

（2）記E={恰有一組研發(fā)成功}.在所抽得的15個(gè)結(jié)果中，恰有一組研發(fā)成功的結(jié)果是（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），（a，b），共7個(gè)，故事件E發(fā)生的頻率為■. 將頻率視為概率，即得所求概率為P（E）=■.

變式練習(xí)

1. （2014年高考天津卷）某大學(xué)為了了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查. 已知該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為4∶5∶5∶6，則應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取________名學(xué)生.

2. 為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，在全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，把每個(gè)班級(jí)參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù). 已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互相不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為________.

3. 以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分），已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為________.

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圖4

4. （2014年高考廣東卷）某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表：

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（1）求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差；

（2）以十位數(shù)為莖，個(gè)位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖；？搖？搖？搖？搖？搖

（3）求這20名工人年齡的方差.

5. （2014年高考重慶卷）20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖5所示.

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圖5

（1）求頻率分布直方圖中a的值；

（2）分別求出成績落在[50，60）與[60，70）中的學(xué)生人數(shù)；

（3）從成績?cè)赱50，70）的學(xué)生中任選2人，求此2人的成績都在[60，70）中的概率.

參考答案

1. 60 2. 10 3. 5，8

4. （1）眾數(shù)為30，極差為21.

（2）略 （3）12.6

5. （1）據(jù)直方圖知組距為10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=■=0.005.

（2）成績落在[50，60）中的學(xué)生人數(shù)為2×0.005×10×20=2. 成績落在[60，70）中的學(xué)生人數(shù)為3×0.005×10×20=3.

（3）記成績落在[50，60）中的2人為A1，A2，成績落在[60，70）中的3人為B1，B2，B3，則從成績?cè)赱50，70）的學(xué)生中任選2人的基本事件共有10個(gè)，即（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）. 其中2人的成績都在[60，70）中的基本事件有3個(gè)，即（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）. 故所求概率為P=■. ■