金石

回歸分析與獨立性檢驗是常見的統(tǒng)計方法，這部分內(nèi)容多出現(xiàn)在高考試題中，更是近幾年高考的熱點. 此部分知識主要考查同學(xué)們的統(tǒng)計基本思想及初步應(yīng)用，試題難度為中等偏上.

重點難點

重點：理解回歸分析、獨立性檢驗的基本思想及實施步驟.

難點：回歸分析中殘差變量的解釋與分析，相關(guān)系數(shù)、指標(biāo)R2的理解；獨立性檢驗中隨機(jī)變量K2的含義.

方法突破

（1）回歸分析中重點考查的是對兩個線性相關(guān)關(guān)系的變量的研究，具體步驟是：①畫散點圖；②利用最小二乘法求回歸直線方程中的■=■=■，■=■-■■；③用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報.

（2）首先要充分理解獨立性檢驗原理. 獨立性檢驗原理指的是在一個已知假設(shè)下，如果一個與該假設(shè)矛盾的小概率事件發(fā)生，就判斷這個假設(shè)不成立，且該推斷犯錯誤的概率不超過這個小概率. 在解決具體問題時通過計算隨機(jī)變量K2=■的觀測值k（注意公式中a，b，c，d，a+c，b+d，a+b，c+d在2×2列聯(lián)表中的位置），并且在臨界值表格中找到滿足k≥k0的臨界值k0，那么犯錯誤的概率不超過k0對應(yīng)的P（k≥k0）即為判斷犯錯誤的概率，從而得出有多大的把握認(rèn)為兩個分類變量有關(guān).

典例精講

■例1 某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

■

根據(jù)上表可得回歸方程■=■x+■中的■=9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為（ ）

A. 63.6萬元 ？搖 B. 65.5萬元？搖？搖

C. 67.7萬元 ？搖 D. 72.0萬元

思索 由于回歸直線過樣本點的中心（■，■），所以利用所給數(shù)據(jù)求出■，■，將其帶入回歸方程中，求出■，從而得出回歸直線方程；再令x=6，求得■的值即為本題的答案.

破解 由已知可得■=■=3.5，■=■=42，所以樣本點的中心為（3.5，42），且■=9.4. 由此得■=■-■■=42-9.4×3.5=9.1. 所以回歸直線方程為■=9.4x+9.1. 當(dāng)x=6時，■=65.5萬元，故選B.

■例2 某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：

■

■

（1）求y關(guān)于t的線性回歸方程；

（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

■=■，■=■-■■.

思索 利用所給數(shù)據(jù)和回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式求出■，■，進(jìn)而得到回歸直線方程. 利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，可以從正負(fù)相關(guān)及該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入每年變化幅度方面加以說明. 預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入，可將2015年的年份代號9代入所求的回歸直線方程求出■即可.

破解 （1）由所給數(shù)據(jù)計算得■=■（1+2+3+4+5+6+7）=4，■=■（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，■（ti-■）2=9+4+1+0+1+4+9=28，■（ti-■）（yi-■）=（-3）×（-1.4）+（-2）×（-1）+（-1）×（-0.7）+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14，■=■=■=0.5，■=■-■■=4.3-0.5×4=2.3. 故所求回歸方程為■=0.5t+2.3.

（2）由（1）知，■=0.5>0，故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元. 將2015年的年份代號t=9代入（1）中的回歸方程，得■=0.5×9+2.3=6.8，故預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元.

■例3 通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：

■

由K2=■算得K2=■≈7.8.

附表：

■

參照附表，判斷下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”

B. 在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”

C. 有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”

D. 有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別無關(guān)”

思索 由所給隨機(jī)變量K2的觀測值k在臨界值表格中找到滿足k≥k0的臨界值k0，那么犯錯誤的概率不超過k0對應(yīng)的P（k≥k0）即為判斷犯錯誤的概率，從而得到有多大的把握認(rèn)為兩個分類變量有關(guān).

破解 由于K2的觀測值k在臨界值表格中找到滿足k≥k0的臨界值k0=6.635，那么犯錯誤的概率不超過k0對應(yīng)的P（k≥k0）=0.010即為判斷犯錯誤的概率，所以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”. 也可以表示為有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項運動與性別有關(guān)”. 故選C.

■例4 為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：

■

（1）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；

（2）能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？

附表：

■

K2=■.

思索 首先將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，可以清晰地得出調(diào)查的500位老年人中有多少位需要志愿者提供幫助，這樣就可以得出該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值了. 再由所給隨機(jī)變量K2公式求出觀測值k在臨界值表格中找到滿足k≥k■的臨界值k■，那么犯錯誤的概率不超過k0對應(yīng)的P（k≥k0）即為判斷犯錯誤的概率，從而得到有多大的把握認(rèn)為兩個分類變量有關(guān).endprint

破解 首先將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，如下表：

■

（1）由表中清晰地得出調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要志愿者幫助的老年人的比例的估算值為■=14%.

（2）由所給隨機(jī)變量K2公式求出觀測值k=■≈9.967，由于9.967>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān).

變式練習(xí)

1. 已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)■=3，■=3.5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是（ ）

A. ■=0.4x+2.3？搖 B. ■=2x-2.4

C. ■=-2x+9.5？搖 D. ■=-0.3x+4.4

2. 設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為■=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）

A. y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系

B. 回歸直線過樣本點的中心（■，■）

C. 若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg？搖

D. 若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg

3. 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（單位：噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（單位：噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對照數(shù)據(jù)：

■

（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；

（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程■=■x+■；

（3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤. 試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？

（參考數(shù)值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）

4. “十一”期間，某城市通過隨機(jī)詢問100名性別不同的居民是否能做到“光盤”行動，得到如下的列聯(lián)表，下列結(jié)論正確的是（ ）

■

A. 在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤與性別有關(guān)”

B. 在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤與性別無關(guān)”

C. 有90%以上的把握認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤與性別有關(guān)”

D. 有90%以上的把握認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤與性別無關(guān)”

5. 為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，在我市某普通中學(xué)高中生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：

■

根據(jù)獨立性檢驗的基本思想，約有多大的把握認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)課之間有關(guān)系”？

附表：

■

■

K2=■.

參考答案

1. A 2. D

3. （1）圖略；

（2）■xiyi=66.5，■=■=4.5，■=■=3.5，■x2i=32+42+52+62=86，■=■=■=0.7，■=■-■■=3.5-0.7×4.5=0.35. 故線性回歸方程為■=0.7x+0.35.

（3）根據(jù)回歸方程的預(yù)測，現(xiàn)在生產(chǎn)100噸產(chǎn)品消耗的標(biāo)準(zhǔn)煤的數(shù)量為0.7×100+0.35=70.35，故耗能減少了90-70.35=19.65（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）.

4. C

5. 由所給隨機(jī)變量K2公式求出觀測值k=■≈6.061>5.024，所以約有97.5%的把握認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)課之間有關(guān)系”.endprint