劉 鎮(zhèn)，崔皓月

(天津大學(xué)數(shù)學(xué)系，天津300072)

近幾年來(lái)，追蹤控制一直是國(guó)際工程學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)課題，在軍事，生物以及計(jì)算機(jī)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.早期對(duì)追蹤控制的研究大多是在有限維空間內(nèi)，控制系統(tǒng)用常微分方程描述，這方面的研究已經(jīng)取得了很好的結(jié)果.然而，由于偏微分方程控制系統(tǒng)的復(fù)雜性，帶干擾的偏微分系統(tǒng)的控制問(wèn)題一直是控制領(lǐng)域的一個(gè)難題.隨著無(wú)窮維系統(tǒng)理論的日益完善，帶不確定干擾的控制問(wèn)題成為了分布參數(shù)系統(tǒng)的研究熱點(diǎn)，許多數(shù)學(xué)家以及工程學(xué)者都投入到這方面的研究中.由于系統(tǒng)存在干擾，在研究追蹤問(wèn)題的同時(shí)必須考慮干擾的消除.眾所周知，在有限維系統(tǒng)中，滑膜控制具有很多優(yōu)良的特性，比如對(duì)系統(tǒng)的魯棒性.此外，選擇合適的滑模面可以大大降低控制器設(shè)計(jì)的困難性.因此，滑膜控制廣泛應(yīng)用于抗干擾和追蹤控制問(wèn)題.在文獻(xiàn)[1]中Shifman考慮了具有特殊邊界條件的歐拉梁系統(tǒng)，通過(guò)設(shè)計(jì)控制器實(shí)現(xiàn)了軌跡的漸近追蹤.在文獻(xiàn)[2]中，Mounier討論了一類(lèi)帶有載荷的波方程的追蹤問(wèn)題，將其看作線性衰減系統(tǒng)進(jìn)行考慮，設(shè)計(jì)了一種新型控制器解決了追蹤問(wèn)題.其他的結(jié)果可以參照文獻(xiàn)[3-7].

本文將滑膜控制技術(shù)應(yīng)用于無(wú)窮維系統(tǒng)中.考慮了帶有不確定干擾的薛定諤系統(tǒng)的追蹤問(wèn)題，假定干擾一致有界并且絕對(duì)光滑，設(shè)計(jì)了一種帶增益的單位向量控制器追蹤指定的目標(biāo)軌跡，通過(guò)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的方法證明了追蹤誤差系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，即追蹤系統(tǒng)可以漸近追蹤到目標(biāo)軌跡.除此之外，此種控制器設(shè)計(jì)方法的研究還有著重要的理論價(jià)值，可以為解決彈性系統(tǒng)包括弦系統(tǒng)，梁系統(tǒng)等的追蹤控制問(wèn)題以及抗干擾問(wèn)題提供可行方案.

1 模型建立與控制器設(shè)計(jì)

本文主要研究一類(lèi)分布式追蹤控制問(wèn)題，已知目標(biāo)軌跡的系統(tǒng)信息，且追蹤系統(tǒng)內(nèi)部含有不確定的干擾.

目標(biāo)軌跡通過(guò)如下的偏微分方程描述:

其中:q(x，t)表示時(shí)刻在x點(diǎn)處的位移.假定系統(tǒng)在左右端點(diǎn)是固定的.

追蹤系統(tǒng)用類(lèi)似系統(tǒng)(1)的二階偏微分方程描述:

其中:p(x，t)表示t時(shí)刻在x點(diǎn)處的位移，u(t)表示控制輸入，d(x，t)表示輸入干擾，并且d(x，t)滿(mǎn)足如下的假設(shè)條件.

假設(shè):d(x，t)∈H4，2(0，1)，其中 H4，2(0，1)是索伯列夫空間，并且d(x，t)滿(mǎn)足邊界條件.dxx(0，t)=dxx(1，t)=0假定d(x，t)是有界的，即存在常數(shù) M1以及 M3使得‖d(x，t)‖2≤M1，‖dxxxx(x，t)‖2≤M3，?t≥0.

設(shè)追蹤系統(tǒng)與目標(biāo)軌跡的誤差為:

e(x，t)=p(x，t)-q(x，t)

則追蹤誤差滿(mǎn)足如下方程:

為使誤差系統(tǒng)的能量衰減，選取如下控制略:

將式(4)帶入到式(3)，誤差系統(tǒng)變?yōu)槿缦滦问?

下面，我們只需證明系統(tǒng)(5)是穩(wěn)定的.

2 系統(tǒng)(5)的穩(wěn)定性分析

定理1對(duì)于追蹤誤差系統(tǒng)(5)，d(x，t)滿(mǎn)足假設(shè)條件，則在控制策略(4)下誤差系統(tǒng)(5)是漸近穩(wěn)定的.即系統(tǒng)(1)可以漸近追蹤到系統(tǒng)(2).

證明:定義如下的Lyapunov函數(shù):

其中:M1＜M2.

對(duì)式(6)關(guān)于t求導(dǎo)，運(yùn)用復(fù)變函數(shù)的知識(shí)[8]，分布積分并且利用邊界條件計(jì)算得

顯然，DR是關(guān)于誤差軌跡的不變集.

為證明ζ(t)=‖e(x，t)‖2的一致有界性，對(duì)t求導(dǎo)得H?lder不等式表明

下一步，將對(duì)‖et(x，t)‖2的一致有界性進(jìn)行討論，對(duì)(5)的第一部分進(jìn)行估計(jì)

設(shè)常數(shù)M4滿(mǎn)足M3＜M4，Lyapunov函數(shù)定義為

對(duì) V2(x，t)求導(dǎo)

對(duì)式(5)求導(dǎo)兩次，利用邊界條件

根據(jù)假設(shè)條件對(duì)干擾邊界的設(shè)置，作為式(13)邊界條件的補(bǔ)充:

將式(13)帶入(12)，有

對(duì)于右邊的第一項(xiàng)，利用邊界條件(14)得

對(duì)右邊的第三項(xiàng)分布積分兩次，利用邊界條件以及假設(shè)條件

利用H?lder不等式，得

因此Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以表示為:

引理1 設(shè) z(·)∈H2，2(0，1)是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)滿(mǎn)足 z(1)=z(0)=0，則‖zx‖2≥π‖z‖2，‖zxx(·)‖2≥π‖zx(·)‖2≥π2‖z‖2

由增益k(t)的定義，存在k0使得k(t)≥k0＞0利用引理1對(duì)式(19)進(jìn)行估計(jì)

所以V2(t)是半負(fù)定的，因此李雅普諾夫函數(shù)V2(t)是非增的，對(duì)任意的R＞V(0)，設(shè)

顯然是DR是不變集，為證明‖exx(x，t)‖2的一致有界性，有下列的鏈?zhǔn)焦烙?jì)

所以‖exx(x，t)‖2是一致有界的.根據(jù)式(9)和(10)可以得出et(x，t)是有界的，即存在 ~M，使得‖et(x，t)‖2≤~M.

引理2(Barbalat引理)設(shè)x:[0，∞]→R為L(zhǎng)p空間的一個(gè)函數(shù)，其中p∈[1，∞)，且(t)，t∈[0，∞)，是有界的，那么

根據(jù)Barbalat引理可以證明t→∞ 時(shí)‖e(x，t)‖2→0.進(jìn)而，當(dāng)t→∞ 時(shí)，e(x，t)→0，因此誤差系統(tǒng)(5)是漸近穩(wěn)定的，即追蹤系統(tǒng)(2)可以漸近追蹤到目標(biāo)軌跡(1).至此，完成了定理1的證明.

3 結(jié)語(yǔ)

本文考慮了一類(lèi)具有不確定內(nèi)部干擾的薛定諤方程的追蹤問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一個(gè)分布式單位向量控制器抵抗干擾.干擾給出合理的假設(shè)條件下，通過(guò)構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)給出了誤差系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，即追蹤系統(tǒng)可以漸近追蹤到目標(biāo)軌跡.今后的工作是如何將本控制策略推廣到其他彈性系統(tǒng)，例如波方程，梁方程等.

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