楊瑞娟，王 翔

(天津大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系天津300072)

在文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]中，Lim和Qi最先介紹并研究了張量的特征值.在最近幾年，非負(fù)張量的最大特征值問題備受關(guān)注.Chang等在文獻(xiàn)[3]中將P－F定理從非負(fù)矩陣推廣到了非負(fù)不可約張量上，并且將非負(fù)不可約矩陣的Collatz最小最大值定理也推廣到了非負(fù)不可約張量上.在文獻(xiàn)PF定理的進(jìn)一步結(jié)果[4]中，Yang等進(jìn)一步的證明了非負(fù)張量Perron－Frobenius定理，并且給出了張量的譜半徑的定義，更進(jìn)一步在文獻(xiàn)[5]中將文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]的一些結(jié)論從非負(fù)不可約張量推廣到了非負(fù)弱不可約張量，隨之求張量譜半徑的算法也相繼被提出.近來具有各種特殊特征的張量被廣泛研究，如正張量、素張量、弱素張量、非負(fù)不可約張量、弱不可約、隨機(jī)張良、本質(zhì)正張量、弱正張量、嚴(yán)格非負(fù)張量等，對這些張量的研究主要集中在譜半徑的代數(shù)、幾何單性[6－7]，各種張量之間的關(guān)系，計算譜半徑的算法.

1 預(yù)備知識

定義 張量是一個多維數(shù)組，一個實的m階n維張量A是由nm個元構(gòu)成:ai1…im∈R其中j=1，…，m，ij=1，…，n.一個m階n維張量稱為非負(fù)的(正的)，如果 ai1…im≥0(ai1…im＞0).

定義 若存在(λ，x)∈C×Cn是齊次方程Axm－1=λx[m－1]的解，則稱 λ 為 A 的特征值，x 為 A的和 λ 對應(yīng)的特征向量，這里 Axm－1和 x[m－1]是 n維向量.它的第i個元素是

這個定義在Qi[1]中有介紹，其中假設(shè)A是m階n維對稱張量，且m是偶數(shù)，在Lim[2]中限制x是實向量，λ是實數(shù).

定義 張量 A的譜半徑 ρ(A)=max{|λ|:λ是A的特征值}.

張量A的弱不可約和弱素定義如下:

定義 設(shè)A是m階n維的非負(fù)張量.

2)若G(A)是可約矩陣，則稱張量是A弱可約的，若A不是弱可約的，則稱A是弱不可約的.類似若G(A)是素矩陣，則稱A是弱素的.

定義 設(shè)A是m階n維的非負(fù)不可約張量，令 TAx=(Ax[1/m－1])，若對任意非零非負(fù)向量 x，若存在非負(fù)整數(shù)r，使得TrA(x)＞0，則A是素張量.

稱張量A是隨機(jī)的.

定理 設(shè)A是m階n維的非負(fù)張量，則有存在λ0≥0和非負(fù)向量x0≠0使得

定理 設(shè)A是m階n維的非負(fù)弱不可約張量，ρ(A)為張量A的譜半徑.那么

1)ρ(A)＞0.

2)存在惟一的正特征向量x和譜半徑ρ(A)對應(yīng).

定理 設(shè)A是m階n維的非負(fù)弱不可約張量，設(shè)(λ，y)為 A 的特征對，且|λ|ρ(A)，則|y|是惟一的與ρ(A)對應(yīng)的正特征向量.

2 主要結(jié)論

定理1 若m階n維非負(fù)張量是A隨機(jī)的，令w=mini(ai…i)，則有|λ －w|≤1－w，λ 為 A 的任一特征值.

證明:設(shè)λ是m階n維隨機(jī)張量A的任一特征值，x=(x1，x2，…，xn)為 A的與 λ 對應(yīng)的特征向量.令0 ＜ |xk|=maxi(|xi|)，又 λxm－1=Axm－1.所以

即|λ － ak…k|≤1 － ak…k.

所以|(λ －w)|=|(λ － ak…k－ w)|≤ |λ － ak…k|+ |ak…k－w|≤1 －ak…k+ak…k－w=1 －w .得證.

定理2 設(shè)A是m階n維非負(fù)弱不可約張量，若diag(A)＞0那么A是弱素的.

證明:由于非負(fù)張量A是弱不可約的，則G(A)是不可約，又

G(A)ii= Σi∈{i2，…，im}aii2…im≥aii2…1＞0，

則由文獻(xiàn)的定理，得G(A)是素矩陣，再由定義知是A弱素的.

定理3 設(shè)A是m階n維的非負(fù)張量，并且m≥3，若 ai，1…1＞ 0，i=1，…，n 且，ai，j，1…1＞ 0，j=2，…，n，i是任意的，則有譜半徑ρ(A)是復(fù)幾何單的.

證明:由 G(A)ij= Σj∈{i2…im}ai，i2…im≥ai，j，1…1＞0，?i=1，…，j=2，n，則G(A)ij＞0，?i=1，…，n，j=2，…，n

當(dāng) j=1 時，ai，1，…1＞ G(A)i1= Σj∈{i2…im}ai，i2…im≥ai，j，1…1＞0.?i=1，…，n，所以G(A)ij＞0，?i=1，…，n

則G(A)是不可約的.∴A是弱不可約的.

由定理 3，得 Aym－1= ρ(A)ym－1，A|y|m－1，所以有，要使上式成立，

則對指標(biāo){i2…im|，ai，i2…，im＞0}，?Φi，使

令 yi=eiΦi|yi| i=1，2，…n.

∵ ai，1…1＞0，i=1，…n，則

Φ =Φi=Φj(mod 2π)，且(m －1)φ1=Φ +2s1π，

s1∈{0，…，m －1}

由題設(shè)知 aij1…1＞0，j=1，2…，n，則有

(m －2)φ1+φj=Φ(mod 2π)，j=2，…，n則有

因此 φ =φi=φj(mod 2π).即 y=eiφ|y|也就是 y=k|y|，k∈C.

因此譜半徑ρ(A)是復(fù)幾何單的.

注:此定理是對文獻(xiàn)[8]定理3.2的推廣，將其中的不可約條件去掉，可以證明其仍然成立.用定理可將文獻(xiàn)中的引理和例的不可約張量的結(jié)論推廣到弱不可約張量，如下定理4、5:

定理4 若A是m階n維非負(fù)弱不可約張量且m是偶數(shù)，設(shè)y∈Rn是ρ(A)對應(yīng)的特征向量，且 y1，…，yl＞0 和 yl+1，…yn＜0，1 ＜l＜ n，這里 yi是 y的第i個元素，則對某些指標(biāo)，{i，i2…，im}，ai，i2…im＞ 0，有

定理5 若A是m階n維非負(fù)弱不可約張量且 m 是奇數(shù)，m≥3，a1，1，i…i＞ 0，i=2，…n. 則有 ρ(A)是實幾何單的.(注:運用定理和定理參考文獻(xiàn)的引理和例的證明可得).

[1]QI L.Eigenvalues of a real supersymmetric tensor[J].Journal of Symbolic Computation，2005(40):1302－1324.

[2]LIM L H.Singular values and eigenvalues of tensors:A variational approach[J].Proceedings of the IEEE International workshop on computational advances of multi－tensor adaptive processing，2005，1:129－132.

[3]CHANG K C，PEARSON K，ZHANG T.Perron － Frobenius theorem for nonnegative tensors [J].Commun.Math.Sci.，2008，6:507－520.

[4]YANG Y，YANG Q.Further results for Perron－Frobenius theorem for nonnegative tensors[J].SIAM J.Matrix Anal.Appl.，2010，31:2517－2530.

[5]YANG Q，YANG Y.Further results for Perron－Frobenius theorem for nonneg － ative tensors II[J].SIAM J.Matrix Anal.Appl.，2011，32:1236 －1250.

[6]CHANG K C，PEARSON K，ZHANG T.Primitivity，the convergence of the NZQ method，and the largest eigenvalue for nonnegative tensors[J].SIAM J.Matrix Anal.Appl.，2011，32:806－819.

[7]HU S L，HUANG Z H，QI L Q.Finding the spectral radius of a nonnegative tensor[DB/OL].http://arxiv.org.sci－ hub.org/abs/1111.2138，2011 －11 －09.

[8]YANG Y N，YANG Q Z.A note on the geometric simplicity of the spectral radius of nonnegative irreducible tensors[DB/OL].http://arxiv.org/abs/1101.2479，2011 －01 －13.

[9]HENRYK M.Nonnegative matrices[M].New York:Wiley，1988.