周 偉，于 淼

（浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，浙江 杭州310027）

自Arimoto等［1-2］針對工業(yè)機(jī)械手系統(tǒng)可重復(fù)的特點(diǎn)，提出一種迭代學(xué)習(xí)算法以來，這種智能控制技術(shù)［3-4］引起了人們極大的興趣.迭代學(xué)習(xí)控制將非線性系統(tǒng)作為研究對象，通過不斷迭代而達(dá)到期望行為.在迭代學(xué)習(xí)控制的發(fā)展過程中涌現(xiàn)了許多熱點(diǎn)問題，得到了諸多專家學(xué)者的關(guān)注，如經(jīng)典迭代學(xué)習(xí)控制［5］、高階迭代學(xué)習(xí)控制［6］、魯棒迭代學(xué)習(xí)控制、最優(yōu)迭代學(xué)習(xí)控制、自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制［7］等.短短二十幾年，迭代學(xué)習(xí)控制獲得了極大的發(fā)展.

迭代學(xué)習(xí)控制本質(zhì)上是通過對輸出誤差的不斷修正，而實(shí)現(xiàn)自我學(xué)習(xí)的［8-9］.利用前一次或前幾次操作時(shí)測得的誤差信息修正控制輸入，控制器的綜合結(jié)構(gòu)簡單，在線計(jì)算負(fù)擔(dān)?。?0］.針對非線性系統(tǒng)，使用時(shí)變的學(xué)習(xí)控制技術(shù)可以改善控制性能［11］.尤其當(dāng)模型未完全已知，或不能充分展現(xiàn)被控對象的全部客觀規(guī)律時(shí)，迭代學(xué)習(xí)控制可以充分利用被控對象可以重復(fù)運(yùn)行的特點(diǎn)，不斷更新控制輸入，通過多次迭代后，實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)參考輸出軌跡的零誤差追蹤［12］.

傳統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制在追蹤參考軌跡的過程中，要求參考軌跡必須是迭代不變的.然而，實(shí)際上很難滿足如此嚴(yán)格的重復(fù)性［13］.比如，機(jī)械手在上一次工作過程中，在［0 ，T ］期間追蹤某一參考軌跡，在下一次工作時(shí)，可能追蹤另一相關(guān)的參考軌跡.根據(jù)內(nèi)模原理可知，當(dāng)受控對象追蹤某一目標(biāo)軌跡時(shí)，控制回路必須包含產(chǎn)生目標(biāo)軌跡的動力系統(tǒng)模型的全部信息［14］.Moore［15］首先引入ω 算子用來描述迭代域的變化情況.Liu等［16］針對連續(xù)系統(tǒng)參考軌跡的迭代域非嚴(yán)格重復(fù)性問題，通過將高階內(nèi)模和迭代學(xué)習(xí)控制方法相結(jié)合，利用λ范數(shù)，證明了基于高階內(nèi)模的迭代學(xué)習(xí)方法的有效性.Yin等［17］針對帶不確定參數(shù)的非線性系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)問題，使用高階內(nèi)模描述時(shí)變且沿迭代域變化的參數(shù)，設(shè)計(jì)基于高階內(nèi)模的參數(shù)學(xué)習(xí)律，并用Lyaponov方法證明了迭代域的漸近收斂.隨著計(jì)算機(jī)控制技術(shù)的廣泛應(yīng)用，離散系統(tǒng)的控制問題受到越來越多的重視.尤其當(dāng)系統(tǒng)中存在非線性因素時(shí)，無法將連續(xù)系統(tǒng)中已經(jīng)得到的結(jié)論直接應(yīng)用于離散系統(tǒng).另外，迭代學(xué)習(xí)過程的實(shí)現(xiàn)總是離散的.針對離散系統(tǒng)，研究參考軌跡的迭代域非嚴(yán)格重復(fù)問題具有現(xiàn)實(shí)意義.

本文針對一類一階非正則離散時(shí)間非線性系統(tǒng)參考軌跡的非嚴(yán)格重復(fù)性問題，提出基于內(nèi)模原理的控制方法.針對由高階內(nèi)模產(chǎn)生的參考軌跡，使用一種D 型迭代學(xué)習(xí)控制律，從理論上證明了系統(tǒng)跟蹤誤差的收斂性.對于機(jī)械手模型的仿真結(jié)果證明了所提出方法的有效性.

1 問題描述

系統(tǒng)方程如下式所示：

式中：下標(biāo)k表示迭代次數(shù)；t∈［0 ，T ］，［0 ，T ］表示離散時(shí)間｛0，1，…，T ｝；xk（t）∈Rn；uk（t）和yk（t）分別為第k 次迭代時(shí)的輸入和輸出向量，uk（t）∈Rm，yk（t）∈Rm；f （xk（t））∈Rn；B（t）∈Rn×m、C（t）∈Rm×n均為關(guān)于t的有界函數(shù).系統(tǒng)（1）為離散一階非正則系統(tǒng)，在有限時(shí)間區(qū)間［0 ，T ］上重復(fù)運(yùn)行.

式中：hi（i＝1，2，…，m）為穩(wěn)定的多項(xiàng)式 H （z） ＝zm-h1zm-1-h2zm-2-…-hm的系數(shù).式（2）描述了參考軌跡迭代域變化的規(guī)律性.由式（2）可以看出，參考軌跡迭代相關(guān)，且變化規(guī)律是已知的.另外，根據(jù)m 階內(nèi)模求得參考軌跡（t），需要m 個初始軌跡（t），（t），…，（t）.記 多 項(xiàng) 式 算 子H （ω-1）為

將式（2）改寫為

系統(tǒng)（1）滿足如下假設(shè).

假設(shè)1 非線性函數(shù)f （xk（t））在有限時(shí)間區(qū)間［0 ，T ］上關(guān) 于xk滿 足 一 致 全局Lipschitz條 件，即滿足：‖f （x1）-f （x2）‖≤lf‖x1-x2‖，其中l(wèi)f為Lipschitz系數(shù).

假設(shè)2 系統(tǒng)初值條件滿足：ek（0） ＝0，k＝1，2，….

假設(shè)3 m 階內(nèi)模生成的參考軌跡滿足：多項(xiàng)式 H （z） ＝zm-h1zm-1-h2zm-2-…-hm是 穩(wěn) 定的，即多項(xiàng)式的特征方程的所有根位于單位圓內(nèi)部，或在單位圓上僅有單根或共軛復(fù)根.

系統(tǒng)輸出追蹤由m 階內(nèi)模生成的參考軌跡，首先，隨著迭代次數(shù)的增加，參考軌跡不能趨于發(fā)散.因此，上述多項(xiàng)式構(gòu)成的特征方程的根必須位于單位圓內(nèi)部，或僅有單根或共軛復(fù)根落在單位圓上.其次，若上述多項(xiàng)式構(gòu)成的特征方程的根全部位于單位圓的內(nèi)部，上述多項(xiàng)式是穩(wěn)定的，并且當(dāng)?shù)螖?shù)趨向無窮時(shí)，由m 階內(nèi)模生成的參考軌跡最終會收斂到零.因?yàn)檫@種情況下，由m 階內(nèi)模產(chǎn)生的參考軌跡的變化趨勢是漸近穩(wěn)定的.最后，若特征方程至少在單位圓上有單根或共軛復(fù)根，則由m 階內(nèi)模生成的參考軌跡在迭代域上會不斷變化，且不會收斂到零.

例如，當(dāng)H1（ω-1）＝1 時(shí)，有（t）＝（t），追蹤的參考軌跡迭代域不變，屬于高階內(nèi)模生成的參考軌跡的特殊情況.當(dāng)H2（ω-1）＝ω-1時(shí)，高階內(nèi)模生成的參考軌跡滿足的多項(xiàng)式為H2（z） ＝z2-1，特征根為z1，2＝±1，都位于單位圓上.此時(shí)，（t）＝（t）.基于迭代域的算子ω 的定義來源于z 變換的概念，因此仿照z 變換的方法求解（t）可得，y（t）＝D1（t）·1k＋D2（t）·（- 1 ）k.其中，D1（t）及D2（t）為與迭代無關(guān)的待定時(shí)變系數(shù)，由初始條件決定.這意味著在奇數(shù)次迭代時(shí)，追蹤的參考軌跡都相同，即（t）＝D1（t）-D2（t）＝…＝（t）；在偶數(shù)次迭代時(shí)，追蹤的參考軌跡相同，即（t）＝D1（t）＋D2（t）＝…＝（t），k＝1，2，…，N.由此可見，由高階內(nèi)模H2（ω-1）生成的參考軌跡在迭代域上，以2次迭代為周期，參考軌跡會發(fā)生重復(fù)性變化，但是不會收斂到零.

定義1 函數(shù)f（t）的λ范數(shù)［21］為

定義2 表征m 階內(nèi)模的多項(xiàng)式算子H （ω-1）和輸出追蹤誤差乘積的λ范數(shù)為

2 迭代學(xué)習(xí)控制律的設(shè)計(jì)

控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)迭代學(xué)習(xí)控制律uk＋1（t），使得當(dāng)k→∞時(shí)，

針對基于高階內(nèi)模的參考軌跡，采用含有m 階內(nèi)模的D 型迭代學(xué)習(xí)控制律：

即

其中H （ω-1）的定義如式（3）所示，學(xué)習(xí)增益γk的定義為

定理：對于滿足假設(shè)1、2、3和4的一階非正則離散時(shí)間非線性系統(tǒng)（1），針對參考軌跡（2），采用含有m 階內(nèi)模的D 型迭代學(xué)習(xí)控制律（6），選擇學(xué)習(xí)增益γk，使得下列特征多項(xiàng)式漸近穩(wěn)定：

式中：ζt，j＝‖hk＋1-jIm-C（t）B （t- 1）γk＋1-j‖，Im∈Rm×m為單位矩陣，t∈［1 ，T＋1］ ，j∈［k，k-1，…，km＋1］，系統(tǒng)跟蹤誤差沿迭代方向收斂到0，即

3 收斂性證明

定義第k＋1次迭代時(shí)的輸出追蹤誤差為

將滿足m 階內(nèi)模的輸出跟蹤軌跡（4）代入可得

將式（1）代入式（9），可得

整理可得

由式（3）、（4）可知，

對式（11）兩端取范數(shù)，并將式（7）代入可得

在式（13）中，令

并整理可得

考慮到函數(shù)f（t）滿足假設(shè)1，式（14）可變?yōu)?/p>

由式（1）可得

根據(jù)式（13），對式（16）兩端取范數(shù)可得

然后將式（17）在t∈［0 ，T ］展開.當(dāng)t＝0時(shí)，有

根據(jù)假設(shè)2可知，

可得：xk＋1（0） ＝H （ω-1）xk（0） .將其代入式（18），有

同理有

依此類推，可得

將式（23）代入式（15），有

將式（24）兩端同時(shí)乘以exp（-λ（t ＋1） ），然后在區(qū)間［0 ，T ］上取上界；根據(jù)假設(shè)4，可得

在式（25）中，可得

式中：

同理可得

另外，可得

同理有，

將式（26）～（29）代入式（25）可知，

式中：

將式（30）各項(xiàng)中的高階內(nèi)模完整表示出來，則有

將式（31）～（33）代入式（30），再將式（30）由t＝0到t＝T逐項(xiàng)寫出，并記αt＋1＝a-λbC［δ＋ 1］ ‖εfk（t）‖λ，t∈［0 ，T］ ，可知，當(dāng)t＝0時(shí)，有

同理，逐步推知，當(dāng)t＝T 時(shí)，有

注意到假設(shè)2，對不等式（35）進(jìn)行整理，并令

可知，當(dāng)t∈［0 ，T］ 時(shí)，有

當(dāng)t＝0時(shí)，滿足

將t＝0到t＝T 的每一項(xiàng)展開并寫成矩陣形式如下：

式中：

當(dāng)k＝0時(shí)，有

式中：Ψs（s∈［1-m，2-m，…，0］ ），滿足

首先分析不等式（36）中的μt＋1，j和ρt＋1，j.可以看出，當(dāng)λ取足夠大時(shí)，μt＋1，j以及ρt＋1，j中的δ可以達(dá)到任意小.其次，分析αt＋1，t∈［0 ，T ］.可以看出，αt＋1中的‖εfk（t）‖λ是關(guān)于λ的函數(shù).由于

4 仿真結(jié)果

考慮單連桿機(jī)械手的軌跡跟蹤問題.單連桿機(jī)械手模型的系統(tǒng)方程［22-24］為

由于C（ t＋ 1 ）B（t）＝［0 ，1］ ［0，Δ］T≠0，可知系統(tǒng)為一階非正則.

追蹤的參考軌跡為

其中第一次及第二次迭代的追蹤軌跡如下：

輸出追蹤參考軌跡中內(nèi)含的二階內(nèi)模系數(shù)為：h1＝2cos （10 Δ） ，h2＝-1，因此，控制取為

選 擇 學(xué) 習(xí) 增 益γ1＝1.59／Δ，γ2＝-1.10／Δ.（ek（t＋ 1） -ek（t））／Δ 是機(jī)械手系統(tǒng)（43）在 第k 次迭代時(shí)的輸出追蹤誤差的一階導(dǎo)數(shù)［25］，即控制輸入（47）可以看成是連續(xù)系統(tǒng)（43）的下述學(xué)習(xí)控制律的離散化：

收斂條件為：‖h1I-γ1CB‖＝0.4＜1，‖h2Iγ2CB‖＝0.1＜1.對應(yīng)的特征多項(xiàng)式為：z2-0.4z-0.1.它的2個特征根分別為z1＝0.57，z2＝-0.17，都位于單位圓內(nèi).

圖1 迭代變化的追蹤參考軌跡Fig.1 Iteration-varying reference trajectory

圖1給出參考軌跡在時(shí)域和迭代域下的變化情況.由式（45）可知，迭代變化的參考軌跡滿足，多項(xiàng)式 H （z） ＝z2-2cos （10 Δ） z＋1的特征根是一對位于單位圓上的共軛復(fù)根.仿照z 變換的方式求解式（45）可得，（t）＝Da（t）·cos （10 Δk） ＋Db（t）×sin （10 Δk） ，其中Da（t）及Db（t）為與迭代無關(guān)的待定時(shí)變系數(shù)，由初始條件決定.由此可知，參考軌跡（45）在迭代域上會不斷變化，不會重復(fù)，且不會收斂到零.從圖1可以看出，滿足m 階內(nèi)模的參考軌跡（45）在迭代域內(nèi)不斷振蕩，完全不重復(fù).定義第k次迭代的輸出均方根誤差為

表1給出不同的迭代次數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的輸出均方根誤差.圖2給出系統(tǒng)沿迭代方向的輸出均方根誤差.圖3展示了第3次、第7次及第10次迭代時(shí)系統(tǒng)的輸出追蹤情況.從圖2、3可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，系統(tǒng)輸出逐漸收斂到參考軌跡.第10次迭代時(shí)，系統(tǒng)輸出已經(jīng)能夠很好地追蹤參考軌跡.另外，第3次迭代時(shí)追蹤的參考軌跡和第10次迭代時(shí)追蹤的參考軌跡完全不同，采用基于高階內(nèi)模的D型迭代算法能夠很好地實(shí)現(xiàn)追蹤.當(dāng)選擇輸出均方根誤差的許可范圍為小于0.01 時(shí)，從表1 可以看出，第8次迭代之后，系統(tǒng)的輸出均方根誤差都在許可范圍之內(nèi).

為了與本文含有m 階內(nèi)模的D 型迭代學(xué)習(xí)控制律（47）相比較，給出含有m 階內(nèi)模的P 型［26］迭代學(xué)習(xí)控制律的仿真結(jié)果.控制輸入如下式所示：

表1 基于高階內(nèi)模的D型迭代學(xué)習(xí)律的輸出均方根誤差Tab.1 Output tracking root-mean-square error of HOIMbased D-type ILC

圖2 采用基于高階內(nèi)模的D型迭代學(xué)習(xí)律的系統(tǒng)沿迭代方向的輸出均方根誤差Fig.2 Output tracking root-mean-square error of HOIM-based D-type ILC along iteration axis

圖3 第3、7及10次迭代時(shí)的追蹤Fig.3 Tracking profiles of HOIM-based ILC for 3rd，7th and 10th iterations

表2給出不同迭代次數(shù)時(shí)系統(tǒng)的輸出均方根誤差.系統(tǒng)沿迭代方向的輸出均方根誤差曲線如圖4所示.

考慮到含有高階內(nèi)模的迭代學(xué)習(xí)控制律形式與傳統(tǒng)的高階迭代學(xué)習(xí)控制律形式相似，為了與采用高階內(nèi)模的迭代學(xué)習(xí)控制對比，給出采用高階迭代學(xué)習(xí)律時(shí)的系統(tǒng)追蹤情況.選取控制輸入如下式所示：

表2 基于高階內(nèi)模的P型迭代學(xué)習(xí)律的輸出均方根誤差Tab.2 Output tracking root-mean-square error of HOIMbased P-type ILC

圖4 采用基于高階內(nèi)模的P型迭代學(xué)習(xí)律的系統(tǒng)沿迭代方向的輸出均方根誤差Fig.4 Output tracking root-mean-square error of HOIM-based P-type ILC along iteration axis

選擇P1＝1.91，P2＝-0.91，Q1＝2.65，Q2＝-1.圖5給出采用高階迭代學(xué)習(xí)算法，迭代100次時(shí)，系統(tǒng)的輸出均方根誤差曲線.表3給出不同的迭代次數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的輸出均方根誤差.將圖4、5與圖2對比可見，采用基于高階內(nèi)模的D 型迭代學(xué)習(xí)方法，與采用另外2種迭代學(xué)習(xí)控制方法相比，在收斂過程中的振蕩較少，收斂過程更加平穩(wěn)，收斂速度顯著加快.

圖5 采用高階迭代學(xué)習(xí)算法時(shí)沿迭代方向的輸出均方根誤差Fig.5 Output tracking root-mean-square error with high order ILC algorithm along iteration axis

表3 基于高階迭代學(xué)習(xí)算法的輸出均方根誤差Tab.3 Output tracking root-mean-square error of high order ILC

5 結(jié) 論

（1）本文針對由高階內(nèi)模產(chǎn)生的參考軌跡，設(shè)計(jì)基于高階內(nèi)模的迭代學(xué)習(xí)控制，系統(tǒng)跟蹤誤差可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零.

（2）通過對機(jī)械手模型的離散化，然后設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)增益，并進(jìn)行仿真分析.可以發(fā)現(xiàn)，采用基于高階內(nèi)模的D 型迭代學(xué)習(xí)控制方法能夠很好地追蹤迭代域變化的參考軌跡，經(jīng)過較少的迭代次數(shù)能夠達(dá)到系統(tǒng)追蹤的要求.

（3）針對追蹤軌跡迭代域的非嚴(yán)格重復(fù)問題，高階迭代學(xué)習(xí)具有一定的魯棒性，但不能達(dá)到漸近收斂.

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