張教超，郝方楠

(陜西法士特齒輪有限責(zé)任公司，陜西西安 710119)

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試方法概述

張教超，郝方楠

(陜西法士特齒輪有限責(zé)任公司，陜西西安 710119)

概述了復(fù)擺法、單線扭擺法、落體法、三線擺法、扭擺法、質(zhì)量線法等轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試方法，分析了各個(gè)方法的測(cè)量原理，誤差來(lái)源，對(duì)各個(gè)測(cè)量方法的優(yōu)缺點(diǎn)及適用對(duì)象進(jìn)行了簡(jiǎn)單的描述。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；測(cè)試方法

0　引言

質(zhì)量特性主要包括物體的質(zhì)量、質(zhì)心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、慣性積等，是航空航天、車(chē)輛、兵器、精密機(jī)械等領(lǐng)域進(jìn)行設(shè)計(jì)及自動(dòng)控制的關(guān)鍵參數(shù)，對(duì)其進(jìn)行精確測(cè)量具有重要意義。針對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量，目前常用的方法有復(fù)擺法、單線扭擺法、落體法、三線擺法、扭擺法、質(zhì)量線法等。文中對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的各種測(cè)試方法進(jìn)行了概述，分析了各個(gè)測(cè)量方法的測(cè)量原理及誤差來(lái)源，對(duì)各個(gè)測(cè)量方法的優(yōu)缺點(diǎn)及適用對(duì)象進(jìn)行了簡(jiǎn)單的描述。

1　轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試方法

1.1復(fù)擺法

復(fù)擺又稱物理擺。如圖1所示，質(zhì)量為m的任意形狀的物體可繞垂直與圖面的光滑水平軸O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，將它由自然下垂的靜止?fàn)顟B(tài)拉離平衡位置一個(gè)微小角度時(shí)，忽略空氣阻尼，物體將繞軸作自由擺動(dòng)，這樣的裝置稱做復(fù)擺。

設(shè)復(fù)擺的質(zhì)心在點(diǎn)C，點(diǎn)C到軸O的距離為l，復(fù)擺對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，復(fù)擺作小角度擺動(dòng)時(shí)，其受到的重力矩為[1]：

M=-mglsinφ≈-mgφ

(1)

(2)

通過(guò)平行軸定理J=Jc+ml2，可計(jì)算得到構(gòu)件繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc。

由式(2)可知，誤差來(lái)源主要為ΔT、Δl、Δm。如果擺幅太大，測(cè)量誤差也會(huì)隨之增大。同時(shí)該測(cè)試法不適用于較大物體。該方法需要事先精確測(cè)量物體的質(zhì)心，限制了其應(yīng)用[2]。

1.2單線扭擺法

對(duì)于陀螺轉(zhuǎn)子、螺旋槳、齒輪等小微型對(duì)稱剛體構(gòu)件，一般都要測(cè)其繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。采用單線扭擺法測(cè)量，經(jīng)濟(jì)實(shí)用，操作簡(jiǎn)單。

把一條彈性良好、伸展性極小的金屬線或金屬桿的兩端分別固定在基架與軸對(duì)稱夾具上，并把被測(cè)構(gòu)件與固定夾具同軸固定，從而構(gòu)成了單線扭擺，如圖2所示。若對(duì)構(gòu)件或夾具施加水平偶矩，則整個(gè)系統(tǒng)繞軸線作扭擺運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為[3]：

(3)

(4)

由上式可知，單線擺的誤差來(lái)源主要為ΔT、Δd、Δl。在吊線的拉伸變形及扭轉(zhuǎn)變形完全符合胡克定律的條件下，可以適當(dāng)?shù)販p少吊線直徑及增加吊線的長(zhǎng)度，在進(jìn)行構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量時(shí)采用大角度擺動(dòng)方法。

1.3落體法

對(duì)于帶有轉(zhuǎn)軸的各種輪盤(pán)、轉(zhuǎn)子、齒輪、渦輪某些繞軸線對(duì)稱分布的構(gòu)件，可用落體法測(cè)量其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[4]。

所謂落體法，即是將質(zhì)量為m、半徑為R的待測(cè)構(gòu)件轉(zhuǎn)軸兩端自由支撐起來(lái)；在構(gòu)件轉(zhuǎn)軸(或裝在轉(zhuǎn)軸某端的測(cè)量線輪)外沿上繞一條柔軟而不易伸展的細(xì)繩(吊繩)，吊繩的一端固定在構(gòu)件的外沿上，另一端固定在質(zhì)量為m1的落體上，如圖3所示；構(gòu)件受落體重力矩的作用，作勻角加速度運(yùn)動(dòng)，根據(jù)構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可計(jì)算構(gòu)件繞其軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為[4]：

為消除摩擦力矩的影響，可通過(guò)先后懸掛兩個(gè)不同質(zhì)量的落體分別進(jìn)行測(cè)量得到構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

(6)

或

(7)

1.4三線擺法

三線擺系統(tǒng)如圖4所示，實(shí)驗(yàn)臺(tái)架由3根等長(zhǎng)擺繩、托盤(pán)和固定支架組成，上、下各3個(gè)懸掛點(diǎn)等距分布。被測(cè)剛體放置在托盤(pán)上，調(diào)整剛體位置和配重質(zhì)量塊的位置，使各擺繩受力相等(系統(tǒng)質(zhì)心過(guò)托盤(pán)幾何中心點(diǎn)O)。在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)托盤(pán)至初始角(約為5°)，然后釋放托盤(pán)，使三線擺系統(tǒng)在重力作用下繞OZ軸作單自由度扭擺振動(dòng)。當(dāng)初始角小于6°時(shí)，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)才可以近似為線性振動(dòng)[5]。通過(guò)測(cè)量系統(tǒng)擺動(dòng)周期T，可以計(jì)算系統(tǒng)繞OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：

(8)

設(shè)被測(cè)物體在其質(zhì)心坐標(biāo)系下的慣性參數(shù)為J，則JT=(Jx,Jy,Jz,Jxy,Jyz,Jzx)。在某個(gè)姿態(tài)下，被測(cè)物體繞扭擺軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JPi，根據(jù)慣性橢球原理[6]，有如下關(guān)系：

(9)

式中：li=cosαi，mi=cosβi，ni=cosγi，αi、βi、γi為扭擺軸線與質(zhì)心坐標(biāo)系的3個(gè)軸線的夾角。由上式可以看出，為了求出J，至少要進(jìn)行6次懸吊。由于測(cè)量存在誤差，實(shí)際測(cè)試時(shí)，懸吊的次數(shù)往往大于6次[7]。

利用該方法可以測(cè)量形狀不規(guī)則、質(zhì)量分布不均勻的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。在忽略阻尼影響下，三線擺誤差來(lái)源主要是ΔT、ΔR、Δr、Δm′、ΔL。

三線擺成本低，易于實(shí)現(xiàn)，在生產(chǎn)中得到廣泛應(yīng)用。對(duì)于小質(zhì)量構(gòu)件，如頭盔、小型炮彈等，利用該方法可以比較方便精確測(cè)量得到轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。然而對(duì)于大質(zhì)量構(gòu)件還有很多問(wèn)題，被測(cè)件由于在轉(zhuǎn)動(dòng)中伴隨著扭動(dòng)，因此很難準(zhǔn)確測(cè)量擺動(dòng)周期。為了保證擺盤(pán)作定軸的擺動(dòng)，因此對(duì)懸線剛度、長(zhǎng)度及懸掛位置要求較高，若擺盤(pán)懸線剛度不夠而載荷很大時(shí)，會(huì)使得懸線伸長(zhǎng)，從而導(dǎo)致這種方法的測(cè)量誤差較大，因此該方法不適于大質(zhì)量構(gòu)件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量。

1.5扭擺法

基于扭擺法測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的扭擺實(shí)驗(yàn)臺(tái)如圖5所示。

設(shè)扭桿擺動(dòng)角為θ，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0，扭桿剛度系數(shù)為K，測(cè)量時(shí)保證轉(zhuǎn)臺(tái)振幅小于5°，以滿足微幅振動(dòng)條件，其無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程為：

(10)

最終可以得到被測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc為：

(11)

式中:T0為不加被測(cè)物時(shí)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的振動(dòng)周期;Ts為加上被測(cè)物后系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的振動(dòng)周期。

與三線擺測(cè)量物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相同，至少需要測(cè)量物體6個(gè)姿態(tài)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，由式(9)可得待測(cè)物體在質(zhì)心坐標(biāo)系中繞3個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

與三線擺測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相比，用這種方法會(huì)得到更準(zhǔn)確的結(jié)果，因?yàn)榕[法測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，只與空載和加載后的周期有關(guān)。但三線擺測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，測(cè)試數(shù)據(jù)的精度與扭振周期、擺繩的長(zhǎng)度、托盤(pán)的直徑、待測(cè)物體的質(zhì)量有關(guān)，并且完全忽略了加載后擺繩的變形、托盤(pán)的平擺等因素的影響。

1.6質(zhì)量線法

文獻(xiàn)[8]提出一種基于質(zhì)量線來(lái)測(cè)量物體的慣性參數(shù)的方法，即利用模態(tài)試驗(yàn)獲得振動(dòng)系統(tǒng)的頻響函數(shù)，然后通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程求出物體的質(zhì)量矩陣及質(zhì)心位置，進(jìn)而求出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等參數(shù)。

如果已知振動(dòng)系統(tǒng)的激勵(lì)為F(jω)，并測(cè)得系統(tǒng)的響應(yīng)為X(jω)，那么振動(dòng)系統(tǒng)的頻響函數(shù)為：

H(jω)=X(jω)/F(jω)

(12)

對(duì)于6自由度剛體模型，如果剛體不受任何約束，則剛體的運(yùn)動(dòng)微分方程為[8]：

(13)

式中：F=(Fx,Fy,Fz,Mx,My,Mz)T為激勵(lì)力矢量；X=(ax,ay,az,α,β,γ)為振動(dòng)加速度響應(yīng)矢量；Fx、Fy、Fz為激勵(lì)力；Mx、My、Mz為激勵(lì)力矩；ax、ay、az為平動(dòng)加速度；α、β、γ為轉(zhuǎn)動(dòng)加速度；質(zhì)量矩陣M為：

(14)

由式(12)—(14)可知：可以通過(guò)測(cè)量系統(tǒng)的頻響函數(shù)曲線來(lái)反求質(zhì)量矩陣中的相關(guān)慣性參數(shù)。

圖6中所示的頻響函數(shù)曲線分為3部分：低頻段曲線顯示的是懸吊支撐系統(tǒng)的固有頻率特性；高頻段曲線顯示的是結(jié)構(gòu)的彈性模態(tài)；中間近似于平直線的頻段就是質(zhì)量曲線段，該頻段內(nèi)的FRF值只與質(zhì)量矩陣M中被測(cè)結(jié)構(gòu)質(zhì)量及各慣性參數(shù)有關(guān)，而被測(cè)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量及各慣性參數(shù)是物體結(jié)構(gòu)的固有屬性，不會(huì)發(fā)生變化，故該頻段是一段定值直線，即質(zhì)量線。所以可以通過(guò)測(cè)量得到的頻響函數(shù)曲線的質(zhì)量線來(lái)反求質(zhì)量矩陣中的慣性參數(shù)。

用該方法測(cè)量時(shí)，測(cè)量點(diǎn)的位置、數(shù)目、激勵(lì)點(diǎn)的位置以及激勵(lì)方向都會(huì)影響測(cè)試精度[9]，對(duì)試驗(yàn)人員要求較高，并且實(shí)驗(yàn)的重復(fù)性較差。

2　結(jié)論

概述了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)試方法：復(fù)擺法、單線扭擺法、落體法、三線擺法、扭擺法、質(zhì)量線法，得出了以下結(jié)論：

(1)復(fù)擺法不適用于較大物體，且該方法需要事先精確測(cè)量物體的質(zhì)心，限制了其應(yīng)用。

(2)落體法和單線擺法適用于陀螺轉(zhuǎn)子、螺旋槳、齒輪、馬達(dá)轉(zhuǎn)子等繞軸線對(duì)稱分布的構(gòu)件，一般都要測(cè)其繞軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

(3)三線擺法和扭擺法均可以對(duì)外形不規(guī)則物體進(jìn)行測(cè)量。相比之下，三線擺法設(shè)備簡(jiǎn)單，而扭擺法測(cè)量精度更高。

(4)質(zhì)量線法的理論基礎(chǔ)復(fù)雜，測(cè)試精度較難保證，試驗(yàn)重復(fù)性較差，對(duì)試驗(yàn)人員要求較高。

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【3】鄒凌云.基于三線擺慣性參數(shù)測(cè)量的研究[D].武漢:華中科技大學(xué),2011.

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【9】楊為,劉欣,籍慶輝,等.結(jié)構(gòu)剛體慣性參數(shù)識(shí)別精度研究[J].振動(dòng)與沖擊,2008,27(5):105-108,143.

The Summarization of Test Methods for Rotational Inertia

ZHANG Jiaochao，HAO Fangnan

(Shannxi FAST Gear Co.,Ltd., Xi’an Shannxi 710119,China)

The test methods for rotational inertia were summarized, including compound-pendulum method, single pendulum method, falling method, trifilar pendulum method, torsion pendulum method, mass line method, and so on. Then the test theories and the errors sources of the methods were analyzed. These methods’ advantage and disadvantage and the objects which these methods could be applied to were described.

Rotational inertia; Test method

2015-05-26

張教超(1985—)，男，助理工程師，從事變速器振動(dòng)噪聲、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)試。E-mail：jczhangwn@163.com。