趙宜楠 姜智卓 李風(fēng)從 馮 翔 周志權(quán)

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 哈爾濱 150001）

基于譜逼近的瞬態(tài)極化雷達(dá)最優(yōu)波形設(shè)計(jì)

趙宜楠 姜智卓 李風(fēng)從 馮 翔 周志權(quán)*

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 哈爾濱 150001）

針對(duì)瞬態(tài)極化雷達(dá)（IPR）兩路極化波形相關(guān)度較高而導(dǎo)致的目標(biāo)極化參數(shù)估計(jì)誤差大的問題，該文提出純相位譜逼近算法（POSAA）來設(shè)計(jì)具有低相關(guān)水平的波形對(duì)。首先，以積分旁瓣電平準(zhǔn)則構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)；然后利用相關(guān)與譜的傅里葉變換對(duì)關(guān)系，基于譜逼近的思想，推導(dǎo)了目標(biāo)函數(shù)的頻域表示；最后獲得目標(biāo)函數(shù)的梯度和Hess矩陣，并采用信賴域方法優(yōu)化求解目標(biāo)函數(shù)以獲得理想波形。仿真結(jié)果表明優(yōu)化后的波形對(duì)具有極低的相關(guān)水平，且利用該優(yōu)化波形獲得的目標(biāo)參數(shù)誤差遠(yuǎn)小于當(dāng)前常見波形。

瞬態(tài)極化雷達(dá)；波形設(shè)計(jì)；旁瓣抑制；功率譜擬合；相位編碼

1 引言

隨著雷達(dá)環(huán)境的日趨復(fù)雜，設(shè)計(jì)具有低相關(guān)旁瓣的波形正受到越來越多學(xué)者的關(guān)注［1-4］。在通信和雷達(dá)領(lǐng)域，要求發(fā)射波形在自相關(guān)主瓣附近具有低的旁瓣，同時(shí)要求在特定區(qū)間上具有極低的互相關(guān)幅值［5］，這樣不僅減少了雷達(dá)場景中距離向分布的各散射體之間的距離旁瓣干擾［6］；而且確保了在接收端，匹配濾波器可以準(zhǔn)確地將目標(biāo)距離單元的信號(hào)解調(diào)出來，同時(shí)抑制其他距離單元的反射信號(hào)［7，8］。

文獻(xiàn)［9］提出一種循環(huán)迭代算法來設(shè)計(jì)低距離旁瓣的稀疏頻譜波形，使其滿足最小化功率譜密度均方差和距離旁瓣的要求，文獻(xiàn)［10］利用模擬退火算法，面向正交組網(wǎng)雷達(dá)設(shè)計(jì)具有良好自相關(guān)和互相關(guān)特性的正交波形。在目前的研究中，瞬態(tài)極化雷達(dá)常采用近似全局正交波形，例如頻移脈沖矢量波形［11］和正負(fù)線性調(diào)頻波形［12］，但這些波形的距離旁瓣較高，會(huì)引起距離遮蔽效應(yīng)，且波形正交性的限制使得極化參數(shù)估計(jì)性能不高。本文將瞬態(tài)極化雷達(dá)看作具有2個(gè)發(fā)射端和2個(gè)接收端的多輸入多輸出（MIMO）雷達(dá)，所以設(shè)計(jì)MIMO雷達(dá)正交波形的方法同樣可用于瞬態(tài)極化雷達(dá)的波形設(shè)計(jì)。例如，當(dāng)指定波形個(gè)數(shù)為 2時(shí)，文獻(xiàn)［13］提出的 Multi-WeCAN算法即可為瞬態(tài)極化雷達(dá)的兩個(gè)極化通道設(shè)計(jì)正交波形。然而，作為一種MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)算法，Multi-WeCAN必須有能力設(shè)計(jì)包含任意數(shù)量的波形集合，這使它無法針對(duì)瞬態(tài)極化雷達(dá)這樣的應(yīng)用作特殊的優(yōu)化，因此運(yùn)行效率和設(shè)計(jì)效果并不理想。

本文從另一個(gè)角度出發(fā)，根據(jù)波形的非周期相關(guān)函數(shù)與譜的傅里葉變換對(duì)的關(guān)系，面向瞬態(tài)極化雷達(dá)提出了一種純相位譜逼近算法（Phase Only Spectral Approximation Algorithm， POSAA）來設(shè)計(jì)局部正交波形對(duì)。該方法優(yōu)化兩個(gè)波形，分別構(gòu)造它們的自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)，然后使用子空間信賴域算法求解。瞬態(tài)極化雷達(dá)采用這種波形可以更好地抑制目標(biāo)附近的距離旁瓣干擾，同時(shí)極化參數(shù)估計(jì)更為準(zhǔn)確。在瞬態(tài)極化雷達(dá)的應(yīng)用背景下，與Multi-WeCAN算法相比，該算法不僅具有更好的運(yùn)算效率，而且設(shè)計(jì)的波形具有更低的相關(guān)水平。

2 問題建模

瞬態(tài)極化雷達(dá)系統(tǒng)由水平和垂直極化通道構(gòu)成，發(fā)射波形的基帶離散形式分別用 s1和 s2表示，系統(tǒng)框架如圖1所示。

圖1 瞬態(tài)極化雷達(dá)天線收發(fā)系統(tǒng)

當(dāng)波形 s1和 s2具有較好的相關(guān)特性，即低的相關(guān)幅值時(shí)，距離旁瓣干擾和極化通道間的干擾可以大大降低。為描述對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，引入如下的定義：

距離單元q內(nèi)目標(biāo)的極化散射矩陣為

序列在延遲n處的非周期相關(guān)函數(shù)表示為

為了最大化利用發(fā)射機(jī)功率，在雷達(dá)發(fā)射機(jī)中要求發(fā)射的波形為恒模［14］，則波形優(yōu)化問題表示如式（6）所示。

由目標(biāo)函數(shù)式（5）的形式可以看出，為了對(duì)相關(guān)進(jìn)行優(yōu)化，需要計(jì)算大量數(shù)據(jù)的乘法和加法。為了提高運(yùn)行效率，減少計(jì)算冗余，這里引入譜逼近算法（Spectral Approximation Algorithm， SAA）的思想，利用相關(guān)函數(shù)與譜的傅里葉變換對(duì)關(guān)系，將時(shí)域的設(shè)計(jì)目標(biāo)轉(zhuǎn)化為頻域的設(shè)計(jì)目標(biāo)。為了方便描述，首先定義如式（7）所示的蒙版向量：

式（5）所示的目標(biāo)函數(shù)可以等價(jià)為

其中N為信號(hào)波形的碼長，運(yùn)算符Diag將指定的向量構(gòu)造為對(duì)角陣，定義如下：

其中 rn在式（2）中定義，利用相關(guān)與譜的傅里葉變換關(guān)系，該函數(shù)可定義如式（12）：

將函數(shù) r （·，·）通過 DFT實(shí)現(xiàn)的定義式（12）代入目標(biāo)函數(shù)得

由范數(shù)的性質(zhì)可知， infJc（s2）= 0，而方程 Jc（s2）= infJc（s2）在頻域中的解集合可以表示為

式（15）包含的意義可以表達(dá)為：讓 s2的頻譜去逼近矩陣零空間中的一個(gè)向量，可以減小目標(biāo)函數(shù) Jc的值。如果不考慮任何約束條件的話，這是一個(gè)基本的子空間投影問題，可以用奇異值分解進(jìn)行求解。然而，對(duì)于實(shí)際應(yīng)用而言，雷達(dá)系統(tǒng)常常要求發(fā)射波形具有恒模特性［14］，而恒模約束使原本的線性空間投影問題變成了非凸的非線性優(yōu)化問題，其數(shù)學(xué)形式如式（16）所示：

集值函數(shù) SMC（·）定義為

3 波形設(shè)計(jì)

由于約束條件的非線性特性，式（16）的求解非常困難。這里引入黎曼優(yōu)化的概念，將波形的碼元相位作為優(yōu)化變量，提出名為純相位譜逼近（POSAA）的方法。該方法利用相關(guān)和譜的傅里葉變換關(guān)系，將對(duì)波形的優(yōu)化轉(zhuǎn)化為對(duì)相位的優(yōu)化，最后利用信賴域的思想進(jìn)行求解。與 Multi-WeCAN相比，因面向?qū)ο蟛煌M(jìn)而算法的自由度提高，設(shè)計(jì)的波形在特定區(qū)間具有更低的相關(guān)水平。對(duì)于前者，其實(shí)質(zhì)是2N - 1個(gè)矩陣的逼近問題，也就是 3維數(shù)組的逼近問題，不僅計(jì)算復(fù)雜度大，而且難于應(yīng)用1維波形設(shè)計(jì)所適用的矩陣分析理論；而對(duì)于后者，設(shè)計(jì)的算法將3維數(shù)組的逼近問題轉(zhuǎn)化為向量的逼近問題，且將時(shí)域的優(yōu)化問題映射到頻域利用FFT進(jìn)行運(yùn)算，大大提高了運(yùn)算效率。

同時(shí)本文提出了串行思想設(shè)計(jì)波形，把瞬態(tài)極化雷達(dá)的波形設(shè)計(jì)分為兩個(gè)步驟：第1步設(shè)計(jì) s1滿足理想的自相關(guān)要求，第2步設(shè)計(jì) s2滿足理想的自相關(guān)和互相關(guān)要求。這樣可以避免由于并行處理、同時(shí)優(yōu)化帶來的高復(fù)雜度、高計(jì)算量的問題。

定義基帶發(fā)射信號(hào)的波形矩陣為

則恒模序列 s1和 s2可以表達(dá)為［15］：

下面對(duì)算法進(jìn)行推導(dǎo)。

3.1設(shè)計(jì)第1個(gè)波形滿足自相關(guān)要求

當(dāng) s1=s2時(shí)，由式（16），式（19）得到第1個(gè)目標(biāo)函數(shù)為

其中

這里采用子空間信賴域的近似求解方法［16］求解這個(gè)問題，信賴域思想就是在φ的鄰域，利用一階導(dǎo)函數(shù)和二階導(dǎo)函數(shù)即Hess矩陣，將目標(biāo)函數(shù)用一個(gè)更簡單的二階函數(shù)去逼近，以此最小化目標(biāo)函數(shù)。

由鏈?zhǔn)椒▌t

其中

若令

則3.2 設(shè)計(jì)第 2個(gè)波形的自相關(guān)和兩個(gè)波形間的互相關(guān)

當(dāng) s1確定后，由式（16），式（19）得到第2個(gè)目標(biāo)函數(shù)為

為了描述方便，記

則目標(biāo)函數(shù)可化簡為

可以導(dǎo)出：

其中式（33），式（34）的推導(dǎo)利用到式（35）：

3.3 波形設(shè)計(jì)算法

由上面的分析和推導(dǎo)，可以得到如下的波形設(shè)計(jì)步驟：

步驟 1 設(shè)定 Qr，根據(jù)式（16）建立目標(biāo)函數(shù)；

步驟 2 生成隨機(jī)初始點(diǎn)；

步驟 3 由式（28）得到自相關(guān)目標(biāo)函數(shù)的梯度矩陣，根據(jù)文獻(xiàn)［16］提出的信賴域問題的近似解法進(jìn)行求解，優(yōu)化 s1滿足理想自相關(guān)；

步驟 4 由式（33），式（34）分別得到互相關(guān)目標(biāo)函數(shù)的梯度和Hess矩陣，優(yōu)化 s2使其同時(shí)滿足 s1和 s2的互相關(guān)以及 s2的自相關(guān)；

步驟 5 將求解得到的碼元相位向量代入式（19），得到瞬態(tài)極化雷達(dá)兩個(gè)發(fā)射通道的波形向量。3.4 極化散射矩陣的估計(jì)

瞬態(tài)極化雷達(dá)很重要的一個(gè)特點(diǎn)就是利用兩路盡可能正交的極化信號(hào)，通過同時(shí)發(fā)射，全極化同時(shí)接收，實(shí)現(xiàn)在一個(gè)脈沖周期內(nèi)估計(jì)出目標(biāo)的極化散射矩陣的 4個(gè)元素［17］；而分時(shí)極化雷達(dá)由于交替發(fā)射兩路極化信號(hào)，同時(shí)用兩個(gè)極化通道對(duì)目標(biāo)回波進(jìn)行相參接收，所以至少需要兩個(gè)脈沖周期才能完整估計(jì)出目標(biāo)的極化散射矩陣；除此之外，面對(duì)運(yùn)動(dòng)姿態(tài)變化導(dǎo)致的散射特性隨時(shí)間變化較快的目標(biāo)，分時(shí)極化雷達(dá)很可能造成距離模糊，影響測(cè)量精度［18］。所以極化散射矩陣的估計(jì)是衡量雷達(dá)性能的關(guān)鍵元素。

瞬態(tài)極化雷達(dá)的回波可以表示為［19］

其中 Y =［y （1），y （2）］T∈C2×N， a為回波幅度，∑為極化散射矩陣，由式（1）定義，S為瞬態(tài)極化雷達(dá)的波形矩陣，由式（18）定義，W ∈C2×N為白噪聲分量。

其中

4 仿真分析與應(yīng)用實(shí)例

仿真 1為了檢驗(yàn)旁瓣抑制效果，設(shè)置以自相關(guān)序列的0延遲處為中心，1～40的相關(guān)區(qū)間為抑制區(qū)間，序列長度設(shè)置為256，設(shè)置Multi-WeCAN算法只設(shè)計(jì)兩個(gè)波形。

圖2（a）， 2（b）展示了本文算法POSAA設(shè)計(jì)的波形和Multi-WeCAN算法設(shè)計(jì)的波形的自相關(guān)，本文設(shè)計(jì)的兩個(gè)波形在設(shè)定抑制的距離區(qū)間達(dá)到了-2 00 dB 的效果，極大的減少了雷達(dá)場景中距離向分布的各散射體之間的距離旁瓣干擾；而 Multi-WeCAN算法設(shè)計(jì)的波形自相關(guān)只達(dá)到了 -50 dB的效果。

圖2（c）表示了本算法設(shè)計(jì)的波形對(duì)和 Multi-WeCAN算法設(shè)計(jì)的波形對(duì)的互相關(guān)，在抑制區(qū)間，本文設(shè)計(jì)的兩個(gè)波形互相關(guān)達(dá)到 - 180 dB ，極大減少了瞬態(tài)極化雷達(dá)中不同極化通道間的相互干擾，且在接收端通過匹配濾波可以準(zhǔn)確地得到所需要的目標(biāo)信息；而Multi-WeCAN算法設(shè)計(jì)的波形對(duì)，在所要抑制的區(qū)間僅僅達(dá)到 -4 0 dB的效果。

圖2 POSAA算法和Multi-WeCAN算法設(shè)計(jì)的具有單個(gè)凹口波形的各極化通道相關(guān)水平對(duì)比

表1展示了Multi-WeCAN算法和POSAA算法分別設(shè)計(jì)不同長度波形的耗時(shí)，由表中數(shù)據(jù)可以看出POSAA算法在計(jì)算量和運(yùn)算效率上的優(yōu)勢(shì)。

表1 Multi -WeCAN與POSAA設(shè)計(jì)波形的運(yùn)算時(shí)間（s）

仿真2為不失一般性，選擇10～30和100～120同時(shí)作為抑制區(qū)間，其它參數(shù)設(shè)置同上，算法性能如圖3所示。

可以看出，對(duì)于瞬態(tài)極化雷達(dá)，在此設(shè)置區(qū)間，本文提出的算法也要優(yōu)于Multi-WeCAN算法。

仿真 3為了驗(yàn)證瞬態(tài)極化雷達(dá)可以利用更短的時(shí)間獲得與分時(shí)極化雷達(dá)相同甚至更準(zhǔn)確的目標(biāo)信息，這里仿真了兩種雷達(dá)體制利用上述設(shè)計(jì)的波形估計(jì)目標(biāo)極化散射矩陣的性能，以及瞬態(tài)極化雷達(dá)分別利用本文設(shè)計(jì)的波形，Multi-WeCAN算法設(shè)計(jì)的波形和斜率相反的線性調(diào)頻波形估計(jì)目標(biāo)的極化散射矩陣的性能。

圖4表示了利用式（38）在不同信噪比下分別做100次蒙特卡洛仿真，采用POSAA算法設(shè)計(jì)的波形，瞬態(tài)極化雷達(dá)和分時(shí)極化雷達(dá)對(duì)極化散射矩陣的均方誤差對(duì)比。圖中可以看出，兩者對(duì)于極化散射矩陣的估計(jì)能力相當(dāng)；但是由于瞬態(tài)極化雷達(dá)只用發(fā)射一個(gè)脈沖就可以獲得目標(biāo)的極化散射矩陣，對(duì)于散射特征隨時(shí)間變化快的目標(biāo)，具有良好的適應(yīng)性。

圖5展示了不同信噪比下分別做100次蒙特卡洛仿真，瞬態(tài)極化雷達(dá)分別采用POSAA算法設(shè)計(jì)的波形，Multi-WeCAN算法設(shè)計(jì)的波形和斜率相反的線性調(diào)頻波形，由式（38），對(duì)目標(biāo)極化散射矩陣的均方誤差進(jìn)行對(duì)比。由發(fā)射波形不同引起的極化散射矩陣的均方誤差可知：POSAA算法設(shè)計(jì)的波形優(yōu)于其余兩種波形。

5 結(jié)束語

圖3 POSAA算法和Multi-WeCAN算法設(shè)計(jì)的具有多個(gè)凹口波形的各極化通道相關(guān)水平對(duì)比

本文提出了一種波形設(shè)計(jì)算法 POSAA，該算法可以在特定區(qū)間產(chǎn)生具有極低相關(guān)旁瓣的波形。這類波形有效地避免了瞬態(tài)極化雷達(dá)距離旁瓣干擾和極化通道間的干擾，同時(shí)對(duì)于距離旁瓣遮蔽和多路徑效應(yīng)也有良好的抑制效果。POSAA基于功率譜擬合的思想，通過FFT進(jìn)行運(yùn)算，利用信賴域算法求解，提高了運(yùn)算效率和相關(guān)水平的抑制效果。計(jì)算機(jī)仿真表明，在瞬態(tài)極化雷達(dá)的背景下，POSAA算法設(shè)計(jì)的波形相關(guān)水平能穩(wěn)定保持在-1 70 dB 以下，遠(yuǎn)低于文獻(xiàn)［13］提出的 Multi-WeCAN算法設(shè)計(jì)的波形；另外在對(duì)目標(biāo)的極化散射矩陣估計(jì)和運(yùn)算速度上，POSAA算法設(shè)計(jì)的波形都要優(yōu)于Multi-WeCAN算法設(shè)計(jì)的波形。

圖4 瞬態(tài)極化雷達(dá)和分時(shí)極化雷達(dá)在不同信噪比下對(duì)極化散射矩陣的估計(jì)誤差對(duì)比

圖5 瞬態(tài)極化雷達(dá)利用不同波形對(duì) 極化散射矩陣的估計(jì)誤差對(duì)比

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［19］ 趙宜楠， 龐曉宇， 王軍， 等. 嚴(yán)重拖尾雜波中距離擴(kuò)展目標(biāo)的自適應(yīng)極化檢測(cè)［J］. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)， 2014， 46（4）: 70-74. Zhao Yi-nan， Pang Xiao-yu， Wang Jun， et al.. Adaptive polarimetric detection of range spread targets in heavy-tailed compound-Gaussian clutter［J］. Journal of Harbin Institute of Technology， 2014， 46（4）: 70-74.

趙宜楠： 男，1977年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)槔走_(dá)統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理、自適應(yīng)波形設(shè)計(jì).

姜智卓： 男，1994年生，碩士生，研究方向?yàn)樽赃m應(yīng)信號(hào)處理、雷達(dá)統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理.

李風(fēng)從： 男，1985年生，工程師，研究方向?yàn)樽赃m應(yīng)信號(hào)處理、雷達(dá)統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理、自適應(yīng)極化檢測(cè)器.

馮 翔： 男，1988年生，博士生，研究方向?yàn)檎J(rèn)知雷達(dá)、雷達(dá)信號(hào)處理.

周志權(quán)： 男，1973年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)樾盘?hào)與信息處理.

Optimal Waveform Design for Instantaneous Polarization Radar via Spectral Approximation

Zhao Yi-nan Jiang Zhi-zhuo Li Feng-cong Feng Xiang Zhou Zhi-quan
（School of Electronics and Information Engineering， Harbin Institute of Technology， Harbin 150001， China）

To reduce estimation error caused by high correlation level of two transmitted waveforms， a novel method is proposed to design a couple of waveforms with low correlation level， named Phase Only Spectral Approximation Algorithm （POSAA）. Firstly， the object function is constructed under the rule of minimizing the integrated sidelobe level. Secondly， the object function is derived in frequency domain based on spectral approximation， according to the relationship between correlation sequences and the power spectral density of waveforms. Finally， the object function is optimized by trust region algorithm using its gradient and Hessian matrix. The numerical simulations have demonstrated that the designed waveforms posses a good correlation level，and the error of received target polarization information using this waveform is much less than others.

Instantaneous Polarization Radar （IPR）； Waveform design； Sidelobe suppression； Spectral approximation； Phased-coded

The National Natural Science Foundation of China （61371181）

TN958

A

1009-5896（2015）12-2964-07

10.11999/JEIT150299

2015-03-11；改回日期：2015-08-12；網(wǎng)絡(luò)出版：2015-10-16

*通信作者：周志權(quán) zzq@hitwh.edu.cn

國家自然科學(xué)基金（61371181）