蔣濤+陳龍+張孝良

摘 要：采用基于Routh穩(wěn)定判據(jù)的Pade逼近法對被動天棚阻尼懸架系統(tǒng)進行降階，尋找階次低、元件少的ISD懸架結(jié)構(gòu)。建立四分之一懸架模型，運用統(tǒng)一目標函數(shù)的遺傳算法優(yōu)化結(jié)構(gòu)的參數(shù)，對比分析了傳統(tǒng)被動、被動天棚阻尼和降階ISD三種懸架系統(tǒng)的性能。結(jié)果表明，與被動天棚阻尼懸架相比，降階ISD懸架的車身加速度、輪胎動載荷和懸架動行程均方根值都不同程度逼近被動天棚阻尼懸架，能夠?qū)崿F(xiàn)被動天棚阻尼懸架的主要性能，說明經(jīng)降階優(yōu)化的ISD懸架綜合性能可以接近被動天棚阻尼懸架，研究結(jié)果從理論上驗證了基于Routh穩(wěn)定判據(jù)的Pade逼近法的有效性。

關(guān)鍵詞：Routh穩(wěn)定判據(jù)；Pade逼近法；天棚阻尼；ISD懸架；參數(shù)優(yōu)化

中圖分類號：U463.33文獻標文獻標識碼：A文獻標DOI：10.3969/j.issn.2095-1469.2015.03.05

基于經(jīng)典隔振理論的傳統(tǒng)懸架由彈簧和阻尼器構(gòu)成，一些學者通過優(yōu)化被動懸架的結(jié)構(gòu)參數(shù)來提高懸架的隔振性能，其性能潛力已達極限，進一步提高其減振性能受限。慣容器的出現(xiàn)以及“慣容器-彈簧-阻尼”懸架體系的確立突破了傳統(tǒng)被動懸架的性能瓶頸，進一步拓展了經(jīng)典隔振理論，開辟出一條改善懸架性能的新途徑[1-3]。

理想天棚阻尼作為一種控制策略，在可控懸架的控制研究中得到了廣泛應用[4-6]。由于理想天棚阻尼要求阻尼元件必須與慣性系相連，傳統(tǒng)被動車輛懸架系統(tǒng)無法滿足該條件。文獻[7]提出一種理想天棚阻尼的被動實現(xiàn)方法，設計出一種不需要能量輸入，不依賴控制系統(tǒng)的被動天棚阻尼懸架。

被動天棚阻尼懸架系統(tǒng)是一種速度反饋系統(tǒng)，利用“慣容-彈簧-質(zhì)量”系統(tǒng)的反共振現(xiàn)象，抑制車身共振并轉(zhuǎn)換為慣容器的共振，使天棚阻尼吸收慣容器的振動能量，從而以被動的形式實現(xiàn)理想天棚阻尼的效果，達到抑制車身共振，改善行駛平順性的目的[7]。然而被動天棚阻尼懸架是兩級串聯(lián)的結(jié)構(gòu)，由5個元件組成，結(jié)構(gòu)復雜，階次較高，工程化條件較差。

本文基于Routh穩(wěn)定判據(jù)的Pade逼近法對被動天棚阻尼懸架系統(tǒng)進行降階，尋找出符合或近似于此傳遞函數(shù)的機械系統(tǒng)，并采用統(tǒng)一目標函數(shù)的遺傳算法優(yōu)化結(jié)構(gòu)參數(shù)，探索階次低、元件少、性能能夠達到或接近被動天棚阻尼懸架的ISD懸架結(jié)構(gòu)。

1 基于Routh穩(wěn)定判據(jù)的Pade逼近法降階

1.1 降階基礎(chǔ)

慣容器如同機械系統(tǒng)中的彈簧和阻尼器一樣，是一種真正的兩端點元件，其動力學表達式為

。

根據(jù)機械阻抗的定義，可以導出慣容器、彈簧和阻尼三種元件的機械阻抗表達式：

。

。

。

式中，f為施加于元件兩端點上等大反向的力，kN；v為端點速度，m/s；b為慣容系數(shù)，kg；k為彈簧剛度，kN/m；c為阻尼系數(shù)，kN·m·s-1；s為拉氏變換復變量。

由慣容器、彈簧和阻尼三種元件的機械阻抗及串、并聯(lián)系統(tǒng)的阻抗特性可得到圖1中a所示的被動天棚阻尼懸架的機械阻抗：

式中，

為了保持車身的高度，懸架結(jié)構(gòu)一定有彈簧這一彈性元件，懸架系統(tǒng)可以視為圖1中b所示的元件組合，因此被動天棚阻尼懸架的等效機械阻抗Y（s）可改寫成：

。

式中，；；；；

；

；

。

降階過程采用兩步法：首先利用Routh近似法求取低階簡化模型的分母多項式，然后用Pade逼近法求分子多項式。這樣，既能保證降階后的穩(wěn)定性，又能吸取Pade逼近法的優(yōu)點[8]。

1.2 Routh近似法

設高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

。

式中，m≤n。運用Routh穩(wěn)定判據(jù)于的分母多項式，將其改寫成下式（設n為偶數(shù)）：

。

設。

根據(jù)式（6），可以將被動天棚阻尼懸架模型的降階歸納為對K（s）的降階（其中n=2），運用Routh法可以將K（s）的分母Q（s）改寫成：

因此

。

式中，。

1.3 Pade逼近法

設對應高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有一有理函數(shù) ：

。

則稱為函數(shù)G（s）的（ j，k）階Pade逼近。 的分子多項式系數(shù)、分母多項式系數(shù)由線性方程組確定[9]。

通過式（12）可以求出d0，則

將K1（s）帶入式（6）可得

式中，；

。

進一步化解可以得到

式中，；。

降階后的機械阻抗對應的物理實現(xiàn)模型如圖2所示。

2 降階模型動力學建模及優(yōu)化

2.1 懸架系統(tǒng)建模

應用復域機械阻抗法建立1/4懸架模型，如圖3所示。

該1/4懸架模型拉普拉斯變換下的動力學方程為

。

式中，m1為簧下質(zhì)量，kg；m2為簧上質(zhì)量，kg；z0為路面隨機輸入；z1，z2分別為簧下、簧上質(zhì)量垂直位移，m；z0，z1，z2分別為z0，z1，z2的拉氏變換形式；kt 為輪胎剛度，kN/m；Y（s）為復域懸架阻抗。

根據(jù)式（16）可以求出車身加速度對z0的傳遞函數(shù)：

。

輪胎動載荷Fd對z0的傳遞函數(shù)：

。

懸架動行程 fd對z0的傳遞函數(shù)：

。

式中，。

路面輸入采用文獻[9]給出的模型，可以得到時間頻率表達的路面譜：

。

式中，G0為路面不平度系數(shù)；u為車輛行駛速度，m/s； f為時間頻率，Hz；指數(shù)p表示雙對數(shù)坐標下譜密度曲線的斜率。

令，則車身加速度、輪胎動載荷和懸架動行程的功率譜密度分別為[10]

。

。

。

相應的均方根值分別為

。

。

。

2.2 多目標懸架參數(shù)優(yōu)化

為了使降階ISD懸架結(jié)構(gòu)性能逼近被動天棚阻尼懸架最佳性能，對該結(jié)構(gòu)元件參數(shù)進行優(yōu)化。車身加速度均方根值BA、輪胎動載荷均方根值DTL和懸架動行程均方根值SWS是懸架性能重要的評價指標，因此這是一個多目標優(yōu)化的問題。線性加權(quán)法可以有效權(quán)衡各目標函數(shù)，采用該方法將各目標函數(shù)統(tǒng)一為一個目標函數(shù)。將降階ISD懸架結(jié)構(gòu)性能與被動天棚阻尼懸架進行對比，側(cè)重于乘坐舒適性，選取加權(quán)因子w1=0.54，w2=0.33，w3=0.13，故優(yōu)化的統(tǒng)一目標函數(shù)為

。

式中，BAsky、DTLsky、SWSsky表示被動天棚阻尼懸架的最優(yōu)均方根值，、、表示降階ISD懸架均方根值。

某款成熟轎車懸架及被動天棚阻尼懸架相關(guān)參數(shù)見表1，遺傳算法最大的遺傳代數(shù)為50，代溝為0.9。運用多目標遺傳算法來實現(xiàn)統(tǒng)一目標函數(shù)f（x）的迭代過程，取彈簧剛度k為可調(diào)整參數(shù)，搜索每個k值對應點的最佳性能指標，找出相對應的c、b值。被動天棚阻尼懸架S1及降階ISD懸架S2傳遞函數(shù)增益如圖4所示，與被動天棚阻尼懸架S1相比，降階ISD懸架S2的車身加速度、輪胎動載荷增益同樣能夠抑制1～3 Hz低頻段共振峰及9～12 Hz的高頻段共振峰，中頻段性能也較接近，懸架動行程增益在全頻域內(nèi)性能優(yōu)于被動天棚阻尼懸架S1。總體上，降階ISD懸架S2的車身加速度、輪胎動載荷和懸架動行程都不同程度逼近被動天棚阻尼懸架S1，優(yōu)化參數(shù)見表1。

3 系統(tǒng)性能分析

設在某典型路面上，車速為20 m/s，取不平度系數(shù)G0為5×10-6 m3/cycle，指數(shù)P為2.5，采用數(shù)值積分法將各自懸架系統(tǒng)的機械阻抗及系統(tǒng)參數(shù)代入式（17）～（26），響應均方根值見表2，車身加速度、輪胎動載荷和懸架動行程的功率譜密度如圖5所示。

由表2可知，與傳統(tǒng)被動懸架相比，降階ISD懸架S2與被動天棚阻尼懸架S1的車身加速度均方根值分別減少了5.9%和23.8%，輪胎動載荷均方根值分別減少了6.1%和0.3%，懸架動行程均方根值分別減少了3.4%和增加了2.0%。根據(jù)式（27）可知，當min f（x） =1時，該降階ISD懸架性能與被動天棚阻尼懸架接近，結(jié)果得到f（x） =1.101 0，說明降階ISD懸架S2取代被動天棚阻尼懸架S1時，車輛綜合性能較接近。

由圖5可知，降階ISD懸架S2在低頻段功率譜密度曲線與被動天棚阻尼懸架S1基本重合，中頻段功率譜密度較S1略大，高頻段功率譜密度較S1有所減小。因此，與被動天棚阻尼懸架相比，降階ISD懸架車身加速度功率譜密度在1～3 Hz及9～15 Hz 內(nèi)的改善程度與被動天棚阻尼懸架非常接近，懸架動行程整體性能優(yōu)于被動天棚阻尼懸架，保證了車輛的乘坐舒適性，降階ISD懸架輪胎動載荷在1～3 Hz接近被動天棚阻尼懸架，在9～15 Hz優(yōu)于被動天棚阻尼懸架，保證了車輛的行駛安全性，說明降階ISD懸架綜合性能在全頻域范圍都較接近被動天棚阻尼懸架。

4 結(jié)論

（1）與被動天棚阻尼懸架相比，降階ISD懸架的車身加速度、輪胎動載荷和懸架動行程均方根值都不同程度逼近被動天棚阻尼懸架，能夠?qū)崿F(xiàn)被動天棚阻尼懸架的主要性能。

（2）降階ISD懸架由三元件組成，階次低、元件少，研究結(jié)果從理論上驗證了基于Routh穩(wěn)定判據(jù)的Pade逼近法的有效性，說明經(jīng)降階優(yōu)化的ISD懸架綜合性能可以接近被動天棚阻尼懸架。

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