毛枚良，燕振國，劉化勇，朱華君，鄧小剛

（1．中國空氣動力研究與發(fā)展中心 空氣動力學(xué)國家重點實驗室，四川 綿陽 621000；2．國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，湖南 長沙 410073；3．中國空氣動力研究與發(fā)展中心 計算空氣動力學(xué)研究所，四川 綿陽 621000）

0 引言

以高速湍流和氣動聲學(xué)為代表的復(fù)雜流場中往往包含激波和豐富的尺度，可能跨越多個量級的流動結(jié)構(gòu)，要精確模擬這類流動，需要采用能夠捕捉激波的非線性高精度格式。眾所周知，數(shù)值格式截斷誤差只是給出了數(shù)值解逼近真解的收斂速率，并不能給出在一套具體網(wǎng)格上數(shù)值解實際誤差的大小。而格式的頻譜特性則提供了在一套網(wǎng)格上所有Fourier模態(tài)偏離真解的估計［1］。然而，當(dāng)流場中包含激波時，必須使用能夠捕捉激波的非線性格式，這類格式的模板往往具有自適應(yīng)的特征，且即使用來求解線性問題，也會表現(xiàn)出非線性特性?，F(xiàn)有的非線性格式，其非線性機(jī)制有多種表達(dá)方法，如TVD格式采用通量或斜率限制器［2］，ENO［3］、WENO［4］和 WCNS［5］格式采用自適應(yīng)模板選擇來估計數(shù)值通量。這種非線性機(jī)制的主要作用是激發(fā)間斷附近的數(shù)值耗散以阻止或限制Gibbs振蕩的出現(xiàn)。捕捉激波的高分辨率格式，往往包含一個相對應(yīng)的線性格式，如WENO格式和WCNS格式，將非線性權(quán)替換為最優(yōu)權(quán)時格式將退化為線性迎風(fēng)格式，有人直接以這些線性格式的頻譜特性來評價相應(yīng)非線性格式的頻譜特性［6］。然而，數(shù)值試驗表明非線性機(jī)制對數(shù)值結(jié)果具有顯著影響，格式的實際表現(xiàn)同基于線性頻譜特性的預(yù)測結(jié)果具有很大的差異。實際上，同一線性格式，可能對應(yīng)多個非線性格式，這些非線性格式在模擬同一個流動問題時其表現(xiàn)可能存在明顯差異，因此，直接采用非線性格式對應(yīng)的線性格式頻譜特性，顯然不能給出這類非線性格式的頻譜特性差異。

為了解決此問題，Pirozzoli［7］在定義格式近似色散關(guān)系(Approximate Dispersion Relation，ADR)的基礎(chǔ)上提出了一種擬線性頻譜分析方法，其目的:一是為了量化格式的非線性機(jī)制在波數(shù)空間對解的影響;二是確定一個誤差標(biāo)尺來作為比較激波捕捉格式的標(biāo)準(zhǔn)。文中對典型激波捕捉非線性格式的分析表明，與傳統(tǒng)的線性格式頻譜分析結(jié)果相比，非線性格式的近似色散關(guān)系(ADR)更加準(zhǔn)確地反映了非線性格式的特性。盡管該方法并沒有包含非線性格式固有的產(chǎn)生虛假Fourier模態(tài)及其模態(tài)之間非線性干擾對誤差的貢獻(xiàn)，正如作者Pirozzoli自己評價的那樣，該方法至少有兩個貢獻(xiàn):一是提供了非線性格式產(chǎn)生的總誤差的一個下界;二是提供了一個比較非線性格式特性的基礎(chǔ)，這不同于以往文獻(xiàn)的只能針對一個個具體算例進(jìn)行的評價。正因為如此，目前有不少研究者采用此方法來分析所構(gòu)造的非線性格式的頻譜特性，如涂國華等采用此方法比較了5階WENO格式和5階WCNS格式的頻譜特性［8］，Sun等人也將ADR方法作為其非線性格式參數(shù)選取的依據(jù)［9］。

擬線性頻譜分析方法假設(shè)初始流場為約化波數(shù)φ的單波，利用空間和時間離散格式將解推進(jìn)很小的時間步長，并利用離散Fourier變換得到初始情況下和時間推進(jìn)之后解中約化波數(shù)為φ的波的幅值(通常為復(fù)數(shù))，通過兩個幅值之間的比值可以構(gòu)造出該約化波數(shù)波的近似色散關(guān)系。由此得到的ADR公式中包含推進(jìn)時間步長和空間網(wǎng)格計算點個數(shù)兩個參數(shù)，而且其計算結(jié)果與初始單波的相位是相關(guān)的。這些參數(shù)的不合理選取會造成計算的擬線性頻譜具有不確定性。特別是如果計算點數(shù)選取不當(dāng)，擬線性頻譜曲線還會出現(xiàn)跳躍點，使得局部區(qū)域的頻譜特性出現(xiàn)很大的誤差，但是Pirozzoli及應(yīng)用該方法的研究者并未提及這些問題。本文希望通過對以上參數(shù)的影響進(jìn)行研究，提出解決方案，消除以上參數(shù)造成的非線性格式頻譜計算結(jié)果的不確定性，使得ADR公式的使用簡單方便，結(jié)果準(zhǔn)確可靠地反映非線性格式的擬線性頻譜特性。

圍繞上述目標(biāo)，發(fā)展了與時間離散無關(guān)的ADR公式，提出了一種計算點數(shù)的選取方法，避免了因計算點數(shù)選取不當(dāng)而使得頻譜特性出現(xiàn)不可忽略的計算誤差。在此基礎(chǔ)上，給出兩個三階非線性加權(quán)緊致格式的頻譜特性，并通過典型算例，展示了分析方法預(yù)測非線性格式頻譜特性在定性上的正確性。

1 擬線性頻譜分析方法及其改進(jìn)

1．1 原始擬線性頻譜分析方法

對線性波動方程:

在本文中取a=1。假定初始條件為:

其中φ=ωh為約化波數(shù)。此時，初始條件在Fourier空間中包含一對共軛復(fù)波。

在式(2)初始條件下，方程(1)的精確解為:

在均勻網(wǎng)格上考慮方程(1)的半離散形式，在xj=jh點:

對于任意顯式空間離散格式:

將公式(5)代入公式(4)得到:

其中Φ(φ)為格式的修正波數(shù)，對于譜格式有Φ(φ)=φ，對其他離散格式Φ(φ)則會偏離φ，其偏離程度就可以反映離散格式模擬該約化波數(shù)波的準(zhǔn)確程度。

對于非線性格式，Pirozzoli［7］人為定義了一個近似色散關(guān)系(ADR):

對于某網(wǎng)格(計算域為［0，L］，j=0，…N，h=L/N)，可以支持的模態(tài)為 λn=L/n(n=0，…，N/2)，對應(yīng)的約化波數(shù)為。對某一約化波數(shù)(φn)的波，對應(yīng)的Fourier系數(shù)可以采用離散Fourier變換(DFT)得到公式(8)實際是用DFT方法計算φ=φn模態(tài)的(復(fù))系數(shù)。具體實現(xiàn)細(xì)節(jié)見文獻(xiàn)［8］。

1．2 時間離散無關(guān)的擬線性頻譜分析方法

ADR公式(7)得到的頻譜特性實際上是推進(jìn)時間步長τ的函數(shù)，Pirozzoli只是建議將τ取很小的值來降低時間離散造成的影響，但并沒有對τ的影響進(jìn)行詳細(xì)研究。時間離散方法及其推進(jìn)步長選取的隨意性，會給結(jié)果帶來不確定性，如果選取不當(dāng)，甚至得到錯誤的結(jié)果。本文根據(jù)時間推進(jìn)步長是一個小量的假設(shè)，推導(dǎo)得到與時間離散無關(guān)的ADR公式。對vj(τ)進(jìn)行 Taylor展開:

并將其代入DFT計算公式(8)中，可以得到:

將公式(10)代入公式(7)，并讓τ→0:

顯然，原始ADR公式(7)所計算的頻譜特性實際上是公式(11)所對應(yīng)頻譜關(guān)系的數(shù)值逼近。公式(11)已經(jīng)不再包含時間τ，而且不再需要進(jìn)行時間推進(jìn)，僅僅通過初始流場就可以得到時間無關(guān)的擬線性頻譜特性(ADR-NoTimeparameter，ADR-NT)。與原始ADR公式相比，既降低了方法使用的難度、減少了計算量，又消除了由于時間離散引入的計算誤差［10］。

1．3 ADR-NT公式的進(jìn)一步簡化及其物理意義

如果初始條件固定為單頻余弦諧波并將初值代入計算公式，公式(11)可以進(jìn)一步簡化為:

當(dāng)采用線性格式(格式中系數(shù)bl為與流場無關(guān)的常數(shù))離散時，Φ(φn)= Φj(φ)(j=0，…，N)，，公式(12)將退化為線性格式頻譜計算表達(dá)式，此時，單一模態(tài)的波仍然保持為單一的模態(tài)。當(dāng)采用非線性格式(格式中系數(shù)bl為與流場變量相關(guān)的函數(shù))離散時體現(xiàn)了共軛復(fù)波之間的干擾對擬線性格式頻譜特性的影響，而Φ(φn)－{Φj(φn)+Φ'j(φn)}≠0表明非線性格式將產(chǎn)生其他模態(tài)的波。

2 擬線性頻譜分析方法中參數(shù)的影響研究

本節(jié)基于3階精度HWCNS格式，研究ADR公式中各種不同參數(shù)的影響。3階精度HWCNS格式對一階空間導(dǎo)數(shù)的離散形式為:

為子模板上的2階精度插值函數(shù)。ωk為子模板上的非線性權(quán)，其計算公式為:

αk可以采用多種計算方法給出，本文給出(19)和(20)兩種具體形式，格式分別記為HWCNS3-A和HWCNS3-B。

其中ε為小正數(shù)，以避免分母為零。βk為子模板上的光滑測試因子。d0=1/4，d1=3/4為子模板的線性權(quán)或者最優(yōu)權(quán)，對應(yīng)的線性格式記為UPW3。

2．1 時間步長的影響

公式(11)和公式(12)(分別記為ADR-NT和ADR-AV)應(yīng)該是公式(7)(記為ADR)時間趨向無窮小時的極限，當(dāng)時間步長τ足夠小時ADR應(yīng)該得到與ADR-NT和ADR-AV相同的結(jié)果。下面通過算例展示ADR公式中時間步長τ對計算結(jié)果的影響，空間離散格式采用HWCNS3-B，計算網(wǎng)格點數(shù)N=422。

很多人認(rèn)為只要安裝了安全座椅就安全了，事實上，家長在選擇安全座椅時還應(yīng)當(dāng)關(guān)注座椅是否能與汽車座位正確搭配。

圖1給出了雙精度情況下計算得到的頻譜曲線的實部和虛部，展示了公式(7)的計算結(jié)果與時間步長的相關(guān)情況。當(dāng)時間步長逐漸減小時，公式(7)的計算結(jié)果逐漸趨近于公式(11)和公式(12)的計算結(jié)果。當(dāng)時間步長較大時，時間離散格式的特性將會影響ADR計算結(jié)果，結(jié)果將偏離所要得到的空間離散格式的頻譜，在τ=10-4時計算結(jié)果仍然與公式(11)和公式(12)的計算結(jié)果有可見的差異。

圖2給出了單精度情況下的計算結(jié)果的實部，基本規(guī)律與雙精度情況下相同。然而當(dāng)τ太小時，ADR的計算結(jié)果也出現(xiàn)問題，這主要是由于計算機(jī)數(shù)字舍入誤差引起的。

圖1 雙精度情況下時間步長對ADR的影響Fig．1 InfluenceoftimesteponADR withdataofdoubleprecision

圖2 單精度情況下時間步長對ADR的影響Fig．2 InfluenceoftimesteponADR withdataofsingleprecision

2．2 計算點數(shù)與初始相位角的影響

除了時間步長，ADR公式中包含計算點數(shù)N和初始相位角θ兩個參數(shù)，因為單頻諧波的更一般形式為u(x，0)=cos(ωx+θ)(當(dāng)θ=－π/2是就轉(zhuǎn)化為正弦諧波)。圖3給出了在θ=0和θ=0．25π兩個初始相位角下N=120和N=122時計算得到的擬線性頻譜。當(dāng)N=122時計算得到的頻譜曲線是光滑的，兩個初始相位角的結(jié)果差異可以忽略(只給出一條曲線)。然而當(dāng)N=120時，在某些點上會出現(xiàn)跳躍，不同初始相位角的計算結(jié)果存在明顯差異。圖4進(jìn)一步給出了 N=120時，φ30=π/2和 φ29=29π/60兩個典型約化波數(shù)計算得到的修正波數(shù)(實部)隨初始相位角的變化情況。從結(jié)果，φ29=29π/60計算結(jié)果幾乎不隨初始相位變化，此時，修正波數(shù)的最大計算誤差僅有0．001%(“精確解”的計算方法將在下文中利用公式(21)給出);φ30=π/2時，修正波數(shù)隨初始相位角變化劇烈，最大誤差可達(dá)到28．5%。由此可見，計算點數(shù)和初始相位角這兩個參數(shù)可能會對非線性格式的擬線性頻譜產(chǎn)生較大的影響。

下面我們分析產(chǎn)生以上現(xiàn)象的原因。公式(12)表明ADR公式確定的頻譜關(guān)系實際上是各點所定義的頻譜關(guān)系的簡單代數(shù)平均(標(biāo)記為ADR-AV)，其實質(zhì)就是間隔相同的不同相位點上的頻譜關(guān)系的代數(shù)平均。對于某一固定約化波數(shù)的波，非線性權(quán)值實際上是由計算點所處的相位位置完全確定的，由此計算的Φj(φn)也就由約化波數(shù)和計算點的相位完全確定。對于波長為λn=L/n的波，計算域中包含有n個完整的波，如果波長λn與網(wǎng)格長度h沒有特定的倍數(shù)關(guān)系(例如，7個波長為60個網(wǎng)格長度)，那么每個完整波形中網(wǎng)格點所處的相位不會出現(xiàn)周期性，如圖5所示。因此，當(dāng)波形足夠多(N足夠大時)，公式(12)的代數(shù)平均將包含各個不同相位位置上的頻譜，最終頻譜關(guān)系將和初始相位無關(guān)。如果波長λn與網(wǎng)格的長度h存在特定的倍數(shù)關(guān)系(例如，N=120，φ30=π/2，λ30=4h)，此時網(wǎng)格點所處的相位位置是周期性的，如圖6所示，無論N有多大，公式(12)所做的平均都僅包含幾個特殊的相位點。因此，對這些特殊約化波數(shù)的波，計算得到的頻譜結(jié)果都不可避免地受初始相位的影響。圖3中頻譜曲線中跳躍點正是處于這些特殊點上，而當(dāng)N=122時，沒有約化波數(shù)的波滿足這種倍數(shù)條件，故所獲得的頻譜曲線是光滑的。

圖3 計算點數(shù)與初始相位角對ADR的影響Fig．3 Modifiedwavenumbervsgridpoints andinitialphaseangle

我們可以采用兩種方法來解決圖3中非線性頻譜不光滑且對初始相位角非常敏感的問題。第一種，通過對計算網(wǎng)格點數(shù)N進(jìn)行限制消除相位相關(guān)性。通常情況下N要求為偶數(shù)(N為奇數(shù)情況下φn無法取到π)，我們假設(shè)N=2Nh(其中Nh為正整數(shù))。從以上的分析可知，只要取Nh為一個質(zhì)數(shù)，就可以避免圖6所示的情況發(fā)生，正如圖3中Nh=61時所給出的修正波數(shù)結(jié)果，不僅曲線光滑，而且兩個初始相位角的結(jié)果差異可以忽略。

圖4 不同初始相位角的修正波數(shù)Fig．4 Modifiedwavenumbervsdifferentinitialphaseangles

圖5 一般情況下網(wǎng)格點在正弦波上的分布Fig．5 Distributionofgridpointsonthesinusoidalwave atnon-specialwavenumber

圖6 φ30=π/2時網(wǎng)格點在正弦波上的分布Fig．6 Distributionofgridpointsonthesinusoidalwave atwavenumberofφ30=π/2

第二種，通過不同初始相位修正波數(shù)的代數(shù)平均消除相位相關(guān)性。從數(shù)學(xué)的角度看，ADR方法實際上是不同相位點上的非線性修正波數(shù)的代數(shù)平均，我們也可以對不同初始相位的修正波數(shù)進(jìn)行代數(shù)平均來消除初始相位的影響。

下面我們討論第一種消除初始相位相關(guān)性的方法達(dá)到初始相位和計算點數(shù)對修正波數(shù)的影響可以忽略時，Nh的取值范圍。圖8給出了頻譜曲線隨Nh的變化情況，其中給出了Nh=997的頻譜曲線作為“精確解”?？梢钥吹?，當(dāng)Nh較小時，計算得到的修正波數(shù)與“精確解”存在較大偏差，Nh=23仍然可以明顯觀察出偏差，而當(dāng)Nh≥41時，計算得到的修正波數(shù)已經(jīng)觀察不出偏差。我們同時給出了Nh=60時，通過初始相位平均方法得到頻譜曲線，計算點上的修正波數(shù)同樣可以收斂到“精確解”。圖9給出了圖8中不同曲線相對“精確解”的差異。同樣可見，初始相位平均法的計算結(jié)果與Nh取足夠大質(zhì)數(shù)時的計算結(jié)果是一致的，不同Nh得到的修正波數(shù)曲線在大約化波數(shù)區(qū)間中存在相對較大的差異，且Nh為大于40的質(zhì)數(shù)時，初值初始相位和計算點數(shù)對修正波數(shù)計算結(jié)果的影響可以忽略。

圖7 初始相位平均ADR計算結(jié)果(Nh=50)Fig．7 ResultsofADRusinginitialphaseaveraging(Nh=50)

圖8 ADR的收斂性Fig．8 ConvergencepropertyofADR

圖9 計算點數(shù)對頻譜曲線誤差的影響Fig．9 InfluenceofgridpointsontheerrordistributionofADR

2．3 3階精度HWCNS格式的擬線性頻譜特性

基于上文的研究結(jié)論，采用ADR-NT公式，Nh=41，對3階精度HWCNS格式頻譜特性進(jìn)行研究。圖10給出了HWCNS3-A和HWCNS3-B格式的擬線性頻譜曲線。盡管HWCNS3-A和HWCNS3-B格式對應(yīng)的線性格式是完全相同的，ADR公式預(yù)測的擬線性頻譜表現(xiàn)卻有很大的差異。HWCNS3-B格式的色散誤差(實部)和耗散誤差(虛部)都明顯小于HWCNS3-A，特別是耗散誤差，HWCNS3-B格式的耗散在很大的范圍內(nèi)都明顯小于HWCNS3-A格式。圖10同時給出了的分布曲線，可以看到共軛復(fù)波之間的干擾，對格式的耗散特性的影響比色散特性要顯著，且對HWCNS3-B格式的影響明顯小于HWCNS3-A格式。

圖10 不同格式擬線性頻譜對比Fig．10 Comparisonofthequasi-linear spectralofdifferentschemes

3 數(shù)值模擬結(jié)果

3．1 氣動聲學(xué)模型問題的模擬

在氣動聲學(xué)問題，流動結(jié)構(gòu)的波長和波幅可能會比噪聲的波長和波幅大幾個量級，基于此背景，流場初始條件取為:

其中公式(22)中第一項是波長為L的低頻波，代表流場中大尺度的流場結(jié)構(gòu)。公式(22)中第二項代表不同頻率的聲波，其中系數(shù)A反映了聲波波幅的相對大小。

根據(jù)頻譜特性預(yù)測波在傳播過程中波幅為:

另外，數(shù)值計算可以得到波幅的變化情況。通過兩者的一致程度就可以評估ADR公式預(yù)測格式頻譜特性的準(zhǔn)確程度。利用公式(1)的線性方程進(jìn)行計算(a=1)，下面給出 φ=φn≈1．5的計算。

圖 11 給出了 A=0．001、A=0．01 和 A=0．1 時HWCNS3-A和HWCNS3-B格式計算得到波幅衰減曲線，同時也給出了格式擬線性頻譜特性預(yù)測的衰減曲線。從結(jié)果看，三種情況，HWCNS3-B格式的計算結(jié)果都要優(yōu)于HWCNS3-A格式的計算結(jié)果，同上文分析結(jié)論一致，但在預(yù)測準(zhǔn)確度上，存在明顯差異。

圖11 不同非線性格式波幅衰減曲線Fig．11 Amplitudedecaycurvesofdifferentnonlinearschemes

上文ADR公式計算非線性格式的修正波數(shù)曲線時，都采用了相應(yīng)頻率的余弦波作為初始條件，因此，得到的是非線性格式的擬線性頻譜特性(Quasi-Linear ADR，為了與上文統(tǒng)一將其標(biāo)記為ADR)。式(7)或式(11)定義的修正波數(shù)計算方法，可以推廣應(yīng)用于更加一般的初始條件，從而體現(xiàn)出不同頻率波之間干擾對非線性格式頻譜特性的影響，所得到的修正波數(shù)曲線為非線性頻譜特性(Non-LinearADR)。因此，可以進(jìn)一步根據(jù)非線性頻譜特性，來評價非線性格式對噪聲的模擬能力及其評價的正確性和準(zhǔn)確性。

圖12給出了HWCNS3-B格式在公式(22)初始條件下的非線性頻譜。圖中給出了不同幅值情況下得到的非線性頻譜，為了便于對比，同時給出了擬線性頻譜和線性格式UPW3的頻譜?？梢钥吹?，當(dāng)A較小時(A=0．001時)，計算得到的非線性頻譜接近UPW3線性格式的頻譜;當(dāng)A較大時(A=0．1時)，計算得到的非線性頻譜非常接近擬線性頻譜;而當(dāng)A=0．01時，得到的非線性頻譜處于線性頻譜和擬線性頻譜之間。當(dāng)A較小時，公式(22)第二項所疊加的高頻波幅值非常小，最終非線性權(quán)的大小將主要由第一項的低頻波決定，計算得到的非線性權(quán)也將非常接近最優(yōu)權(quán)，得到的非線性頻譜將非常接近線性頻譜。隨著A逐漸增大，高頻波的貢獻(xiàn)將越來越大，計算得到的非線性權(quán)也逐漸由高頻波主導(dǎo)，非線性頻譜曲線也就會接近擬線性頻譜曲線。

圖13、圖14和圖15分別給出了 A=0．001、A=0．01和A=0．1時波幅的衰減曲線，空間離散格式采用HWCNS3-B，三種情況綜合來看，非線性頻譜結(jié)果都給出了最準(zhǔn)確的預(yù)測，而其余頻譜結(jié)果的預(yù)測均有不足，因為非線性頻譜特性比較準(zhǔn)確地反映了三種情況下兩個頻率波的干擾特性。

圖12 非線性格式在氣動聲學(xué)模型問題中的頻譜Fig．12 Spectralpropertyofdifferentnonlinearschemes intheaero-acousticmodelproblem

圖13 波幅衰減曲線(A=0．001)Fig．13 Amplitudedecaycurves(A=0．001)

圖14 波幅衰減曲線(A=0．01)Fig．14 Amplitudedecaycurves(A=0．01)

3．2 鈍錐高超聲速繞流模擬

鈍錐球頭半徑 Rn=27．94mm，半錐角為15°，長度為球頭半徑的16倍。計算條件:M∞=10．6，Re=3．973×106m-1，T∞=47．3K，Tw=294．44K，α=20°。不計頭部，全模計算網(wǎng)格大小為111×221×101(流向×周向×法向)，物面網(wǎng)格雷諾數(shù)ReΔ≈4，計算網(wǎng)格被剖分為13塊，如圖16所示。

圖15 波幅衰減曲線(A=0．1)Fig．15 Amplitudedecaycurves(A=0．1)

圖16 鈍錐算例計算網(wǎng)格拓?fù)銯ig．16 Gridtopologyofbluntconecase

圖17 給出了不同子午面上的熱流分布，并與實驗結(jié)果進(jìn)行了對比(三族曲線分別對應(yīng)于 θ=180°，θ=90°，θ=0°)。解的準(zhǔn)確的程度不僅與計算格式相關(guān)，同時也會受網(wǎng)格的分布影響，本文采用的計算網(wǎng)格較密，因此所有格式都得到了相對較好的計算結(jié)果，且HWCNS3-B結(jié)果與實驗符合程度優(yōu)于HWCNS3-A，這與ADR方法給出的擬線性頻譜特性結(jié)果一致。

圖17 鈍錐算例熱流計算結(jié)果Fig．17 Heatfluxcomputationresultsofbluntconecase

4 結(jié)束語

針對Pirozzoli為非線性格式提出的擬線性頻譜分析方法在使用過程中的不足，比較深入地研究了時間步長、計算點數(shù)和單頻諧波初值初始相位對非線性格式頻譜特性計算結(jié)果的影響，獲得了以下結(jié)論:

(1)通過理論推導(dǎo)，發(fā)展了時間離散無關(guān)的擬線性頻譜分析方法，完全剔除了時間離散對非線性空間離散格式頻譜特性計算的影響;且時間離散無關(guān)的ADR公式清楚地體現(xiàn)了格式非線性導(dǎo)致的共軛復(fù)波干擾的影響及其產(chǎn)生二次波的機(jī)制。

(2)基于ADR的擬線性頻譜分析方法是Fourier線性頻譜分析方法的一種推廣，當(dāng)采用ADR-NT公式分析線性格式的頻譜特性時，ADR-NT公式自動退化為Fourier線性頻譜分析公式。

(3)找到了計算網(wǎng)格點數(shù)和初值相位對非線性空間離散格式的擬線性頻譜特性的影響原因，提出了兩種消除影響的方法:①計算網(wǎng)格點數(shù)為足夠大質(zhì)數(shù)的2倍;②均勻抽取足夠多個初始相位得到的結(jié)果進(jìn)行代數(shù)平均。并且兩種方法收斂到相同的擬線性頻譜曲線。對于本文的三階格式，該質(zhì)數(shù)大于40即可，控制計算網(wǎng)格點數(shù)的方法更加簡便易行。

(4)利用兩個三階精度WCNS非線性格式完成了兩個典型算例的計算，結(jié)果表明采用ADR公式獲得的擬線性頻譜能夠在定性上評價它們精度的優(yōu)劣，但定量上仍存在不足。

盡管ADR公式給出的擬線性頻譜特性在一定程度上反映了格式非線性特性的影響，但仍然沒有體現(xiàn)非線性格式虛假波的產(chǎn)生、不同頻率波之間的非線性干擾等復(fù)雜的非線性機(jī)制。因此，將進(jìn)一步發(fā)展和完善非線性格式頻譜分析方法，更加準(zhǔn)確地評估它們的特性。

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