林超，樊宇，曹喜軍，蔡志欽

(重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400030)

正交變傳動(dòng)比面齒輪傳動(dòng)是非圓齒輪與非圓面齒輪相互嚙合，相交軸為90°的齒輪傳動(dòng)，可以實(shí)現(xiàn)相交軸之間的變傳動(dòng)比運(yùn)動(dòng)。而面齒輪傳動(dòng)是圓柱齒輪與面齒輪相互嚙合的齒輪傳動(dòng)［1］。目前面齒輪傳動(dòng)主要應(yīng)用于直升機(jī)主減速器傳動(dòng)裝置的分流傳動(dòng)結(jié)構(gòu)［2］，應(yīng)用范圍狹窄，其主要原因是:面齒輪設(shè)計(jì)復(fù)雜，加工精度不高，磨齒困難等。以上原因制約了面齒輪傳動(dòng)的發(fā)展與應(yīng)用。日本佐賀大學(xué)在面齒輪滾齒加工方面研究出一種少齒數(shù)的大螺旋滾齒刀加工面齒輪的方法［3］。波茲南科技大學(xué)對(duì)面齒輪的銑削加工方法做了研究［4］。Litvin研究團(tuán)隊(duì)對(duì)面齒輪的研究做出了重要的貢獻(xiàn)［5］。我國(guó)對(duì)面齒輪研究起步較晚，尤其是面齒輪加工方面。近幾年，南京航空航天大學(xué)、西北工業(yè)大學(xué)等在面齒輪的磨齒方面［6-7］進(jìn)行了研究，特別是南京航空航天大學(xué)在面齒輪磨削方面研究了蝸桿磨削面齒輪的方法［8］;南京航空航天大學(xué)、西北工業(yè)大學(xué)等在面齒輪的插齒加工［9-10］方面做了研究。本文提出一種正交變傳動(dòng)比面齒輪傳動(dòng)，相比一般的面齒輪，可以實(shí)現(xiàn)變傳動(dòng)比傳動(dòng)。正交變傳動(dòng)比面齒輪齒面在圓周方向的高度是變化的，不能用傳統(tǒng)的插齒機(jī)床加工。為了解決這種新型面齒輪的制造問(wèn)題，本文探討該面齒輪的三軸數(shù)控加工方法，也為后續(xù)的研究打下基礎(chǔ)。

1 正交變傳動(dòng)比面齒輪的設(shè)計(jì)

1.1 正交變傳動(dòng)比面齒輪加工原理

正交變傳動(dòng)比面齒輪的加工刀具為漸開線圓柱齒輪，如圖1(a)所示。正交變傳動(dòng)比面齒輪副實(shí)體如圖1(b)所示。

圖1 刀具的漸開線齒廓和正交變傳動(dòng)比面齒輪副Fig.1 Tooth surface of the gear shaper cutter and orthogonal variable transmission ratio face gear dive

刀具的齒廓具有對(duì)稱性，只需表示出一半的齒廓，另一半可以通過(guò)對(duì)稱得到，刀具左齒廓方程表示為

式中:rbk為刀具基圓半徑，rbk=rkcos αu，αu刀具的壓力角;uk為標(biāo)記Zk方向上的插齒刀齒面參數(shù);θok為由齒寬在基圓上對(duì)應(yīng)展開角決定，θok=π/2zkinv αu。

圖2為正交變傳動(dòng)比面齒輪的加工原理，刀具加工面齒輪的過(guò)程包含2部分:1)為刀具繞自身軸的旋轉(zhuǎn);2)為刀具齒廓轉(zhuǎn)換到假想與正交變傳動(dòng)比面齒輪嚙合的非圓齒輪齒廓，并與正交變傳動(dòng)比面齒輪毛坯做嚙合運(yùn)動(dòng)。Oc(XcYcZc)固定于正交變傳動(dòng)比面齒輪中心點(diǎn)處，Ob(XbYbZb)為Oc(XcYcZc)沿Z方向移動(dòng)z0距離得到的，Od(XdYdZd)固定于正交變傳動(dòng)比面齒輪節(jié)曲線齒寬中點(diǎn)上，為Oc(XcYcZc)沿Y方向移動(dòng)y1距離得到的，O0(X0Y0Z0)固定于與正交變傳動(dòng)比面齒輪嚙合的非圓齒輪中心處，Oa(XaYaZa)固定于刀具節(jié)曲線齒寬中心上。

圖2 刀具與非圓齒輪的位置關(guān)系Fig.2 The positional relationship between the tool and the non-circular gears

將刀具齒面方程的坐標(biāo)系Sa變換到假想與正交變傳動(dòng)比面齒輪嚙合的非圓齒輪的坐標(biāo)系So，齒廓的矢量表達(dá)式變?yōu)?/p>

式中:

式中:M0a表示刀具齒廓坐標(biāo)系Sa到假想與正交變傳動(dòng)比面齒輪嚙合的非圓齒輪的坐標(biāo)系So的轉(zhuǎn)換矩陣，Mba表示Oa坐標(biāo)系到Ob坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，Mcb表示Ob坐標(biāo)系到Oc坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，Mdc表示Oc坐標(biāo)系到Od坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，Mod表示Od坐標(biāo)系到Oo坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。

1.2 正交變傳動(dòng)比面齒輪齒面模型

為描述非圓齒輪與面齒輪的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，結(jié)合空間齒輪嚙合原理，分別建立以下4個(gè)坐標(biāo)系:s(Xs，Ys，Zs)固定于非圓齒輪傳動(dòng)機(jī)架上，s'(Xs'，Ys'，Zs')與非圓齒輪剛性固定在一起，f(Xf，Yf，Zf)固定在正交變傳動(dòng)比面齒輪傳動(dòng)機(jī)架上，f'(Xf'，Yf'，Zf')與該面齒輪剛性固定在一起。s(Xs，Ys，Zs)和s'(Xs'，Ys'，Zs')初始位置重合，傳動(dòng)時(shí)，s'(Xs'，Ys'，Zs')繞軸OsZs沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，其角速度為θ1;f(Xf，Yf，Zf)和f'(Xf'，Yf'，Zf')在初始位置重合，傳動(dòng)時(shí)，f'(Xf'，Yf'，Zf')繞軸OfZf沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，其角速度為θ2。其中面XfOfYf與面XsOsYs的間距為R。如圖3所示。

圖3 正交變傳動(dòng)比面齒輪的加工坐標(biāo)系Fig.3 Processin g coordinate system of orthogonal variable transmission ratio face gear

根據(jù)空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理，非圓齒輪的動(dòng)坐標(biāo)系s'到正交變傳動(dòng)比面齒輪動(dòng)坐標(biāo)系f'的齊次轉(zhuǎn)換矩陣為

將刀具齒廓由非圓齒輪坐標(biāo)系s'變換到正交變傳動(dòng)比面齒輪坐標(biāo)系f'中，即可求得該面齒輪的齒面方程:

式中:n0為非圓齒輪齒廓單位法矢量，Lf's'為Mf's'的三階主子式。

在坐標(biāo)系Of'中，相對(duì)速度vf's'(f')表達(dá)式為

由式(7)可得嚙合方程為

求解式(5)～(8)，可得面齒輪齒面矢量表達(dá)式:

1.3 過(guò)渡曲面

加工刀具的齒頂角處存在圓角，圓角半徑為ρ，如圖4所示，此時(shí)的過(guò)渡曲面，是由刀具齒頂圓角形成的。若在坐標(biāo)系k中，刀具齒頂圓角中心C的坐標(biāo)為(xc，yc)，則刀具齒頂圓角的參數(shù)方程為

刀具齒頂圓角單位法線矢量在坐標(biāo)系a表示為

刀具齒頂圓角曲面與面齒輪齒面的相對(duì)速度，在s坐標(biāo)系下可表示為

根據(jù)空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理，刀具齒頂圓角單位法線矢量在坐標(biāo)系s中表示為

式中:Lss'為Mss'的三階主子式。

從而此時(shí)的面齒輪的過(guò)渡曲面參數(shù)方程為

圖4 齒頂圓角Fig.4 Round corner of tooth tip

2 正交變傳動(dòng)比面齒輪的加工模型

正交變傳動(dòng)比面齒輪每個(gè)齒廓不盡相同，需要三軸聯(lián)動(dòng)以上的機(jī)床進(jìn)行加工。本文探索的是三軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床加工該面齒輪的方法。機(jī)床模型如圖5所示。

圖5 三軸數(shù)控機(jī)床模型Fig.5 Three axis NC machine model

面齒輪的加工取決于刀具與面齒輪毛坯的相對(duì)位置關(guān)系。為了確保其在坐標(biāo)變換中相對(duì)位置與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的正確性，需要建立刀具坐標(biāo)系變換到工件坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣，保證加工過(guò)程中數(shù)控軸控制刀具按照正確的運(yùn)動(dòng)關(guān)系運(yùn)動(dòng)，該變換矩陣為

Mf'a是4×4的矩陣，表示刀具齒面坐標(biāo)系到正交變傳動(dòng)比面齒輪齒面坐標(biāo)系的變換矩陣。

表示三軸數(shù)控機(jī)床加工正交變傳動(dòng)比面齒輪的運(yùn)動(dòng)矩陣。其位置向量關(guān)系為

根據(jù)式(15)～(17)，可得數(shù)控加工幾何關(guān)系為

式中:θ1/θ2=i12，i12為正交變傳動(dòng)比面齒輪副傳動(dòng)比函數(shù)。

根據(jù)式(18)，可求得刀具在加工正交變傳動(dòng)比面齒輪時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡。刀具的走刀路線為由外圈走圓周逐步走到內(nèi)圈。圖6為 R取39 mm、42 mm、45 mm時(shí)刀具運(yùn)動(dòng)軌跡在Matlab中離散狀態(tài)點(diǎn)的位置分布圖。

圖6 刀具離散狀態(tài)點(diǎn)Fig.6 Discrete state point of tool

3 加工實(shí)例

由于加工的復(fù)雜性，本次只加工最典型的卵形面齒輪，為了控制合理的齒輪尺寸，加工的非圓齒輪齒數(shù)較少，模數(shù)也較小，其具體的幾何尺寸參數(shù)如表1所示。

表1 加工正交變傳動(dòng)比面齒輪副幾何參數(shù)Table 1 Geometry parameters of orthogonal variable transmission ratio face gear dive

加工的步驟包括毛坯開粗、齒槽去殘、齒面半精加工、過(guò)渡曲面半精加工、齒面精加工、過(guò)渡曲面精加工。齒面精加工過(guò)程如圖7所示。加工完成后，需要對(duì)正交變傳動(dòng)比面齒輪的齒面精度進(jìn)行測(cè)量，本文選用CNC齒輪測(cè)量中心對(duì)加工的面齒輪進(jìn)行測(cè)量，如圖8所示。由于正交變傳動(dòng)比面齒輪每一個(gè)周期都存在波峰和波谷，波峰和波谷的齒面對(duì)整個(gè)面齒輪的齒面來(lái)說(shuō)具有代表性。故分別選取一個(gè)波峰和一個(gè)波谷附近的齒進(jìn)行誤差評(píng)定，將齒的左右齒面劃分為6×5的網(wǎng)格，將理論齒面與測(cè)量所得齒面在網(wǎng)格上進(jìn)行對(duì)比，沿著齒形法線方向，可得齒形法向偏差，并將偏差標(biāo)注在6×5的齒面網(wǎng)格上，如圖9所示。

圖7 正交變傳動(dòng)比面齒輪精加工Fig.7 Finishing of orthogonal variable transmission ratio face gear

圖8 CNC齒輪測(cè)量中心Fig.8 CNC gear measuring center

圖2 齒面法向偏差Fig.2 Tooth surface normal deviation

由上可知齒1的最大偏差為－52.2 μm，齒2的最大偏差為39.7 μm。綜上，三軸數(shù)控精銑法加工出的正交變傳動(dòng)比面齒輪齒面有較高的精度。

完成正交變傳動(dòng)比面齒輪的加工及相應(yīng)的熱處理后，需要對(duì)加工的樣件進(jìn)行對(duì)滾檢驗(yàn)，驗(yàn)證其相互嚙合滾動(dòng)時(shí)，其接觸線是否與理論接近，圖10為正交變傳動(dòng)比面齒輪副在萬(wàn)能對(duì)滾檢驗(yàn)上進(jìn)行對(duì)滾檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)。

圖10 正交變傳動(dòng)比面齒輪對(duì)滾檢驗(yàn)Fig.10 The rolling experiment of orthogonal variable transmission ratio face gear dive

通過(guò)安裝及調(diào)整后，對(duì)滾實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，由三軸數(shù)控精銑法加工出的正交變傳動(dòng)比面齒輪副的嚙合接觸軌跡良好，嚙合平穩(wěn)。

4 結(jié)論

1)建立了漸開線刀具的齒廓方程，通過(guò)坐標(biāo)變換，得到了與正交變傳動(dòng)比面齒輪嚙合的非圓齒輪的齒面方程，進(jìn)而獲得了正交變傳動(dòng)比面齒輪的齒面方程，確保了正交變傳動(dòng)比面齒輪副的正確嚙合。

2)從刀具齒頂圓角參數(shù)方程出發(fā)，推導(dǎo)了正交變傳動(dòng)比面齒輪齒根圓角方程，獲得了正交變傳動(dòng)比面齒輪的齒面到齒根的平滑過(guò)渡曲面參數(shù)方程。

3)建立正交變傳動(dòng)比面齒輪的數(shù)控加工模型，分析xyz軸的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，得到了制造中運(yùn)動(dòng)軸的參數(shù)表達(dá)式。利用三軸數(shù)控機(jī)床，完成了正交變傳動(dòng)比面齒輪的加工。對(duì)滾試驗(yàn)以及齒面檢測(cè)實(shí)驗(yàn)顯示了該面齒輪副具有較好的嚙合狀態(tài)與較高的精度，證明了正交變傳動(dòng)比面齒輪副設(shè)計(jì)以及三軸數(shù)控機(jī)床加工正交變傳動(dòng)比面齒輪方法的正確性。

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