莫子杰 陳 浩

（華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院，廣東廣州 510006）

水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)問題是廣義相對(duì)論的幾個(gè)實(shí)驗(yàn)例子中最具有代表性的.在牛頓理論中，如果不考慮其他行星等因素對(duì)水星的影響，它繞日運(yùn)行的是一個(gè)閉合橢圓軌道；在考慮了其他行星的攝動(dòng)等因素影響后，水星近日點(diǎn)存在約5557秒／百年的進(jìn)動(dòng)，但得出的進(jìn)動(dòng)角仍與天文觀測(cè)值相差約43秒／百年，這在牛頓理論中難以解釋.而愛因斯坦的廣義相對(duì)論理論則給出了合理的解釋，它認(rèn)為在僅考慮水星繞日運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，其近日點(diǎn)依然會(huì)有進(jìn)動(dòng)，其值剛好約43秒／百年，與天文觀察值高度吻合.這也成為了廣義相對(duì)論正確合理的有力證據(jù).

行星近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)角可以由其軌道運(yùn)行的角頻率和周期推出.下面用兩種計(jì)算方法求解出行星運(yùn)行的角頻率和周期，一種是改進(jìn)一般文獻(xiàn)［1-3］所用的近似求解方法，采用奇異攝動(dòng)法——PLK方法求解；另一種則通過求解一個(gè)特定軌道的橢圓函數(shù)解得出，最后也都自然得出進(jìn)動(dòng)角.

根據(jù)廣義相對(duì)論，設(shè)太陽(yáng)的引力場(chǎng)為真空靜態(tài)球?qū)ΨQ場(chǎng)并由史瓦西度規(guī)描述，則行星的繞日運(yùn)動(dòng)滿足自由粒子的測(cè)地線運(yùn)動(dòng)方程，再結(jié)合行星運(yùn)行的守恒定律，可推導(dǎo)得行星運(yùn)行軌道所依據(jù)的微分方程為

1 運(yùn)用PLK方法近似求解

因?yàn)榉匠谭蔷€性項(xiàng)的量級(jí)很小，可以用攝動(dòng)法求出非線性方程的解.一般文獻(xiàn)［1-3］用逐次逼近法近似求解，在求解過程中經(jīng)過多次近似后，求得軌道近似解為其中e為偏心率，軌道角頻率為1-3C.然而，這種解法在求解軌道函數(shù)u的過程中忽略了里面的一個(gè)正比于φ·sinφ的久期項(xiàng).根據(jù)攝動(dòng)法的要求，由于u對(duì)所有的φ在（-∞，＋∞）應(yīng)該是有界的，所以求出來的近似解也應(yīng)該有界.但久期項(xiàng)的出現(xiàn)使得u不再對(duì)所有的φ有界，于是就必然要求φ的取值范圍在零的附近時(shí)才可略去久期項(xiàng).但由于行星運(yùn)行軌道具有的周期性，這里對(duì)φ的取值并不必然要限定在某一區(qū)間內(nèi)，因此這里所采用的方法在數(shù)學(xué)上有局限.關(guān)于這一點(diǎn)文獻(xiàn)［4］中也有提及，它提出直接找另一個(gè)有界的函數(shù)來代替這一久期項(xiàng).

下面，我們提出采用PLK方法來求解式（1），它是一種有效的奇異攝動(dòng)法，適合用于弱非線性問題.根據(jù)PLK方法［5］，可把軌道函數(shù)和角頻率都作漸進(jìn)展開，這樣不僅可避免久期項(xiàng)的出現(xiàn)，使u對(duì)所有的φ都有界，而且求解過程不需要再作其他近似便可得出軌道函數(shù)的逐級(jí)近似解，最后也給出了軌道角頻率和周期的表達(dá)式.

這里由于C的量級(jí)很小，設(shè)ε＝3C，則可把ε看成是方程中的小參數(shù).再設(shè)一新變量為φ＝ωφ，把ε和φ代入方程（2）中，有

ω表示運(yùn)動(dòng)軌道的角頻率.將U和ω分別作攝動(dòng)展開，精確到一級(jí)近似

把展開后的U和ω，即式（4）和式（5）代回到方程（3）中，得到關(guān)于ε的零級(jí)近似和一級(jí)近似方程分別為

由此可首先求解零級(jí)近似方程（6），它的解為

其中，a和φ0為由初始條件確定的常數(shù).把零級(jí)近似的解（8）式代入一級(jí)近似方程（7）中，可得

式（9）右邊第二項(xiàng)會(huì)誘發(fā)久期項(xiàng).為消除久期項(xiàng)，令它前面的系數(shù)為零（非久期條件），即

由式（10）解得ω1＝-ω0，進(jìn)而一級(jí)近似方程化為

求解方程（11），可得其解為

于是微分方程的解U和軌道角頻率ω經(jīng)PLK方法的攝動(dòng)展開后為

式（16）即為式（15）中余弦函數(shù)的角頻率，所以得出ω0＝1.最后也可以得到軌道周期為

用PLK方法求出來的解不但與一般文獻(xiàn)中用逐次逼近法求得的結(jié)果一致，而且還可以給出更高階的軌道修正函數(shù)和角頻率，清晰地看到軌道函數(shù)和角頻率經(jīng)過一級(jí)一級(jí)的修正展開，加強(qiáng)了研究的精確性和規(guī)律探究.加之沒有久期項(xiàng)帶來的問題，φ在（-∞，＋∞）都是有界的，不必作范圍限定，更符合數(shù)學(xué)物理要求.

特別的，這里解到的軌道函數(shù)式（15），在略去C2及更高階項(xiàng)并代入水星運(yùn)行軌道的參數(shù)后，可解得待定常數(shù)a即對(duì)應(yīng)為經(jīng)典橢圓軌道的偏心率e，初相位φ0＝0.顯然此時(shí)軌道函數(shù)u（φ）就退化到一般文獻(xiàn)［1-3］給出的近似解.

2 求出方程的橢圓函數(shù)解

對(duì)微分方程（1）式整理后，有

微分方程式（18）可以找到橢圓函數(shù)形式的解.但常數(shù)P需要由方程（1）的初始條件確定，它與行星的守恒量有關(guān).然而我們注意到，一般在近似求解微分方程（1）得到運(yùn)動(dòng)角頻率到一級(jí)近似值時(shí)，并不需要確切給定P的值.我們選一個(gè)特殊情況，即令P＝0，使得方程（18）可以得出具體的橢圓函數(shù)解，進(jìn)而得出運(yùn)動(dòng)角頻率和周期.后面可以證明，這樣解出來的結(jié)果與以往的方法得到的行星進(jìn)動(dòng)結(jié)論是一致的.

由于此時(shí)P＝0，故設(shè)滿足P＝0的軌道函數(shù)為u′，于是得

式（19）是滿足一種特別形式的橢圓方程［5］，可以嘗試找到它的具體橢圓函數(shù)解.整理式（19）有

由于C很小，故在m2、A、k2的表達(dá)式中，根號(hào)內(nèi)均為正數(shù)且小于1.要注意的是，根據(jù)橢圓函數(shù)的性質(zhì)，若方程（20）要有橢圓函數(shù)解，m2的取值范圍應(yīng)在0到1之間.但現(xiàn)在由于C的量級(jí)很小，必然有m2＞1，故不能直接得出橢圓函數(shù)解，需要先做變量變換.

式（21）右邊的m′2的取值范圍在0到1之間，故可以得到方程的橢圓函數(shù)解為

即有

其中，φ′為常數(shù)，式（23）表述的是一種非線性運(yùn)行軌道.進(jìn)而可以根據(jù)橢圓函數(shù)的實(shí)周期求出行星運(yùn)行軌道的周期.在式（23）中，對(duì)應(yīng)橢圓函數(shù)的角頻率ωe＝2mk，橢圓余弦函數(shù)和第三類Jacobi橢圓函數(shù)的共同實(shí)周期為4 K（m′），可得軌道周期為K（m′）為第一類完全橢圓積分，式（24）是行星運(yùn)行的周期，它是一個(gè)非線性運(yùn)行軌道的周期.

模數(shù)m′是一個(gè)很小的量，特別的，若模數(shù)m′不斷減小直至趨于零，則C的值趨于零，橢圓函數(shù)趨于極端線性的情況，從式（24）可知此時(shí)軌道周期會(huì)變?yōu)?π，這就等于要求太陽(yáng)的質(zhì)量趨于零或行星運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量為無窮大.顯然這樣的極端線性情況實(shí)際是不可能發(fā)生的，所以行星運(yùn)行的進(jìn)動(dòng)在自然界中本質(zhì)上說是一種非線性現(xiàn)象.

3 兩種方法求得的角頻率聯(lián)系

運(yùn)用PLK方法求解得出的結(jié)果體現(xiàn)的是一種線性運(yùn)動(dòng)解；而在計(jì)算u′得到橢圓函數(shù)解時(shí)，得到的是非線性運(yùn)動(dòng)的解.我們知道，行星運(yùn)行軌道方程為非線性微分方程，PLK方法將非線性方程等效地線性化求解，所以它求解出來的角頻率應(yīng)該理解為是在相同周期的非線性運(yùn)動(dòng)下的一個(gè)等效線性角頻率［5］.下面通過定義非線性運(yùn)動(dòng)的等效線性角頻率，證明在一級(jí)近似下，它就是PLK方法求出的角頻率ω.

橢圓函數(shù)解對(duì)應(yīng)的行星運(yùn)行周期為式（24）.定義等效的線性角頻率為ωl，則

因?yàn)镃和m′都非常小，故將式（25）中的分子、分母的表達(dá)式分別做小量展開，略去三階及以上的項(xiàng)，可得

最后略去式（27）展開后C2及更高階的項(xiàng)，可得

把式（28）與式（16）作比較后易知，這個(gè)等效的線性角頻率ωl正是用PLK方法求解出來的軌道角頻率ω，這也說明了兩種計(jì)算方法本質(zhì)上是等效的.

4 水星進(jìn)動(dòng)角的結(jié)果驗(yàn)證

PLK方法求得的一級(jí)近似的軌道角頻率表達(dá)式（16）與文獻(xiàn)［1-3］給出的一致，其計(jì)算結(jié)果必然也與其得到的結(jié)論一致.定義進(jìn)動(dòng)角（如圖1所示）為Δφ，即有

圖1 定義進(jìn)動(dòng)角

把水星對(duì)應(yīng)的物理量代入式（29）中，結(jié)果就是通常文獻(xiàn)給出的水星進(jìn)動(dòng)角表達(dá)式.

下面來計(jì)算由橢圓函數(shù)解得的軌道周期表達(dá)式得出的水星進(jìn)動(dòng)角結(jié)果，并可通過天文觀測(cè)的數(shù)值作檢驗(yàn).定義通過橢圓函數(shù)解得出來的進(jìn)動(dòng)角為Δ′φ，則有

式（30）是進(jìn)動(dòng)角的表達(dá)式，Δ′φ的單位為弧度／周.對(duì)于水星近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)，一般給出的是每百年進(jìn)動(dòng)的角度Δφcentury，單位是秒／百年.水星每一百年繞日轉(zhuǎn)過約415周，所以經(jīng)過代數(shù)換算有

從式（30）可知Δ′φ是與C有關(guān)的表達(dá)式.略去表達(dá)式分子中m′4及以上的高階項(xiàng)，再將C＝中各個(gè)對(duì)應(yīng)的物理參數(shù)值［6，7］代入式（30）及式（31）后，最后算得具體數(shù)值為

根據(jù)天文觀測(cè)的結(jié)果，水星近日點(diǎn)每百年的進(jìn)動(dòng)角度值應(yīng)為43.11″±0.45″.而上面計(jì)算得到的進(jìn)動(dòng)值顯然是在觀測(cè)范圍內(nèi)的，所以說明橢圓函數(shù)解的運(yùn)行周期和進(jìn)動(dòng)角表達(dá)式是符合事實(shí)的.

5 結(jié)語(yǔ)

以上的兩種求解方法進(jìn)一步分析了行星的進(jìn)動(dòng)問題，并且計(jì)算出的相應(yīng)結(jié)果與文獻(xiàn)的一致，也符合天文觀察事實(shí).有的文獻(xiàn)［7-9］通過其他方法，不具體求解軌道角頻率和周期也得到近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)角.總之，行星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)的這個(gè)問題，由于條件的限制，在計(jì)算過程中難免需要通過某些近似或通過調(diào)整方程中的參數(shù)來求解.當(dāng)然，基于實(shí)驗(yàn)觀察數(shù)據(jù)的精確性，這里的計(jì)算結(jié)論已為廣義相對(duì)論提供了有力的證據(jù)！

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