趙又群，李小龍，張明杰，臧利國，李 波

(南京航空航天大學能源與動力學院，210016南京)

輪胎力學特性直接影響汽車整車的操縱穩(wěn)定性和行駛平順性等重要性能［1］.傳統(tǒng)的橡膠充氣輪胎力學模型主要分為理論模型和經(jīng)驗公式或半經(jīng)驗公式模型兩大類［2］，現(xiàn)有輪胎理論模型主要有模態(tài)參數(shù)輪胎模型［3］、剛性環(huán)輪胎模型［4］、柔性環(huán)輪胎模型［5］、刷子輪胎模型［6］、綜合分析輪胎模型［7］、統(tǒng)一輪胎模型［8］等.機械彈性車輪［9］是一種把橡膠輪胎和車輪集成一體的彈性車輪以往的理論模型不再適用于機械彈性車輪，而現(xiàn)有關(guān)于機械彈性車輪的研究都是基于二力桿模型進行的［10-11］，這種模型對于鉸鏈組傳力特性模擬不準確，故需要建立針對其自身特點的新的理論模型.

本文依據(jù)機械彈性車輪的結(jié)構(gòu)和受力特點，建立適用于機械彈性車輪分析的彈性繩索簡化模型.基于該模型進行隨機不平路面激勵下的振動分析，同時進行有限元仿真試驗.

1 模型簡介

1.1 機械彈性車輪結(jié)構(gòu)及受力特點

機械彈性車輪結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由車輪輪轂、鉸鏈組、復位彈簧和車輪外圈等組成.車輪外圈內(nèi)部預埋彈性環(huán)骨架結(jié)構(gòu)，由彈性組合卡將多股鋼絲構(gòu)成的多組彈性環(huán)鎖卡在一起，起到骨架支撐作用且保證一定彈性，外部包裹橡膠形成胎面.車輪輪轂與車輪外圈通過等角度布置的12條鉸鏈組連接，鉸鏈組起到緩和沖擊及傳遞轉(zhuǎn)矩等作用，當鉸鏈組變形后可通過復位彈簧回位.

圖1 機械彈性車輪結(jié)構(gòu)

機械彈性車輪承受來自不平路面的載荷激勵時，通過車輪外圈和鉸鏈組將載荷經(jīng)輪轂傳遞給半軸，車輪外圈承載變形，起到支撐作用，而鉸鏈組則拉直或壓彎變形.當鉸鏈組受拉時，與二力桿相似起到軸向傳力作用;當鉸鏈組受壓時，則因繞鉸接點轉(zhuǎn)動彎曲變形而不承力.鉸鏈組的這種單向傳力性質(zhì)，決定了機械彈性車輪不再適用現(xiàn)有充氣輪胎的理論模型，故需建立新的適用于機械彈性車輪分析的理論模型.

1.2 模型假設條件

由于機械彈性車輪的材料、結(jié)構(gòu)和運動過程相對復雜，故需要對其進行相應的簡化，為了研究方便主要作如下假設:不考慮系統(tǒng)摩擦和阻尼作用的影響;車輪外圈作單層等效彈性圓環(huán)處理，輪轂作剛體處理;不考慮車輪外圈承載時小變形對鉸鏈組布置角度的影響;不考慮轉(zhuǎn)動和復位彈簧的作用.

1.3 建立簡化模型

基于1.2節(jié)所述假設條件，建立機械彈性車輪的彈性繩索模型如圖2所示.在圖2(a)中，車輪外圈簡化為等效剛度的單層彈性圓環(huán)，輪轂用剛性圓盤代替，而鉸鏈組因其只受拉不受壓的單向傳力特性與彈性繩索相近，故將其簡化為12根彈性繩索.由于輪轂自身重力相對整車重力等外加載荷較小，故忽略輪轂重力引起的上半部分各鉸鏈組的初拉力及相應較小的彈性繩索預變形.圖2(b)中車輪質(zhì)量為m，隨機不平路面輸入激勵位移為X1，輪轂中心響應位移為X2，車輪頂端響應位移為X3，彈性圓環(huán)的等效剛度為kr，機械彈性車輪上半部分彈性繩索總的等效剛度為ku，下半部分彈性繩索總的等效剛度為kd.由于不考慮鉸鏈組布置角度變化的影響，同時考慮到結(jié)構(gòu)的對稱性，故

式中k0為半數(shù)彈性繩索總的傳力等效剛度值.

圖2 彈性繩索車輪模型

2 模型計算

2.1 單根彈性繩索剛度

楊氏模量定義:

式中:應力σ=F/A，F(xiàn)為軸向力，A為有效橫截面積;應變ε=Δl/l，l為原長，Δl為長度變化量.

剛度定義:

由式(1)和(2)聯(lián)立解得剛度與楊氏模量的關(guān)系為

若已知鉸鏈組材料的楊氏模量和其有效截面積及長度，則可根據(jù)式(3)計算得到單根彈性繩索對應的剛度值kl.

2.2 上下總等效剛度

圖3為機械彈性車輪的彈性繩索模型中的彈性繩索總等效剛度k0分析計算示意，假設圖3(a)中機械彈性車輪的鉸鏈組處于初始位置，當機械彈性車輪的鉸鏈組順時針(或逆時針)繞車輪輪轂中心旋轉(zhuǎn)θ=π/12，時即到達鉸鏈組的終止位置，這里以順時針為例，如圖(b)所示，則由機械彈性車輪的結(jié)構(gòu)對稱性可知，用θ∈［0，π/12］這個區(qū)間就可以表述機械彈性車輪在任何階段下的位置狀態(tài).例如鉸鏈組從圖3(a)所示位置繞車輪輪轂中心旋轉(zhuǎn)π/12后，鉸鏈組12到達鉸鏈組1的位置，鉸鏈組1到達鉸鏈組2的位置，以此類推，但此時的承載狀態(tài)則與初始位置的承載狀態(tài)相同.那么，只需分析θ∈［0，π/12］這個區(qū)間內(nèi)的機械彈性車輪的彈性繩索模型中的上下部分彈性繩索的總等效剛度即可以得到任意時刻的k0值.

圖3 彈性繩索等效剛度分析計算示意

當θ=0時，機械彈性車輪處于初始位置，水平的彈性繩索對垂直方向沒有剛度作用，則

式中kl為單根彈性繩索的剛度值.

當0＜θ≤π/12時，由鉸鏈組布置的幾何關(guān)系得

式(4)滿足式(5)，故彈性繩索總等效剛度k0可由式(5)計算得到.

2.3 頻率響應函數(shù)

彈性繩索模型的系統(tǒng)運動學方程:

當隨機不平路面激勵信號X1＞0時，ku=k0，kd=0，式(6)變?yōu)?/p>

由式(7)可得微分方程

對式(8)兩邊進行傅里葉變換，解得

式中:K=k0kr/(k0+kr).

當隨機不平路面激勵信號X1＜0時，ku=kd=k0，式(6)變?yōu)?/p>

由式(9)可得微分方程

對式(10)兩邊進行傅里葉變換，解得

式中:K=(k0(k0+2kr))/(k0+kr).

綜上可得，機械彈性車輪的彈性繩索簡化模型的頻響函數(shù)為

式中:

2.4 響應功率譜密度

根據(jù)隨機振動分析理論［12］，由維納-辛欽關(guān)系式可得頻率域內(nèi)的雙邊功率譜密度，但對于機械彈性車輪只有正值頻率是有效的，故應計算其單邊功率譜.若隨機不平路面的激勵譜為SX(w)，則其響應功率譜為

式中:H*(w)為H(w)的共軛轉(zhuǎn)置，|H(w)|為H(w)的模.

3 隨機振動分析

3.1 隨機不平路面輸入

根據(jù)三角級數(shù)法［13］構(gòu)建隨機不平路面的輸入激勵，按采樣定理和三角級數(shù)疊加模型選定相應的仿真參數(shù)，編寫Matlab程序后生成C級隨機路面激勵如圖4所示.

圖4 C級隨機路面激勵

3.2 彈性繩索模型參數(shù)

車輪質(zhì)量m=50 kg，根據(jù)有限元仿真試驗結(jié)果，取彈性圓環(huán)的等效承載剛度kr=5×105N/m，單根彈性繩索的有效剛度通過式(3)計算，帶入

分別計算車輪處于初始位置和終止位置時的k0，然后取均值近似替代彈性繩索總等效剛度值.當車輪處于初始位置時，θ=0，由式(5)得

當車輪處于終止位置時，θ=π/12，由式(5)得

取均值有

3.3 隨機振動響應

根據(jù)彈性繩索模型參數(shù)等，計算得到機械彈性車輪在C級隨機路面激勵下的位移響應(如圖5所示)，從圖中可以看出輪轂中心響應位移的走勢與路面激勵的走勢相近，說明響應結(jié)果合理.

對于位移響應可通過時域信號變換得響應功率譜密度為|FFFT(X)|2/N，F(xiàn)FFT為快速傅里葉變換，N為采樣點數(shù).

圖5 輪轂中心位移響應

同時，也可根據(jù)式(11)計算得到其響應功率譜.

按數(shù)學模型計算得到的機械彈性車輪在C級隨機路面激勵下的響應譜如圖6所示，圖中實線為輪轂中心位移響應時域信號經(jīng)快速傅里葉變換得到的響應功率譜密度曲線，虛線為按式(11)頻率響應函數(shù)計算得到的響應功率譜密度曲線.對比兩種方式得到的功率譜密度響應曲線可以看出，雖然兩條響應曲線的響應峰值不同，但對應的響應頻率值基本重合，這說明計算得到的共振頻率是合理的.當機械彈性車輪在C級路面工作，頻率達到11 Hz和19 Hz左右時容易發(fā)生共振，從而對機械彈性車輪造成破壞.

圖6 輪轂中心位移響應功率譜

3.4 有限元仿真

按前述機械彈性車輪模型建立有限元仿真簡化模型如圖7所示，鉸鏈組用12根彈簧模擬，單根彈簧剛度值取kl，設定相應材料參數(shù)［14-15］如表1，機械彈性車輪與地面間為摩擦接觸.摩擦系數(shù)μf=0.6，其他為綁定接觸.輸入邊界條件為地面，采用相同隨機路面輸入信號，對摩擦接觸非線性求解，設定求解算法為增廣拉格朗日算法.其他線性接觸采用罰函數(shù)法求解，同時設置合適的載荷步、載荷子步及時間步，然后整體采用迭代法進行有限元計算，在ANSYS/Worckbench中進行隨機振動分析，得到輪轂位移功率譜密度響應結(jié)果如圖8所示.

圖7 彈性繩索有限元模型

表1 機械彈性車輪材料屬性

圖8 有限元仿真響應功率譜

從圖8中可以看出，在相同C級隨機路面輸入條件下，有限元仿真得到的機械彈性車輪共振頻率為21 Hz左右.對比理論數(shù)學模型計算結(jié)果可以看出，對于理論計算得到的11 Hz共振頻率在進行有限元仿真時產(chǎn)生的幅值相對較小，這是由于機械彈性車輪在進行有限元仿真時鉸鏈組所處位置、車輪變形時鉸鏈組布置角度變化和車輪外圈的材料及幾何非線性因素的影響造成的，即:理論計算模型總等效剛度是采用初始位置剛度和終止位置剛度的均值代替計算的，反映的是機械彈性車輪工作中的一般情況，而有限元仿真則是進行的初始位置的仿真試驗，是特定位置的仿真結(jié)果;理論計算模型沒有考慮車輪變形時鉸鏈組布置角度變化的影響，其上、下總等效剛度是近似計算的，而有限元仿真時則考慮了彈簧布置角度變化的影響;另外，車輪外圈結(jié)構(gòu)在進行有限元仿真時的材料非線性和幾何非線性因素在理論計算時是將其簡化為一個單層彈性圓環(huán)并用線性的等效剛度近似代替計算的，存在一定偏差.以上這些因素的作用使得理論計算和仿真計算時的剛度存在差異，從而導致在11 Hz時仿真幅值較小.但理論計算得到的19 Hz共振頻率，與21 Hz的仿真共振頻率接近，說明了理論模型的正確性，驗證了建立的彈性繩索理論模型的合理有效性.另外，從圖6和圖8的結(jié)果可以看出，機械彈性車輪在C級隨機路面工作時，應主要避免19～21 Hz這一頻段，以免發(fā)生共振對機械彈性車輪造成破壞.

4 結(jié)論

1)依據(jù)機械彈性車輪的結(jié)構(gòu)和承載特點，針對鉸鏈組只受拉不受壓的單向傳力特性，提出了適用于機械彈性車輪振動分析的彈性繩索模型，并推導了該模型的數(shù)學表達式、等效剛度表達式以及頻響函數(shù);

2)基于彈性繩索模型進行了C級隨機不平路面輸入激勵下的隨機振動分析，得到了機械彈性車輪輪轂中心時域內(nèi)位移響應和頻域內(nèi)的功率譜密度響應曲線，并通過對比有限元仿真分析結(jié)果驗證了所提出的彈性繩索模型的正確性.

3)機械彈性車輪工作時應主要避免19～21 Hz頻率區(qū)段，以免發(fā)生共振對機械彈性車輪造成破壞，為機械彈性車輪的設計和優(yōu)化提供了指導.

［1］莊繼德.現(xiàn)代汽車輪胎技術(shù)［M］.北京:北京理工大學出版社，2001.

［2］李松焱，閔永軍，王良模，等.輪胎動力學模型的建立與仿真分析［J］.南京工程學院學報:自然科學版，2009，7(3):34-38.

［3］FAN Chengjian，GUAN Dihua.Tire modeling for vertical properties including enveloping properties using experimental modal parameters［J］.Vehicle System Dynamics，2003，40(6):419-433.

［4］郭孔輝，吳海東，盧蕩.輪胎垂直方向剛性環(huán)模型［J］.科學技術(shù)與工程，2007，7(4):556-559.

［5］VU T D，DUHAMEL D，ABBADI Z，et al.Dynamic analysis of a tire using a nonlinear Timoshenko ring model［C］//Proceedings of ISMA:Int Conf Noise Vibr，Eng.Leuven:Katholieke Universiteit Leuven，2012:1629-1640.

［6］SVENDENIUS J，GAFVERT M，BRUZELIUS F，et al.Experimental validation of the brush tire model 5［J］.Tire Science and Technology，2009，37(2):122-137.

［7］KIM S，NIKRAVESH P E，GIM G.A two-dimensional tiremodelon uneven roads forvehicle dynamic simulation 1［J］.Vehicle system dynamics，2008，46(10):913-930.

［8］LU Dang，GUO Konghui.UniTire steady state model:overview and applications［C］//2011 3rd International Conference on Advanced Computer Control.Harbin:IEEE，2011:341-345.

［9］汪偉，趙又群，黃超，等.新型機械彈性車輪的建模與通過性研究［J］.中國機械工程，2013，24(6):724-729.

［10］WANG Wei，ZHAO Youqun，WANG Jian，et al.Structure analysis and ride comfort of vehicle on new mechanical elastic tire［C］//Proceedings of the FISITA 2012 World Automotive Congress.Berlin:Springer，2013:199-209.

［11］汪偉，趙又群，姜成，等.基于新型機械彈性車輪的整車平順性分析［J］.中國機械工程，2013，24(22):3114-3117.

［12］LU F，KENNEDY D，WILLIAMS F W，et al.Symplectic analysis of vertical random vibration for coupled vehicle:track systems［J］.Journal of Sound and Vibration，2008，317(1):236-249.

［13］陳春俊，李華超.頻域采樣三角級數(shù)法模擬軌道不平順信號［J］.鐵道學報，2006，28(3):38-42.

［14］NARASIMHAN A，ZIEGERT J，THOMPSON L.Effects of material properties on static load-deflection and vibration of a non-pneumatic tire during high-speed rolling［J］.SAE International Journal of Passenger Cars-Mechanical Systems，2011，4(1):59-72.

［15］KIM K，KIM D M.Contact pressure of non-pneumatic tires with hexagonal lattice spokes［C］//SAE 2011 World Congress ＆ Exhibition.Detroit: SAE International，2011:01-0099.