安宏偉， 鄭莉芳， 張媛媛， 彭 麗

（1.石家莊鐵道大學(xué)四方學(xué)院，河北 石家莊 050043；2.石家莊學(xué)院，河北 石家莊 050035）

一、李冶的數(shù)學(xué)成就及對(duì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)

李冶（1192—1279），字敬齋，金真定府欒城（今河北欒城）人，是金末元初著名的學(xué)者，中國(guó)數(shù)學(xué)史上宋元四大家之一，他總結(jié)并完善了天元術(shù)，編著了兩部天元術(shù)著作——《測(cè)圓海鏡》和《益古演段》，為我國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。

《測(cè)圓海鏡》是我國(guó)現(xiàn)存最早的一部以天元術(shù)為主要內(nèi)容的著作。天元術(shù)是一種用數(shù)學(xué)符號(hào)列方程的方法。書中“立天元一為某某”相當(dāng)于現(xiàn)在的：設(shè)x為某某。《測(cè)圓海鏡》的成書對(duì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展具有深遠(yuǎn)的影響。

（1）從內(nèi)容上來(lái)說(shuō)，《測(cè)圓海鏡》是一部代數(shù)著作，它總結(jié)并提高了天元術(shù)，使方程理論基本上擺脫了幾何思維的束縛，這是數(shù)學(xué)思想的重大突破。隨著這一重大突破，李冶在方程理論上的研究有了很大的進(jìn)展，明顯提高了方程的一般化程度。李冶在《測(cè)圓海鏡》中改變了傳統(tǒng)的把“實(shí)”（指方程中的常數(shù)項(xiàng)）看作正數(shù)的觀念，常數(shù)項(xiàng)可正可負(fù)，不再拘泥于它的幾何意義；同時(shí)根據(jù)題目需要，可以使用天元術(shù)列出高次方程，不再受到幾何意義的影響；化簡(jiǎn)方程時(shí)能夠使用方程兩側(cè)同乘一個(gè)式子的方法，把分式方程化為整式方程。

（2）從整體結(jié)構(gòu)上來(lái)說(shuō)，《測(cè)圓海鏡》在卷一集中給出了各卷問(wèn)題所需的定義、定理和公式，使該書基本上成為了一部演繹體系的著作，也是第一個(gè)構(gòu)造體系的著作。

（3）先進(jìn)的數(shù)學(xué)符號(hào)。數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)符號(hào)，先進(jìn)的數(shù)學(xué)符號(hào)可以有效地促進(jìn)數(shù)學(xué)的進(jìn)步。李冶在這一方面做出了重要貢獻(xiàn)。在《測(cè)圓海鏡》成書之前，我國(guó)的數(shù)碼只有一到九，沒有零，計(jì)算時(shí)遇到零，便空位，如果相鄰有兩個(gè)以上零的話，表述是不清楚的，這不利于我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展，在《測(cè)圓海鏡》中，○的使用有兩個(gè)作用，一是表示數(shù)中的空位；二是表示天元式或多項(xiàng)式中系數(shù)為零的項(xiàng)。使用“○”的記法使書中小數(shù)的記法在當(dāng)時(shí)是比較先進(jìn)的思想。在當(dāng)時(shí)李冶的另一大成就就是負(fù)號(hào)的發(fā)明和使用。由于李冶掌握了一整套數(shù)字符號(hào)，使得他的方程可以用符號(hào)表示，改變了之前人們用文字描述方程的傳統(tǒng)做法，使我國(guó)的數(shù)學(xué)進(jìn)入了半符號(hào)化的時(shí)代，這對(duì)方程理論的發(fā)展具有重要的促進(jìn)作用。［1-2］

《益古演段》與《測(cè)圓海鏡》不同，它是李冶在封龍書院講學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)《測(cè)圓海鏡》中的內(nèi)容不易被初學(xué)者掌握，為普及天元術(shù)而專門撰寫的一部著作，是一部由淺入深、簡(jiǎn)明易懂、非常實(shí)用的數(shù)學(xué)教材?！兑婀叛荻巍肥窃凇兑婀偶返幕A(chǔ)上，以天元術(shù)推演條段，利用新術(shù)和舊術(shù)對(duì)比的方法，加深人們對(duì)天元術(shù)的理解?！兑婀叛荻巍饭踩?4問(wèn)，主要處理的是平面圖形的面積、求所涉及圖形的邊長(zhǎng)、圓徑（直徑）、周長(zhǎng)等問(wèn)題。內(nèi)容編排先簡(jiǎn)后難，逐步加深。書中所涉及問(wèn)題的解法均采用了新、舊術(shù)并列的方法分別進(jìn)行求解。新術(shù)指的是天元術(shù)，舊術(shù)指的是條段法。書中各題包括“法”、“依條段求之”、“條段圖”、“義”等四大部分，其中“法”是天元術(shù)；“依條段求之”是利用人們易懂的幾何方法（條段法）對(duì)天元術(shù)進(jìn)行解釋，條段法是一種通過(guò)面積圖形的分割、拼補(bǔ)尋找等量關(guān)系，以便求得方程各系數(shù)的圖解法；在當(dāng)時(shí)，條段法是大家比較常用的解題方法；“條段圖”是根據(jù)條段法所畫出的方程各項(xiàng)系數(shù)幾何關(guān)系的圖解；“義”是對(duì)圖中已知量的文字說(shuō)明。［1-2］《益古演段》無(wú)論是從內(nèi)容安排上，還是在書中具體問(wèn)題的解答過(guò)程中，都充分體現(xiàn)了李冶“曉然示人”先進(jìn)的教育理念和優(yōu)秀的教育方法，對(duì)我們當(dāng)代無(wú)論是中小學(xué)教育還是大學(xué)教育都具有很好的啟示作用。

數(shù)學(xué)并沒有給李冶帶來(lái)功名利祿，在現(xiàn)存的史料和記載中也未能發(fā)現(xiàn)他的學(xué)生有從事數(shù)學(xué)研究的，其兩本算書都是在他去世后才出版的。祖頤為朱世杰《四元玉鑒》寫的序中提到天元術(shù)發(fā)展的過(guò)程，但遺憾的是也未能提到李冶的名字。

二、李冶先進(jìn)的數(shù)學(xué)思想

與之同時(shí)代的秦九韶不同，李冶從未有對(duì)數(shù)學(xué)的歷史、起源、奇聞逸事等進(jìn)行過(guò)評(píng)論，而是把重點(diǎn)放在駁斥世人對(duì)數(shù)學(xué)的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)以及他本人寫算書的心態(tài)與研究數(shù)學(xué)的方式與方法上。

（一）施之人事，最為切務(wù)

李冶對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用有切身的體會(huì)。他在任鈞州知事期間，戰(zhàn)事比較緊張，物資調(diào)度十分頻繁。他掌管出納，“無(wú)規(guī)撮之誤”。這說(shuō)明他有很好的數(shù)學(xué)和計(jì)算功底?！兑婀叛荻巍ぷ孕颉罚骸靶g(shù)數(shù)雖居六藝之末，而施之人事，則最為切務(wù)，故古之博雅君子馬、鄭之流未有不精研于此者也?！倍凇稖y(cè)圓海鏡·序》：李冶寫到“由技兼于事言之，夷之禮，夔之樂(lè)，亦不免為一技；由技進(jìn)乎道者言之。石之斤，扁之輪，非圣人之所與乎？”充分地表達(dá)了他研究數(shù)學(xué)的決心和毅力。此外，李冶能夠充分認(rèn)識(shí)到其算書對(duì)后人的作用，臨終前他衷心地囑咐兒子：“吾平生著述，死后盡可燔去，獨(dú)《測(cè)圓海鏡》一書，雖九九小數(shù)，吾嘗精思致力焉，后世必有知者，庶可布廣垂永乎？”（《測(cè)圓海鏡·王德源后序》）［1-2］

（二）曉然示人，盡軒隸之秘

李冶認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的重要性，并且想讓自己的算書布廣垂永，推廣天元術(shù)，撰寫了《益古演段》。李冶在研究當(dāng)時(shí)算書的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)它們普遍存在兩大缺陷：

（1）“今之為算者，未必有劉（徽）、李（淳風(fēng)）之工，而褊心踞見，不肯曉然示人，惟務(wù)隱互錯(cuò)糅，故為溟滓黯，惟恐學(xué)者得窺其仿佛也?！崩钜薄兑婀叛荻巍分暗臄?shù)學(xué)著作《益古集》就屬于這種情況，李冶在此基礎(chǔ)上，撰寫了《益古演段》，對(duì)天元術(shù)的推廣做出了重要貢獻(xiàn)。

（2）“不然則又以淺近粗俗無(wú)足觀者，致使軒轅隸首之術(shù)，三五錯(cuò)綜之妙，盡墮于世井沾沾之兒，及夫荒村下里蚩蚩之民，殊可憫悼。”（《益古演段·自序＞），對(duì)于這種情況，李冶是針對(duì)當(dāng)時(shí)的民用數(shù)學(xué)、商用數(shù)學(xué)而言的。為了滿足社會(huì)的商業(yè)經(jīng)濟(jì)發(fā)展及日常生活需要，數(shù)學(xué)的實(shí)用性增強(qiáng)，越來(lái)越貼近平民百姓。［1-2］

（三）數(shù)學(xué)是能夠認(rèn)識(shí)的

李冶的數(shù)學(xué)思想受到了道家哲學(xué)的影響，認(rèn)為數(shù)學(xué)是能夠認(rèn)識(shí)的。在《測(cè)圓海鏡·序》中李冶對(duì)數(shù)學(xué)在哲學(xué)上的意義，論述得尤為深刻。書中寫到“數(shù)本難窮，吾欲以力強(qiáng)窮之，彼其數(shù)不惟不能得其凡，而吾之力且憊矣。然則數(shù)果不可以窮耶？既已名之?dāng)?shù)矣，則又何為不可窮也。故謂數(shù)為難窮，斯可；謂數(shù)為不可窮，斯不可。何則？彼其冥冥之中，固有昭昭者存。夫昭昭者，其自然之?dāng)?shù)也；非自然之?dāng)?shù)，其自然之理也。數(shù)一出于自然，吾欲以力強(qiáng)窮之，使隸首復(fù)生，亦末如之何也已。茍能推自然之理，以明自然之?dāng)?shù)，則雖遠(yuǎn)而乾端坤倪，幽而神情鬼狀，未有不合者矣?！崩钜鼻逍训卣J(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)于自然，自然是有規(guī)律可循的，也是可認(rèn)識(shí)的；他認(rèn)為研究數(shù)學(xué)要得法，必須遵循自然規(guī)律，不可以力強(qiáng)窮之。［1-2］

（四）“因材勸學(xué)”的教育理念

李冶的思想是融合了儒、道以及其他體系的思想，由于受到儒家思想的影響，他對(duì)人性論，特別是對(duì)孟子的善惡論做了深入思考。李冶認(rèn)為，真正的善惡賢愚，在人之初都是不存在的，可以通過(guò)后天的培養(yǎng)和學(xué)習(xí)形成。因此，可以根據(jù)人的不同情況進(jìn)行有效的誘導(dǎo)，達(dá)到勸人為善的目的。［1］李冶將此觀點(diǎn)應(yīng)用到了教學(xué)當(dāng)中，他說(shuō)：“大抵今之學(xué)非古之學(xué)也，今之學(xué)不過(guò)為利而勤，為名而修爾。因其所為而引之，則吾之勸之者易以入，而聽之者易以進(jìn)也?！崩钜币浴盀槔薄ⅰ盀槊眮?lái)鼓勵(lì)中下者學(xué)習(xí)充分反映了順應(yīng)人的本性，因材勸學(xué)的思想，這一思想雖有功利之嫌，但也有我們所值得借鑒的地方，因?yàn)檫@一思想與當(dāng)代高校所提倡的因人施教、因材施教思想極為接近，其目的都是為了提高教學(xué)效果。

三、李冶先進(jìn)的數(shù)學(xué)教育思想對(duì)當(dāng)代大學(xué)數(shù)學(xué)教育改革的啟示

（一）對(duì)“曉然示人”理念的新理解

在《益古演段》序言中，李冶寫道“今之為算者未必有劉、李（指劉徽，李淳風(fēng)）之功，而褊心局見。不肯曉然示人，惟務(wù)隱互錯(cuò)糅，故為溟涬黯黮，惟恐學(xué)者得窺其彷佛也 ”。李冶卻認(rèn)為“使粗知十百者，便得入室啖其文，顧不快哉?！背浞煮w現(xiàn)了李冶“曉然示人”的先進(jìn)教育理念。在當(dāng)代教育中，我們所需要考慮的是如何更好地“曉然示人”。就大學(xué)數(shù)學(xué)教育而言，由于該課程自身具有較強(qiáng)的抽象性、邏輯性等特點(diǎn)，使大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不得其法。這值得大學(xué)數(shù)學(xué)教師深入研究講授大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)思想和教學(xué)方法。作為一名高校教師，應(yīng)在深度和廣度上加深對(duì)課程的理解和把握。

本文先對(duì)我國(guó)目前地理信息資源成果管理的現(xiàn)狀進(jìn)行了分析，在對(duì)地理信息成果進(jìn)行管理時(shí)，以數(shù)據(jù)庫(kù)與基礎(chǔ)測(cè)繪數(shù)據(jù)庫(kù)等設(shè)置為數(shù)據(jù)來(lái)源，并以數(shù)據(jù)中心為基礎(chǔ)利用數(shù)據(jù)倉(cāng)庫(kù)的方法對(duì)地理信息數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)一的管理，在大數(shù)據(jù)時(shí)代對(duì)多樣化數(shù)據(jù)、海量數(shù)據(jù)的管理提供了科學(xué)合理的方式，提升我國(guó)地理信息管理效率。

（1）在深度上，首先教師應(yīng)充分理解掌握所講授的內(nèi)容，能夠用學(xué)生容易接受的語(yǔ)言對(duì)講授的內(nèi)容進(jìn)行講解，也就是將數(shù)學(xué)語(yǔ)言形象化；其次，了解相關(guān)知識(shí)的產(chǎn)生背景，以便在講授過(guò)程中，靈活引入歷史元素，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。

（2）在廣度上，教師應(yīng)了解數(shù)學(xué)在相關(guān)學(xué)科中的應(yīng)用實(shí)例，以便對(duì)所教專業(yè)的學(xué)生開展有針對(duì)性的數(shù)學(xué)課程教育，因材施教。例如在講授導(dǎo)數(shù)時(shí)，對(duì)于理工科的學(xué)生，可以引入變速運(yùn)動(dòng)中速度與路程的關(guān)系問(wèn)題；對(duì)于經(jīng)濟(jì)類專業(yè)的學(xué)生，則應(yīng)聯(lián)系邊際成本和邊際效益講授導(dǎo)數(shù)的思想。此外，在教學(xué)過(guò)程中有機(jī)地引入數(shù)學(xué)建模思想，使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)在培養(yǎng)其良好的思維方法和后續(xù)課程學(xué)習(xí)與應(yīng)用中的重要性。這樣組織數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于學(xué)生將先進(jìn)的數(shù)學(xué)思想和方法應(yīng)用于后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)與研究之中。

（二）形象化地講授數(shù)學(xué)思想

在《益古演段》中李冶使用形象的幾何法來(lái)解釋天元術(shù)，以此普及天元術(shù)，正如書中提要所說(shuō)：“此法雖為諸法之根，然神明變化，不可端倪，學(xué)者驟欲通之，茫無(wú)門徑之可入。惟因方圓冪積以明之，其理尤屬易見。”李冶的《益古演段》旨在借助“方圓冪積”，建立通向天元術(shù)這一數(shù)學(xué)思想的橋梁，而不在其變化的解題方法上。在當(dāng)代大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想是學(xué)好數(shù)學(xué)，用好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。因此，如何讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)思想，成為高校數(shù)學(xué)教師應(yīng)認(rèn)真研究的重要課題之一?！兑婀叛荻巍方o我們留下了很好的范例。大學(xué)數(shù)學(xué)具有很強(qiáng)的抽象性，在講授過(guò)程中可以把抽象的概念和思想形象化。例如在極限的思想中，可以引用李白的《黃鶴樓送孟浩然之廣陵 》中“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡”，在唯美地畫卷中體會(huì)極限思想。矩陣的概念和運(yùn)算是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，而且與行列式的概念容易混淆，在教學(xué)的過(guò)程中可以借助生活中的實(shí)例進(jìn)行講解，例如某家電公司向三個(gè)商場(chǎng)發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量如表1。

表1 三個(gè)商場(chǎng)發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量

在教學(xué)手段和方法上，利用先進(jìn)的教育技術(shù)輔助教學(xué)，特別是多媒體教學(xué)，可以將一些板書無(wú)法實(shí)現(xiàn)地連續(xù)變化過(guò)程清晰的呈現(xiàn)給學(xué)生，使其更好地理解和掌握教學(xué)思想。例如，講授定積分的定義，用板書很難演示無(wú)限細(xì)分的過(guò)程中與面積真實(shí)值的近似程度，使用多媒體課件教學(xué)，就可以將此過(guò)程逼真地演示出來(lái)，學(xué)生可以更加直觀形象地理解定積分中“微分法”的思想。

（三）對(duì)比法的新理解和應(yīng)用

在《益古演段》中，李冶充分使用條段法和天元術(shù)相對(duì)比的方法，對(duì)天元術(shù)進(jìn)行闡述，使人們更好地理解和應(yīng)用天元術(shù)，同時(shí)也是使用條段法對(duì)天元術(shù)的論證。對(duì)比法對(duì)于當(dāng)代大學(xué)數(shù)學(xué)教育仍然不落后，它不僅能夠使用在解題運(yùn)算過(guò)程中，在對(duì)新知識(shí)、新理論的講授過(guò)程中同樣也可以靈活運(yùn)用，而且可以通過(guò)新舊知識(shí)的對(duì)比，加深學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解和掌握。

矩陣的初等變換是矩陣論的一個(gè)重要內(nèi)容。筆者在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)如何利用矩陣的初等變換將矩陣化為行階梯型或最簡(jiǎn)型是一個(gè)難點(diǎn)。利用高斯消元法解線性方程組，學(xué)生比較熟悉，可先將矩陣寫成方程組的形式，利用解線性方程組與矩陣的初等變換相對(duì)比的方法，闡述將矩陣化為行階梯型和行最簡(jiǎn)型，例如：

上述把矩陣A化為行階梯型矩陣的過(guò)程可以看作對(duì)A對(duì)應(yīng)的線性方程組

實(shí)施消元的過(guò)程。如下

其中，①表示第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程的3倍；②表示第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程的5倍；③表示第三個(gè)方程減去第二個(gè)方程。

（2）式為方程組的行階梯型方程組，矩陣（1）為行階梯型矩陣。由上述對(duì)比過(guò)程可以看出利用初等變換化矩陣為行階梯型的過(guò)程與解線性方程組的過(guò)程類似。利用這種對(duì)比方法，可以使學(xué)生清晰地掌握化矩陣為階梯型的解題思路，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

李冶先進(jìn)的教育思想不僅僅局限于以上幾點(diǎn)，還有待當(dāng)代大學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者做進(jìn)一步深入挖掘和研究，借此促進(jìn)高校教師對(duì)當(dāng)代大學(xué)數(shù)學(xué)教育改革做更加深入的思考和研究，切實(shí)加強(qiáng)數(shù)學(xué)教育教學(xué)方法改革，使大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科真正成為廣大學(xué)生所喜聞樂(lè)見的課程。

［1］孔國(guó)平.李冶朱世杰與金元數(shù)學(xué)［M］.石家莊：河北科學(xué)技術(shù)出版社，2000：36-230.

［2］孔國(guó)平.李冶傳［M］.石家莊：河北教育出版社，1988：8-35.

［3］孔國(guó)平.測(cè)圓海鏡導(dǎo)讀［M］.武漢：湖北教育出版社，1996：51-53.

［4］李忠定.線性代數(shù)與幾何［M］.北京：中國(guó)鐵道出版社，2011：37-40.