崔國(guó)虎

一般情況下，在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通常采用“以退求進(jìn)”的思想方法，即從“結(jié)論”向“條件”后退；從“一般”向“特殊”后退；從“抽象”向“具體”后退；從“綜合”向“單一”后退；從“高維”到“低維”后退的思想方法.但有些問(wèn)題只用“退”的方法是非常困難，甚至難以解決.這時(shí)，如果采用“退”相反的方向——“進(jìn)”，如：從“特殊”進(jìn)到“一般”；從“較弱”進(jìn)到“較強(qiáng)”；從“簡(jiǎn)單”進(jìn)到“復(fù)雜”；從“具體”進(jìn)到“抽象”，再通過(guò)對(duì)新問(wèn)題的思考，就會(huì)較快地找到解決問(wèn)題的途徑.這種思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，我們稱之為“以進(jìn)求退”.

一、“特殊”進(jìn)到“一般”

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，就其本身的數(shù)量關(guān)系，直接尋找解題途徑有困難，往往是由于特殊的數(shù)（或量）妨礙了人們從一般性去考慮問(wèn)題所致.不妨采用“特殊”進(jìn)到“一般”的思想方法，尋求解題的途徑，先從原題的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，推廣到一般的情形把問(wèn)題解決，這樣原題自然就被解決了.

四、從“具體”進(jìn)到“抽象”

從“具體”進(jìn)到“抽象”是人們認(rèn)識(shí)問(wèn)題思維過(guò)程的一個(gè)飛躍，這一過(guò)程的完成標(biāo)志著對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)進(jìn)入了創(chuàng)造性的境界，可能探得過(guò)去從未有過(guò)的新東西.運(yùn)用這種思想方法來(lái)解有關(guān)數(shù)學(xué)命題，也有其獨(dú)特的功能.

例4：任給10個(gè)不同的兩位數(shù)，從中一定可以選出兩組數(shù)來(lái)，它們之間沒(méi)有相同的數(shù)，使得其中一組數(shù)的和等于另一組數(shù)的和.

證明：設(shè)這10個(gè)兩位數(shù)形成一個(gè)集合A，則A有2-1=1023個(gè)不同的非子集，且每一個(gè)子集都由不多于10個(gè)兩位數(shù)組成，由此可知，每一個(gè)子集的元素之和小于10×100=1000.從而，由“抽屜原理”知，必有兩個(gè)不同的子集中的元素之和相等.如果這兩個(gè)子集中有相同的元素則劃去，所得的和仍然相等，故命題獲證.

上述證法之所以簡(jiǎn)潔，是因?yàn)榘?0個(gè)不同的兩位數(shù)的全體抽象成某一集合，借助于其子集個(gè)數(shù)及“抽屜原則”便一目了然，否則就無(wú)從下手.