劉東旭

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，模型無處不在。小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程，實際上就是對一系列數(shù)學(xué)模型的理解、把握的過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視滲透模型思想，可以幫助學(xué)生建立并把握有關(guān)的數(shù)學(xué)模型，有利于學(xué)生把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型，主要的是確定性數(shù)學(xué)模型，廣義地講，數(shù)學(xué)的概念、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系等都是模型。數(shù)學(xué)模型具有一般化、典型化和精確化的特點。模型思想就是針對要解決的問題，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對數(shù)學(xué)模型的研究來解決實際問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。

現(xiàn)以 “雞兔同籠”為例，談一談如何讓小學(xué)生形成數(shù)學(xué)模型思想的思考。

眾所周知，“雞兔同籠”問題的數(shù)學(xué)模型是二元一次整數(shù)方程，然而，在小學(xué)里學(xué)生并不學(xué)習(xí)二元一次整數(shù)方程。可是，“雞兔同籠”卻被廣泛地運用到小學(xué)教材中。北師大版五年級上冊“嘗試與猜測”中用它來讓學(xué)生學(xué)會表格列舉；蘇教版六年級上冊將之作為一道練習(xí)題來鞏固“假設(shè)和替換”的策略；人教版則是濃墨重彩，在六年級上冊“數(shù)學(xué)廣角”中詳細(xì)介紹了“雞兔同籠”問題的出處、多種解法及實際應(yīng)用，而我們使用的北京版數(shù)學(xué)教材則是分兩次安排的。第一次出現(xiàn)是在四年級下冊教材中，重點介紹用畫圖和列表法解決問題，雖然算式法沒有呈現(xiàn)，但是已經(jīng)“水到渠成”；第二次是在五年級教材中，出現(xiàn)了列方程的方法。教學(xué)這些內(nèi)容時，如果僅是就題講題，就課本講課本，難免顯得過于簡單和淺薄。那么，對小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，“雞兔同籠”是否還隱藏著“模型”因素呢？在教學(xué)中，筆者引領(lǐng)教師進行了嘗試。

一、走進情境，獲取信息

以數(shù)學(xué)文化的介紹引入教學(xué)：在一千五百年前，我國古代有一本數(shù)學(xué)巨著叫《孫子算經(jīng)》。書里邊有一道數(shù)學(xué)趣題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雞、兔各幾何？”這道題世代相傳，甚至漂洋過海，傳到日本等很多國家，歷經(jīng)千年而不衰。激發(fā)學(xué)生興趣，揭示學(xué)習(xí)內(nèi)容，引發(fā)學(xué)生思考。

二、搭橋引模，形成策略

教學(xué)分為三個層次，從頭的數(shù)量為較小數(shù)開始。

1.一個籠子，從上面看有3個頭，從下面看有8條腿，雞有幾只？兔有幾只？由于給定的頭數(shù)和腿數(shù)的數(shù)據(jù)比較小，教師是這樣引導(dǎo)的：“你們猜猜看，雞和兔各有幾只呀？你們是怎樣想的呢？說說你的想法。”留給學(xué)生思考的時間。

生：雞有2只，兔有1只。因為1只雞有2條腿，我想2只雞就有4條腿，還剩4條腿，那就是1只兔子。

生：我用畫圖表示的。

2.一個籠子，從上面看有6個頭，從下面看有20條腿，雞有幾只？兔有幾只？要求學(xué)生根據(jù)上面那道題的想法，自己喜歡用哪種方法就用哪種?？梢圆乱徊?，可以畫一畫，也可以算一算。

數(shù)據(jù)變大了一些，有的學(xué)生從猜出發(fā)，從1只雞5只兔開始；有的學(xué)生從3只雞3只兔開始；有的學(xué)生從1只兔5只雞開始。老師幫助學(xué)生把這種猜測、枚舉的思路整理成一個表格的形式，就成為列表法。

有的學(xué)生直接用了畫圖的方法，把6只都看成是雞，或把6只都看成兔。

這時，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)列表法和畫圖法之間的聯(lián)系——方法不同，實質(zhì)相同，都是運用了假設(shè)的方法。結(jié)合學(xué)生的畫圖法，幫助學(xué)生梳理思考方法，形成策略。

（1）看成雞（或兔），算算有多少條腿。

（2）與題中的腿數(shù)比較，再算算相差多少條腿。

（3）調(diào)整，添上或去掉腿數(shù)。

（4）求出數(shù)量，標(biāo)清雞兔各幾只。

3.一個籠子，從上面看有8個頭，從下面看有26條腿，雞有幾只？兔有幾只？要求學(xué)生自選方法，獨立解答。由于學(xué)生有列表法和畫圖法作支撐，知道了方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，即假設(shè)的思路。所以獨立解答這道題時，算式的列法已“水到渠成”。學(xué)生不僅算式列得好，而且說理清楚明白。

8×2=16（條）

26-16=10（條）

4-2=2（條）

兔 10÷2=5（只）

雞 8-5=3（只）

教師的這三個層次的設(shè)計，數(shù)據(jù)從小變大，方法由繁到簡，但是其核心思想是一致的，都是“假設(shè)的思路”?！半u兔同籠”的解題策略基本形成。

三、抽象概括，建立模型

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，抽象與概括是數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思想的核心要素之一，是形成方法、得出規(guī)律的關(guān)鍵性手段，同時也是建立數(shù)學(xué)模型最為重要的一環(huán)。抽象是從許多事實或現(xiàn)實中，舍去個別的、非本質(zhì)的屬性，而抽取出共同的、本質(zhì)的屬性。在數(shù)學(xué)中表現(xiàn)為抽取數(shù)量之間、空間形體之間的關(guān)系。當(dāng)學(xué)生在頭腦中形成各種具體的圖式表象后，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進一步抽象和概括，在理解的基礎(chǔ)上進一步內(nèi)化并掌握數(shù)量關(guān)系。

在學(xué)生能初步用假設(shè)思路解答“雞兔同籠”問題后，筆者要求教師要注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“雞兔同籠”這類題本身的題型結(jié)構(gòu)特征，即：已知兩個未知量的和以及兩個未知量之間一定的量值關(guān)系，求未知量；其次是教師要引導(dǎo)學(xué)生理解解答方法，即“假設(shè)法”的一般解題思路；三是教師要引導(dǎo)學(xué)生深入思考，“生活中你見過有人把雞和兔放在一個籠子里養(yǎng)殖的嗎？就是放在一起養(yǎng)殖，也沒有誰去做數(shù)頭數(shù)腳這種無聊的事吧。我們的老祖宗干嘛煞費苦心地進行研究呢？一千多年過去了，為什么雞兔同籠這道數(shù)學(xué)題還作為寶物似的流傳到今？”

在學(xué)生對所提問題一時困惑皺眉時，教師提議帶著這個問題來繼續(xù)進行“龜鶴同游”和“人狗同行”的研究并再次提出疑問：“雞兔同籠”有什么獨特的魅力？經(jīng)過研究和比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“雞兔同籠”不只是代表著雞、兔同籠的問題，有很多類似的問題都可以看成是“雞兔同籠”問題，如人馬問題、牛雞問題、汽車和自行車的輪子問題，等等。隨后，師生共同研究“信封里放著5元和2元的鈔票，共8張，34元，信封里5元和2元的鈔票各有多少張？”探討其與雞兔同籠問題的關(guān)聯(lián)。經(jīng)過比較和猜想，學(xué)生的認(rèn)識再次提升：“這里的2元的鈔票就相當(dāng)于雞有2只腳，而5元的鈔票就相當(dāng)于兔，是5只腳的怪兔?！弊詈?，教師讓學(xué)生聯(lián)系生活，將一些實際問題編成“怪雞”“怪兔”同籠的數(shù)學(xué)問題并解答。

到了課堂總結(jié)時，屏幕上第三次出示：“雞兔同籠”有什么獨特的魅力？學(xué)生總結(jié)感受之后，教師順勢給予強化：從一個具體的數(shù)學(xué)問題出發(fā)，研究解法，并上升到一種模型，最后進行廣泛的運用，數(shù)學(xué)就是這樣發(fā)展起來的。同樣，如果我們在學(xué)習(xí)各種數(shù)學(xué)問題時能有“模型”的意識，舉一反三，觸類旁通，我們必將會走向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自由王國。

上述教學(xué)通過對“‘雞兔同籠’有什么獨特的魅力？”這一問題的三次追問把整節(jié)課串聯(lián)起來，雖然每一次追問的層次和目標(biāo)是不一樣的，第一次是針對具體的、“原生態(tài)”的雞兔同籠問題發(fā)問，主要是激發(fā)學(xué)生的探究欲望，向更高的學(xué)習(xí)層次邁進；第二次是進一步明確“雞兔同籠”問題的結(jié)構(gòu)、模型，同時，又讓學(xué)生經(jīng)歷更高層次“數(shù)學(xué)化”的過程；第三次是幫助學(xué)生實現(xiàn)完整的“模型”建構(gòu)，實現(xiàn)“形式的”數(shù)學(xué)知識向現(xiàn)實生活的“復(fù)歸”，但是，其核心都是讓學(xué)生從“模型”和“建?！钡慕嵌葋碛H近數(shù)學(xué)，了解數(shù)學(xué)。站在“高點”再回望探究之旅，學(xué)生更加深入地認(rèn)識了數(shù)學(xué)。當(dāng)然，這個過程不是一節(jié)課就能夠完成的，在第一階段可以分2～3課時完成。

數(shù)學(xué)在本質(zhì)上就是在不斷地抽象、概括、模式化的過程中發(fā)展和豐富起來的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有深入到“模型”“建模”的意義上，才是一種真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。這種“深入”，就小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，具有鮮明的階段性、初始性特點，它更多地是指用數(shù)學(xué)建模的思想和精神來指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，從而達到“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與運用的過程，進而使學(xué)生在獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展” 的目的。

（北京市通州區(qū)教師研修中心 101100）