魏宏

當(dāng)迎春花開了，我們也就進(jìn)入初中七年級(jí)下冊(cè)的第一章《平面圖形的認(rèn)識(shí)（二） 》學(xué)習(xí)了，這就需要同學(xué)們?nèi)ナ煜ひ粡埢緢D形——三線八角；理解一個(gè)概念——平行線；掌握平行線的3條判定、3條性質(zhì)，以上內(nèi)容掌握將有助于同學(xué)們更快地走進(jìn)幾何圖形的學(xué)習(xí).那么，什么是平行線？平行線的性質(zhì)、判定又是怎樣的呢？

一、三線八角

兩條直線被第三條直線所截形成八個(gè)角，

它們構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角.

如圖，直線a、b被直線 所截

①∠1和∠5在截線 的同側(cè)，同在被截直線a、b的上方，叫做同位角（位置相同）.還有∠2和∠6，∠3和∠7，∠4和∠8.

②∠5和∠3在截線 的兩旁（交錯(cuò)），在被截直線a、b之間（內(nèi)），叫做內(nèi)錯(cuò)角（位置在內(nèi)且交錯(cuò)）.還有∠4和∠6.

③∠5和∠4在截線 的同側(cè)，在被截直線a、b之間（內(nèi)），叫做同旁內(nèi)角.還有∠3和∠6.

理解三線八角，我們要把握以下幾點(diǎn)：

1、三線八角

都是就兩條直線被第三條直線所截這種情況下，不同頂點(diǎn)的兩個(gè)角之間的位置而言的.如圖，∠1和∠2雖然是不同頂點(diǎn)的兩個(gè)角，但不是兩條直線被第三條直線所截得的角，故不屬于“三線八角”中的任何一類角.∠2和∠3雖是由兩條直線被第三條直線所截而成的角，但它們同頂點(diǎn)，故也不屬于“三線八角”中的任何一類角.

2、 三線八角講的只是位置關(guān)系，而不是大小

關(guān)系，切不可誤認(rèn)為同位角、內(nèi)錯(cuò)角必相等，同旁內(nèi)角必互補(bǔ).

3、 一個(gè)角可以同時(shí)

和幾個(gè)角是同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角.如圖，∠1和∠3、∠2是同位角，和∠4是同旁內(nèi)角，和∠5是內(nèi)錯(cuò)角.

二、概念來(lái)襲

1.平行線的概念

在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.

2.平行線的判定

在運(yùn)用平行線的判定時(shí)，一定要看清是哪兩條直線被哪一條直線所截而成的同位角相等，或內(nèi)錯(cuò)角相等，或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，才能正確判斷是哪兩條直線平行.三線八角中的“角”擔(dān)任了平行線的“裁判員”.

3.平行線的性質(zhì)

（1）兩直線平行，同位角相等；

（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

在理解平行線的性質(zhì)時(shí)，一定要記住：“要使同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”成立的前提條件是“已知兩直線平行”.

三、概念活用

例1 如圖，判斷下列各對(duì)角是哪兩條直線被哪條直線所截而成的什么角：⑴∠1和∠2；⑵∠1和∠3；⑶∠1和∠BAD；⑷∠2和∠4.

【解析】如圖，∠1和∠2有一條公共邊AB，另一邊分別是AC、BC， 分離出基本圖形如圖.這樣就構(gòu)造出了一個(gè)很熟悉的“三線八角”，對(duì)照基本圖形，易知∠1和∠2是直線AC、BC被直線AB所截而成的同旁內(nèi)角；同樣，我們可以把圖中的∠1和∠3、∠1和∠BAD、∠2和∠4 分別分離出來(lái)，如下面三張圖：

【答案】如圖，∠1和∠2是直線AC、BC被直線AB所截而成的同旁內(nèi)角，∠1和∠3是直線AB、CD被直線BC所截而成的同位角，∠1和∠BAD是直線AD、BC被直線AB所截而成的同旁內(nèi)角、∠2和∠4是直線AB、CD被直線AC所截而成的內(nèi)錯(cuò)角.

【點(diǎn)評(píng)】解決這類問(wèn)題要熟悉“三線八角”的基本模型，根據(jù)其位置特征，可總結(jié)為：同位角是“F”型；內(nèi)錯(cuò)角是“Z”型；同旁內(nèi)角是“U”型.學(xué)會(huì)從原圖中分離出基本圖形，不僅為識(shí)別“三線八角”提供了方便，也為以后解決更復(fù)雜的幾何問(wèn)題奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

【解析】首先由已知EF∥AD，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠2=∠3，再由∠1=∠2，利用等量代換可得∠1=∠3，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AB∥DG，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠BAC+∠AGD=180°，進(jìn)而得到答案.

【答案】∠3，兩直線平行，同位角相等；DG，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；∠AGD，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；110°.

【點(diǎn)評(píng)】平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來(lái)尋找角的數(shù)量關(guān)系.見到“特殊位置”的角相等或互補(bǔ)，就應(yīng)該想一想否有平行線的出現(xiàn).反之，遇見直線平行就應(yīng)聯(lián)想到角相等或互補(bǔ).

同學(xué)們，你們現(xiàn)在對(duì)“三線八角”和平行線的性質(zhì)與判定有了一個(gè)更深入的理解了嗎？當(dāng)然，我們同時(shí)也要知道，平行線的判定還不止這些，那么，還有哪些呢？這個(gè)問(wèn)題就留給你們自己思考吧！