俞丹鋒

摘 要： 極限思想是進行微積分學習的敲門磚，向學生滲透極限思想在小學階段就顯得尤為重要，但是受學生年齡的限制和知識掌握的制約，初步讓學生了解極限思想必須充分考慮學生的認知情況，重視直觀教學，讓學生充分感知，在實踐中潛移默化地滲透極限思想。

關鍵詞： 極限思想 逼近 滲透 小學數學教學

極限思想是眾多數學思想之一，是發(fā)展數學思維、培養(yǎng)數學能力的基礎。近代的極限思想的發(fā)展是與微積分有著重要聯系，為了給學生后續(xù)數學課程打下伏筆，因此小學階段給學生滲透極限思想就顯得尤為重要。

如何在小學數學學習中滲透極限思想呢？極限思想是建立在動態(tài)的基礎變量上，既舉足輕重又頗具難度。簡單地說就是用極限逼近準確，在有限動態(tài)的過程中研究無限，在“不變”的基礎上理解“變”，從“曲線形”中轉化出“直線形”，用近似的方式理解精確。

在小學階段，向學生滲透極限思想就必須讓學生理解“無限”和“逼近”這兩個概念。但是在教學中發(fā)現部分教師對于極限沒有一個明確的認識，他們片面地認為極限就是“無限”。例如：直線和射線都可以無限延伸，自然數、小數和分數的個數是無限的，等等，這些教師將這些知識點錯誤地理解都蘊含著極限的思想，這些看法是不準確的。微積分的極限理論的核心是，如果一個函數或數列無限地接近于一個常數，我們就說這個常數稱作這個函數或數列的極限，這是極限概念的定性的描述。因此直線是無限延伸等知識點只是一個無限的思想，而不是極限思想。受小學生年齡限制及對事物認知方面制約，理解極限思想這種抽象的思維存在難度，但不能因為困難就弱化它，反而必須抓住一切時機向學生滲透極限思想，讓學生充分感知，了解極限思想，現在就小學數學教學滲透極限思想談幾點策略。

一、在直觀感知中滲透極限思想

《義務教育課程標準（2011年版）》明確指出“要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系”[1]。數學是一門抽象的學科，極限思想又是一種高度抽象的數學思想，因此在教學中要借助感性認識才能實現對數學知識的掌握，采用直觀化的教學手段，才能為學生抽象邏輯思維的發(fā)展打下堅實的基礎。

現代教育時常借助多媒體的使用，它可以調動學生利用多種感官充分感知，引導學生思考，在思考中發(fā)現規(guī)律，讓抽象的極限思想具體化、形象化、直觀化，降低學生理解的難度。

在人教版六年級上冊《圓的面積》一課時中，通過現代多媒體的應用，直觀展現把圓進行2等分，4等分的過程，在等分的過程中，教師引導學生觀察，等分的一小塊圖形像什么？學生根據已有的知識經驗，很自然地想到像一個三角形，只是一條邊是完全彎曲的。教師繼續(xù)追問：有沒有什么辦法讓這條彎曲的線變得更直些？學生自然而然想到把圓更加細分，等分得越多，得到小扇形的弧度就越小，進而更加逼近與直邊。教師立刻根據學生的想法，用多媒體課件展示出把一個圓進行8等分、16等分、32等分、64等分的過程，學生能更直觀充分地感知等分后的扇形越來越近似三角形，得出把圓轉化為三角形，再拼成的長方形，求出圓的面積。

又如，人教版義務教育教科書六年級下冊《圓柱的體積》一課，把圓柱體底面的圓分成若干相等的扇形，按扇形的等分線沿高線分割開，再拼一個近似的長方體，通過多媒體直觀展示，讓學生直觀感受到當底面切分的扇形越多，拼接出的圖形就越加逼近于長方體，通過多媒體flash的動態(tài)展示，讓學生直觀認識到極限思想中的“化曲為直”及“逼近”這兩個重要的特征，教師抓住了實質，將復雜的內容進行精簡，講得明白易懂。不僅在教學中潛移默化地滲透了極限思想，還為學生將來的學習做好了鋪墊，未來學生就可能創(chuàng)造出屬于自己的東西。

二、在動手實踐操作中滲透極限思想

《義務教育課程標準（2011年版）》提出：數學思想蘊涵在數學知識形成、發(fā)展和應用過程中，是數學知識和方法在更高層次的抽象和概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。學生在積極參與教學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流、逐步感悟數學思想。學生感知極限思想，也離不開學生參與教學活動中，如果僅僅靠教師單方面填鴨式的教學，學生必然無法真正感悟到數學思想，因此學生必須親自參加教學活動實踐，通過做一做、擺一擺等數學活動，在操作中感悟極限思想。

在新人教版六年級上冊《數與形》中有一道例題：■+■+■+■+■+■+…，這道例題實際上是等比數列求和的內容，如果在高中階段，即可通過等比數列公式求解，當q=■時，S■=■=■=1-（■）■，■+■+■+■+■+■+…=■（1-（■）■）=1。但是在小學階段，學生大多數知識的獲知都是通過直觀感受才獲取，因此在介紹本題求法之前，建議教師先化繁為簡，將無限個的加數變?yōu)橛邢迋€，如■+■+■+■+■+■。讓學生用自己的方法先算一算這幾個分數的和，學生一開始用之前學過通分的方法求和，算完后有些學生就立刻得出猜想分母減1等于分子。這時候教師引導學生，能否借助直觀圖形驗證自己的猜想。讓學生在事先準備好的一個幾何平面圖形（如圓形、正方形等）上涂陰影，先涂出■，然后涂出■，接著在小組合作中分別在圖形上空白位置標出■，■，■，學生通過自己動手實踐，直觀感受到陰影部分越來越逼近于整個圖形。在驗證了想法后，再對比通分和用逆向思維的規(guī)律解決問題的兩種方法后，教師適當提問：當分數加到無限個的時候，會怎么樣？有了前面的鋪墊，學生就能理解這個等比數列的求和會逼近、甚至會填滿整個圖形，這時候教師出示得數等于1時，學生就不會感覺唐突或難以接受，教師要把握好近似與精確這兩者對立統(tǒng)一的關系，讓學生理解它們在一定條件下是可以互相轉化的；在教學中不僅僅通過圓片涂陰影法，還可以結合線段圖，在長度是1的線段上，畫出■，■，■…，學生在畫圖過程中，發(fā)現畫出的線段越來越接近1，在畫圖操作中漸漸體會到極限的思想，很好地滲透了數學思想。

總之，任何一種數學方法和思想的掌握與靈活應用，都不是一蹴而就的。教師應該重視學生的認知規(guī)律和已有的學習經驗，通過小組交流、同桌合作，讓學生成為學習的共同體，通過數形結合等直觀方法，滲透極限思想，為今后建構新的數學知識體系夯實基礎，為今后學習微積分做好了鋪墊。

參考文獻：

[1]義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京師范大學出版社，2012.