沈勤

一、問題的緣起

“圓的面積”是小學數(shù)學幾何教學中重要的課程內(nèi)容，它是平面圖形的認識和測量中，由直線圖形變?yōu)榍€圖形的關(guān)鍵點，從研究直線圖形到研究曲線圖形，對學生而言是一個很大的跨躍。人教版教材采用實驗的方法推導(dǎo)圓的面積計算公式。推導(dǎo)出圓的面積計算公式之后，教材安排了兩道例題，應(yīng)用圓的面積計算公式解決實際問題。例1是已知直徑，先求出半徑，再求面積；例2是求圓環(huán)的面積。在這樣的教學后，筆者對“圓的面積”進行了教學后測。

后測試題：

（1）已知正方形的面積為36平方厘米，求圓的面積。（見下圖）

（2）已知正方形的面積為20平方厘米，求圓的面積。（見上圖）

筆者對兩個班級82名學生進行了測試，答題情況見表1。

二、分析與診斷

透過錯例現(xiàn)象，經(jīng)過思辨加工，從中梳理歸納其產(chǎn)生問題的原因。

（一）缺少面積意義的感悟體驗

在學習“圓的面積”之前，學生已經(jīng)學習了正方形、長方形等平面圖形的周長與面積，學生能用自己的語言表述出什么是圖形的周長，什么是圖形的面積。因此，教師在教學“圓的面積”時會覺得學生對圓的面積意義的理解已經(jīng)沒有困難了，無須加以體會。從上述的后測中可以看到，正方形的面積為20平方厘米，學生想到了邊長為5厘米。由此可見，在小學圖形與幾何教學中，往往容易混淆圓的周長和面積的概念。

（二）缺少公式本質(zhì)的推理分析

從上述的后測中可知，學生會根據(jù)“36”這個特殊的數(shù)據(jù)很快知道正方形的邊長是6厘米，正方形的邊長也就是圓的半徑，然后運用圓面積公式S=πr2順利地求出圓的面積。但把題中的“36”改成“20”后，學生就顯得束手無策了。學生總是試圖先求出半徑，再利用S=πr2這一公式得出圓的面積?？稍谖覀兊慕虒W中卻忽視了“圓的面積是r2的π倍”，其實圓的面積與r2有著更為直接的倍數(shù)關(guān)系。

（三）缺少豐厚多樣的探究經(jīng)歷

在教學中，很多教師考慮到小學生的認知發(fā)展規(guī)律，認為小學階段學生只要能認同圓的面積公式就可以了，不需要經(jīng)歷過長的探索過程?！皥A的面積”一課教材只要求學生把圓分成若干（偶數(shù)）等份，剪開后用近似等腰三角形拼成一個近似的平行四邊形（長方形），由平行四邊形或長方形面積公式推導(dǎo)出圓面積公式。在幾何圖形面積公式的推導(dǎo)過程中，不能簡單地用單一的方法獲取計算公式，還應(yīng)加強推導(dǎo)過程中求異思維訓(xùn)練，讓學生經(jīng)歷異中求同的探究計算公式的過程。

（四）缺少過程理解的運用練習

在探究出圓的面積計算公式后，很多教師就把主要精力放在套用公式的計算上。在練習設(shè)計中，總是設(shè)計一些已知半徑或是直徑可以直接套用公式求圓面積的題目，或者是設(shè)計一些已知圓的周長求圓面積的題目。這樣一來，通過觀察、操作、推理等手段推導(dǎo)出的計算公式，在練習中缺少了過程理解的運用，只是機械地套用公式進行計算，不利于學生對計算公式的深入理解，這不是我們教學的最終的目的。

三、對策和措施

新課改的數(shù)學課堂注重過程性學習，提高學生思維能力，關(guān)注學生個性體驗，可在幾何圖形計算公式教學中，還陷入“公式化”教學模式：追求快速推導(dǎo)出公式，拘泥于“套用公式”的練習。怎樣才能真正讓幾何圖形計算公式“靈活”起來?，F(xiàn)以六年級上冊“圓的面積”一課為例，談?wù)劰P者的一些嘗試。

（一）重視情境操作，感悟“面積意義”

研究表明，適當?shù)牟僮骱途唧w的圖像對小學生的數(shù)學學習，特別是對圖形的周長、面積和體積等概念的理解是非常有幫助的。教學中應(yīng)重視結(jié)合一些具體操作情境，使學生對所要測量的量（如長度、周長、面積、體積）的實際意義與變化本質(zhì)加以體會。在“圓的面積”一課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)中，筆者設(shè)計這樣的活動：描一描下面圖形的周長與面積，想一想圓的面積大小與什么有關(guān)？（見下圖）

1.描繪，感悟周長、面積概念的本質(zhì)區(qū)別

導(dǎo)入活動中利用4個大小不一的圓，讓學生用喜歡的方式表示圓的周長與面積。學生能用多種表征方式（用筆來描、用線繞圓形、用手指筆畫、語言描述）來感悟圓的周長；再用（用陰影表示、用手摸、語言描述）來理解圓的面積。通過用線繞圓形后將線拉直表示圓周長與用陰影表示圓面積進行比較，讓學生再次感受周長與面積的本質(zhì)區(qū)別。

2.比較，感悟面積大小變化的主要因素

導(dǎo)入活動中4個大小不一的圓也為學生“主動地進行觀察、實驗、猜想、驗證”提供了充分的準備。學生通過觀察、比較，引發(fā)學生進行思考：“圓的面積的大小跟圓的什么有關(guān)？”在交流中初步發(fā)現(xiàn)引起圓的面積大小變化的主要因素——直徑和半徑。在教學中充分運用比較的方法，有助于凸顯面積變化的主要因素，提高辨別能力，發(fā)展邏輯思維能力。

通過描繪、比較活動，幫助學生建立圖形認知，豐富學生的表象，以進一步理解圖形中周長與面積的概念，更為學生深入地探究圓的面積計算公式奠定基礎(chǔ)。

（二）借助幾何直觀，聚焦“公式本質(zhì)”

在“圓的面積”探究中設(shè)計揭示圓面積與正方形面積的關(guān)系的幾何直觀活動，深入計算公式的知識本質(zhì)。

1.猜想，初步感知圓與正方形面積的關(guān)系

研究圓與正方形之間的面積關(guān)系，有助于學生更好地理解圓面積公式的本質(zhì)，同時拓寬解題的路徑。教學時設(shè)計了這樣一個活動：先后出示三個大小不等的正方形和一個圓，猜測它們之間的面積關(guān)系。（見下圖）

先讓學生比比圖2、圖3分別與圖1的面積關(guān)系，學生運用計算、剪拼等方法得出圖2面積是圖1面積的4倍，圖3面積是圖1面積的2倍。進而引起學生猜想，“圖4面積與圖1面積有什么關(guān)系？”發(fā)現(xiàn)正方形的邊長與圓的半徑長度相等，引發(fā)學生用重疊、比較等方法進行估測。

2. 估測，深入感知圓與正方形面積的關(guān)系

“課件出示一個正方形，再以正方形的一個頂點為圓心，邊長為半徑畫一個圓，估測：圓的面積大約是正方形面積的幾倍？（見下圖）

從學生熟悉的“數(shù)方格”初步驗證猜想，借助圓內(nèi)接正方形，圓外切正方形得出圓的面積是正方形面積的（2～4）倍，讓學生理解，圓的面積與r2有著更為直接的倍數(shù)關(guān)系，同時所得結(jié)論與接下來用轉(zhuǎn)化推導(dǎo)出來的公式相互印證，能使學生充分感受圓面積公式推導(dǎo)過程的合理性。

（三）凸顯多維策略，注重“探索驗證”

推導(dǎo)圓面積計算公式這一環(huán)節(jié)是本節(jié)課的重點，也是難點，凸顯多維策略，注重動手操作、直觀演示、抽象概括等探索驗證活動，才能引導(dǎo)學生理解和掌握圓的面積公式。

1.轉(zhuǎn)化，形式多樣的探索中體會數(shù)學思想

教學中筆者直接提示學生“你能用剪拼的方法把圓轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)學過的圖形嗎？以小組為單位先討論方法，再把4個大小不一的圓進行轉(zhuǎn)化”。由于圓的大小不同和平均分割的份數(shù)不同，給學生提供了豐富的研究素材。學生通過觀察、比較、分析發(fā)現(xiàn)，雖然圓的大小不一，但都可以轉(zhuǎn)化成近似長方形。相等的圓等分的份數(shù)加倍與拼成圖形的變化趨勢，想象等分份數(shù)無限加倍時的“極限狀態(tài)”。學生通過觀察圓在轉(zhuǎn)化成近似長方形的過程中，發(fā)現(xiàn)了變與不變的關(guān)系，從而得出圓面積的計算公式。

2.驗證，方法多樣的推算中明確計算公式

作為教材，僅呈現(xiàn)了將圓等分拼成近似長方形推導(dǎo)出圓的面積公式，教材提供的僅是一種研究方法。因此，在教學了這種研究方法后，筆者引導(dǎo)學生繼續(xù)探索：“將圓形16等分后還能轉(zhuǎn)化成我們學過的什么圖形？你們能運用轉(zhuǎn)化的圖形推算出圓形的面積公式嗎？以小組為單位進行探索研究?！保ㄒ娤聢D）

學生通過將圓轉(zhuǎn)化成三角形、梯形，呈現(xiàn)多種方法驗證圓面積計算公式，既豐富了課程資源，更重要的是，讓學生經(jīng)歷了更多探索圓面積的公式推導(dǎo)過程，進行了有效的思考，更好體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學方法，驗證了圓的面積是正方形面積的π倍，即≈π。

（四）運用創(chuàng)意練習，體現(xiàn)“過程理解”

教材練習題的編排層次分明：基本圖形求面積（直接應(yīng)用公式）—文字信息求面積（正、逆間接運用公式）—應(yīng)用圓面積公式解決實際問題。這樣的練習鞏固了面積公式，但缺少了過程理解的運用，只是機械地應(yīng)用公式進行計算，不利于學生對計算公式推導(dǎo)過程的深入理解。在這一課的鞏固練習中，筆者在原有教材練習題的基礎(chǔ)上進行了創(chuàng)新練習的設(shè)計，體現(xiàn)計算公式的“過程理解”。

1.再現(xiàn)，設(shè)計注重推導(dǎo)過程的練習

“圓的面積”一課，設(shè)計了再現(xiàn)推導(dǎo)過程的創(chuàng)新練習。

練習1：把一個圓沿著半徑剪成若干等份，拼成一個近似長方形（見下圖），這個近似長方形的長是12.56厘米、寬是8厘米。你能求出圓的面積是多少平方厘米嗎？

這個練習的設(shè)計讓學生再次回顧了圓面積公式的推導(dǎo)過程，加深對轉(zhuǎn)化前后圖形一一對應(yīng)關(guān)系的理解，通過長方形長、寬與圓的周長、半徑之間的關(guān)系計算圓的面積。通過在多種方法的展示比較中，既是對所學圓面積公式的推導(dǎo)過程的有效鞏固，又是對新知的拓展與延伸。

2. 追溯，設(shè)計凸顯知識本源的練習

推導(dǎo)出圓面積計算公式后，教材練習題的編排都是兩類練習：一類運用計算公式求圖形面積；另一類運用計算公式解決生活中的問題。缺少凸顯知識本源的變式練習。為了突破單一思維習慣，達到多維目的，筆者設(shè)計了凸顯知識本源的練習。

練習2：下面三幅圖中正方形的面積都是20平方米（見下圖），每個圓的面積各是多少平方米？

這個練習的設(shè)計是引導(dǎo)學生克服思維定勢，進行多維思考。追問學生“要求出圓的面積，需要先找到什么條件？”給學生解決問題提供了廣闊的空間，求圓的面積可以先找半徑，也可以先找半徑的平方是多少。知道了半徑的平方是多少（即圖中正方形的面積），再直接乘π的值就可以輕松求出圓的面積。這個練習深化了對圓與正方形面積比的理解，使學生意識到方法靈活運用的重要性，真正關(guān)注公式本質(zhì)，打破了套用公式的思維定勢。

四、結(jié)束語

幾何圖形面積計算公式教學是“圖形與幾何”的重要支撐點，是小學數(shù)學教學中一項重要的內(nèi)容。我們唯有抓住教學的要義，深刻理解教材編寫目的，創(chuàng)新練習設(shè)計，讓學生經(jīng)歷凸顯知識本質(zhì)的探索過程，通過觀察、實踐、猜測、想象等探究方法，從而讓幾何圖形面積計算公式“活”起來，靈活地運用計算公式解決問題，有效形成解決問題的基本策略。

（浙江省平湖市乍浦天妃小學 314201）