郭 凱，陳新元，李 勇，張俊峰，楊海清

（1.武漢科技大學(xué) 機(jī)械自動化學(xué)院，武漢 430081；2.山推楚天工程機(jī)械有限公司，武漢 430200）

0 引言

結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型試驗(yàn)研究是一種用來獲取復(fù)雜結(jié)構(gòu)動力學(xué)特性的較為客觀和直接的研究方法。大跨度多自由度機(jī)構(gòu)如混凝土泵車臂架、消防車云梯等都具有自由度多、控制調(diào)節(jié)靈活、共振頻率低等特點(diǎn)，分析機(jī)體動力學(xué)特性，既能夠較為準(zhǔn)確地預(yù)估大跨度多自由度機(jī)構(gòu)的振動水平，又能夠指導(dǎo)機(jī)體的結(jié)構(gòu)設(shè)計。由于在實(shí)際結(jié)構(gòu)上進(jìn)行模型試驗(yàn)危險系數(shù)大，不可控因素多，因此，建立一個與原結(jié)構(gòu)滿足一定動力學(xué)相似關(guān)系的縮比模型進(jìn)行試驗(yàn)是現(xiàn)階段一種行之有效的方法[1]。在縮比模型設(shè)計中，可分為完全相似模型和不完全相似模型。對于大跨度多自由度機(jī)構(gòu)來說，由于各子系統(tǒng)尺度差異很大，相似模型很難實(shí)現(xiàn)完全相似，此時采用不完全相似縮比模型進(jìn)行試驗(yàn)研究是必要的。

本文提出了一種以縮比模型的主要設(shè)計尺寸或者材料屬性為控制變量，調(diào)整模型相似比，尋找到各變量合適的相似比，以滿足影響試驗(yàn)對象的一個或者多個主要研究指標(biāo)，從而設(shè)計出非完全相似試驗(yàn)?zāi)Ｐ?。本文首次將神?jīng)網(wǎng)絡(luò)聯(lián)合NSGA-II算法的多目標(biāo)優(yōu)化方法運(yùn)用于非完全相似模型的設(shè)計中，解決了多目標(biāo)優(yōu)化模型建模難及尋優(yōu)難的問題。

1 非完全相似試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷脑O(shè)計方法

1.1 大跨度多自由度機(jī)構(gòu)相似關(guān)系

在一般外載荷激勵作用下，結(jié)構(gòu)發(fā)生振動，各主要物理參數(shù)之間的關(guān)系可以用以下形式表示為：

式中，輸入的主要參數(shù)有：外激勵F，激勵加載時間t；結(jié)構(gòu)的主要參數(shù)有：材料的彈性模量E，材料密度ρ，結(jié)構(gòu)的幾何尺寸l，結(jié)構(gòu)的固有頻率ω，結(jié)構(gòu)的阻尼比ξ以及結(jié)構(gòu)的固有振型φ；輸出的物理量有：結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)u，速度響應(yīng)v和加速度響應(yīng)a。根據(jù)π定理，由綱量分析法可以得到如下相似準(zhǔn)則：

大跨度多自由度機(jī)構(gòu)動力學(xué)特性包括結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性以及激振力與結(jié)構(gòu)某部分振動響應(yīng)之間的傳遞函數(shù)關(guān)系。其中結(jié)構(gòu)的模態(tài)特征包括各模態(tài)的固有頻率、固有振型和模態(tài)阻尼。只有準(zhǔn)確地確定模態(tài)特性才能準(zhǔn)確地確定傳遞函數(shù)關(guān)系，而只有準(zhǔn)確確定傳遞函數(shù)關(guān)系才能準(zhǔn)確地確定在一定的激振力作用下的振動響應(yīng)[2]。由相似準(zhǔn)則可以發(fā)現(xiàn)，主要影響機(jī)構(gòu)動力學(xué)特性的固有頻率比為，固有振型和模態(tài)阻尼的相似比均為1。

由于機(jī)構(gòu)的振型不僅與質(zhì)量、分布有關(guān)，也和剛度分布有關(guān)，對于剛度分布復(fù)雜的大跨度多自由度機(jī)構(gòu)，在模型設(shè)計時難以實(shí)現(xiàn)固有振型相似比為1，只能盡可能提高相似模型振型相似度[2]。對于大跨度多自由度機(jī)構(gòu)來說，由于各子系統(tǒng)尺度差異很大，各尺寸統(tǒng)一相似比難以實(shí)現(xiàn)，若減少尺寸相似比，材料的彈性模量和材料密度相似比相差很大，難以找到合適材料。特別當(dāng)模型與原型采用相同材料時，為了滿足動力學(xué)相似，完全相似縮比模型固有頻率將比原型大得多，如果要使模型與原型的共振區(qū)相同，其激振頻率將比原型大得多，這會給模型試驗(yàn)帶來極大困難。因此非完全相似模型的建立十分必要。

1.2 非完全相似試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷脑O(shè)計

非完全相似試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭饕糜谔囟ǖ脑囼?yàn)研究，指模型各個設(shè)計尺寸相似比和模型各處材料屬性相似比不唯一。在模型設(shè)計中，為滿足特定研究需要，需使模型主要指標(biāo)符合要求。由于設(shè)計指標(biāo)之間多為對立關(guān)系，因此以縮比模型的主要設(shè)計尺寸或者材料屬性為控制變量，運(yùn)用改進(jìn)型BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合輸入輸出之間非線性關(guān)系，最終通過NSGA-II算法尋找最優(yōu)設(shè)計值。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以直接使用樣本數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)輸入層與輸出層之間的非線性映射，對于難以建立確定數(shù)學(xué)模型的問題，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非常適用，因此本文采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立多目標(biāo)優(yōu)化模型，解決多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型難以建立的問題。同時針對傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂速度慢，易陷于局部極小值等缺點(diǎn)，利用遺傳算法對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值進(jìn)行優(yōu)化，對與多輸入和多輸出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，可獲得精度更高的多目標(biāo)優(yōu)化模型[3]。NSGA-II算法，即帶精英保留策略的非劣排序遺傳算法，具有良好的收斂性和魯棒性，并且Pareto解在目標(biāo)空間分布均勻，有出色的多目標(biāo)尋優(yōu)能力[4]。由于模型設(shè)計時，各優(yōu)化目標(biāo)大多存在相對立的關(guān)系，將NSGA-II多目標(biāo)優(yōu)化算法運(yùn)用于非完全相似模型設(shè)計，解決了模型設(shè)計尋優(yōu)難的問題。

針對大跨度多自由度機(jī)構(gòu)，為了研究其動態(tài)特性和振動特性，建立非完全相似模型時，可以模型的主要設(shè)計尺寸L1，L2，…，Ln，材料密度ρ1，ρ2，…，ρn或材料彈性模量E1，E2，…，En中一個或者多個為設(shè)計變量，即：

為使試驗(yàn)?zāi)Ｐ团c原機(jī)構(gòu)動態(tài)特性一致，應(yīng)使試驗(yàn)裝置低階固有頻率變化范圍與和原機(jī)構(gòu)一致。考慮到系統(tǒng)穩(wěn)定性，模型最大應(yīng)力應(yīng)小于許用應(yīng)力。將上述因素作為多目標(biāo)優(yōu)化問題的目標(biāo)，建立多目標(biāo)優(yōu)化模型如下：機(jī)構(gòu)的低階固有頻率，表示試驗(yàn)裝置的最大應(yīng)力

式中ωm表示試驗(yàn)裝置的低階固有頻率，ωp表示原值，表示材料的許用應(yīng)力值。針對不同的試驗(yàn)需求，可以選取不用設(shè)計變量和優(yōu)化目標(biāo)。

結(jié)合改進(jìn)型BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和NSGA-II模型各自的優(yōu)點(diǎn)，尋找非完全相似模型最優(yōu)設(shè)計值，提高了模型設(shè)計的效率和準(zhǔn)確性，具體原理流程如圖1所示。

圖1 改進(jìn)型BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)NSGA-II尋優(yōu)模型流程圖

2 實(shí)例分析

混凝土泵車臂架是典型大跨度多自由度機(jī)構(gòu)，臂架的振動是低階模態(tài)起主導(dǎo)作用，實(shí)車臂架共振主要處于前五階，其中第二階振型的振幅最大，可達(dá)到3米以上，工程用混凝土泵車臂架二階固有頻率一般在0.4Hz附近。本節(jié)將設(shè)計44米混凝土泵車臂架試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，材料選為與實(shí)車臂架一致的高強(qiáng)冷軋細(xì)晶合金結(jié)構(gòu)鋼，許用應(yīng)力為576MPa，所設(shè)計模型的二階固有頻率在0.4Hz左右。通過比較上述方法與傳統(tǒng)方法設(shè)計結(jié)果，研究上述非完全相似試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮O(shè)計方法的最優(yōu)性。

2.1 改進(jìn)型BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立

由于材料密度和彈性模量是材料固有屬性，不易控制。通過有限元原件分析靈敏度發(fā)現(xiàn)臂架第1、2、4和5節(jié)臂架長和厚是影響模型應(yīng)力和固有頻率的主要參數(shù)，選取臂其為輸入變量，即：

上式中L和H分別表示各臂架的長和厚，單位為mm。通過有限元軟件仿真得到不同輸入時試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷亩A固有頻率 2mω(Hz)和最大應(yīng)力值 maxσ(MPa)。選取仿真得到的156組數(shù)據(jù)中130組數(shù)據(jù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)，26組作為測試數(shù)據(jù)。經(jīng)多次訓(xùn)練比較誤差，取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)為9，構(gòu)建成8-9-2型的改進(jìn)型BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。訓(xùn)練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相對誤差如圖2所示，最大應(yīng)力值 maxσ的最大預(yù)測誤差為5.6%，二階固有頻率 2mω的最大預(yù)測誤差為0.9%，預(yù)測誤差小于8%，在誤差允許范圍內(nèi)[3]。

圖2 訓(xùn)練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相對誤差

2.2 NSGA-II算法多目標(biāo)優(yōu)化

根據(jù)實(shí)際情況取控制變量取值范圍為：

取種群大小為100，適應(yīng)度函數(shù)數(shù)值偏差為1×10-10。通過計算得到Pareto解的前端個體分布圖，如圖3所示。從圖中44個最優(yōu)解的分布情況可以看出，滿足固有頻率要求和應(yīng)力要求是相對立的，采用NSGA-II算法進(jìn)行非完全相似模型設(shè)計是十分必要的。綜合考慮，選取Pareto最優(yōu)解中，[1711，1607，1785，1581，4.11，2.38，4.54，4.95]為設(shè)計解，此時模型二階固有頻率為0.4084Hz，最大應(yīng)力值為478.3492MPa。

圖3 Pareto解的前端個體分布圖

2.3 方法比較

運(yùn)用有限元軟件優(yōu)化設(shè)計方法得到三組推薦值，如表1所示，由于篇幅問題，具體求解過程不再贅述。三組推薦點(diǎn)與本法方法的最優(yōu)解發(fā)現(xiàn)比較，采用本文的方法設(shè)計的模型，固有頻率最優(yōu)解至少提高10.6%，最大應(yīng)力值最小值至少減少了8.4%，均優(yōu)于運(yùn)用有限元軟件設(shè)計的方法。

表1 有限元軟件法和新方法最優(yōu)值比較

3 結(jié)束語

本文將改進(jìn)型BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和NSGA-II算法運(yùn)用于非完全相似試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮O(shè)計中，解決了非完全相似模型，多目標(biāo)優(yōu)化模型建模難，尋優(yōu)難的問題。通過以混凝土泵車臂架試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮O(shè)計為例，與運(yùn)用有限元軟件的設(shè)計方法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了改進(jìn)型BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模的有效性和NSGA-II求解結(jié)果的最優(yōu)性，是一種有效的非完全相似模型設(shè)計方法。

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