張嬌蓉，李忠玉（西華大學(xué)計算機與軟件工程學(xué)院，成都　610039）

四電平互補序列的研究

張嬌蓉，李忠玉
（西華大學(xué)計算機與軟件工程學(xué)院，成都610039）

0　引言

互補序列具有理想的自相關(guān)和互相關(guān)特性，與以往通信系統(tǒng)中普遍使用的單個序列不同，互補序列由若干個子序列構(gòu)成。在理論上，若通信系統(tǒng)中應(yīng)用互補序列是可以完全消除其多址干擾和多徑干擾。因此，互補序列成為學(xué)者們研究的熱點。1961年，Golay［1］第一次提出了互補序列的概念并介紹了它的一些數(shù)學(xué)特性，后來的一些學(xué)者對二進制非周期互補序列對的定義、性質(zhì)以及構(gòu)造方法做了深入的研究，并將互補序列用于雷達、同步、信道估計，信號檢測等領(lǐng)域。后來對互補序列的研究方向也逐漸由二進制擴展到多相，非周期互補擴展到周期互補，序列對擴展到序列集上。1988年，Darnell［2］提出了多電平非周期互補集的概念并給出其構(gòu)造方法。1990年，Budisin［3］介紹了非周期多電平互補對的構(gòu)造方法，并將其應(yīng)用在雷達脈沖壓縮技術(shù)和噪聲生成中。雖然有很多學(xué)者對多電平的互補集、互補對做了深刻的研究，但這些對多電平的研究都是在比較大的大字符集上。現(xiàn)實中，在小字符集上研究多電平序列更有實用價值。2010年，李旭東［4］就在小字符集上對四電平Z互補序列做了深入的研究。本文研究的重點也是小字符集上的四電平互補序列。

1　定義

四電平序列是指序列的元素取自于四個字符組成的字符集。本文研究的四電平序列是特指在字符集｛± 1，±2｝上定義的序列。

定義1令a=（a0，a1，…，aN-1）和b=（b0，b1，…，bN-1）是周期為N的序列，他們的周期互相關(guān)函數(shù)被定義為以下形式：

其中b*n+τ表示bn+τ的共軛。當a=b時，上式表示序列a的周期自相關(guān)函數(shù)，數(shù)學(xué)表示如下：

定義2令a和b是周期為N的序列，他們的非周期互相關(guān)函數(shù)被定義為以下形式：

當a=b時，上式表示序列a的非周期自相關(guān)函數(shù)，數(shù)學(xué)表示如下：

定義3令序列集a=（a1，a2，…，ap）的序列數(shù)目為P，每個序列長度為N且序列元素的取值是在字符集｛± 1，±2｝的四電平序列，若滿足：

其中E為正整數(shù)，則序列集a就是周期四電平互補集。當P=2時，則a就是周期四電平互補對。

定義4令序列集a的序列數(shù)目為P，每個序列長度為N且序列元素的取值是在字符集｛±1，±2｝的四電平序列，若滿足：

則序列集a就是非周期四電平互補集。當P=2時，則a就是非周期四電平互補對。

2　四電平互補序列的變換

在序列設(shè)計中，如果一個序列經(jīng)過一定的變換得到的新序列的相關(guān)函數(shù)和變換前序列的相關(guān)函數(shù)保持一致，那么這種變換就叫做序列的初等變換。

初等變換方法一：

經(jīng)實驗證明，二進制互補序列對的某些初等變換也同樣適用于四電平互補對。

令（S1，S2）是一對長度均為N的四電平互補序列。通過如下的變換仍然是四電平互補序列。

（1）交換操作：（S1，S2）→（S2，S1）；

（2）倒序操作：（S1，S2）→（1，S2）；

（3）S1和S2奇數(shù)位置上的元素取負，偶數(shù)位置上的元素不變。

初等變換方法二：

設(shè)a=（a0，a1，…，aN-1）是長度為N的四電平序列。經(jīng)過如下的變換得到的序列的非周期自相關(guān)函數(shù)函數(shù)和原來的保持一致，

其中，當a=（a0，a1，…，aN-1）的元素僅取于｛±1｝時，c可取于｛-1，±2｝；當a的元素僅取于｛±2｝時，c可取于｛-1，±1/2｝。

3　例子

設(shè)a=（1，1，-1，-2），b=（1，2，-1，2），進過計算得到

Ca（τ）+Cb（τ）=（17，0，0，0）

Ra（τ）+Rb（τ）=（17，0，0，0）

其中0≤τ≤3。

將序列a中的元素倒置，變?yōu)樾蛄?a=（-2，-1，1，1），計算得到

將序列a和b中的奇數(shù)元素取負，偶數(shù)元素不變，得到新的序列a*=（-1，1，1，-2），b*=（-1，2，1，2）。計算得到：

Ca*（τ）+Cb*（τ）=（17，0，0，0）

Ra*（τ）+Rb*（τ）=（17，0，0，0）

設(shè)a=（1，-1，1，2，-2）是一個四電平序列，其Ca（τ）=（11，-4，-3，4，-2）。將a的元素進行倒置，得到序列=（-2，2，1，-1，1），其Ca（τ）=（11，-4，-3，4，-2）。

經(jīng)過實驗，在2≤N≤9這一區(qū)間里，四電平非周期互補序列只存在于N=2，4，8中，周期互補序列的代表在表1中給出。

表1　周期四電平互補對的代表及其相關(guān)函數(shù)

4　結(jié)語

本文重點介紹了四電平互補序列，對其通過變換得到的新的序列的性質(zhì)進行了討論并舉例證明，這些變換的方法對于構(gòu)造長度更長的四電平互補序列對以及構(gòu)造四電平互補序列集有著重要作用，最后給出了通過程序搜索的四電平周期互補序列對的代表。

［1］M.J.E.Golay.Complementary Series.IEEE Transactions on Information Theory，1961，7（2）：82～87

［2］M.Darnell，A.H.Kemp.Synthesis of Multilevel Complementary Sequences，Electronic Letters，1988，24，9：1251～1252

［3］S.Z.Budisin，New Multilevel Complementary Pairs of Sequences，Electronic Letters，1990，26，13：881～883

［4］L.Xudong，L.Hao，Synthesis of Four-Level Z-Complementary Sequences，2010 3rd International Congress on Image and Signal Processing（CISP），Yantai，China，2010，10：.4463～4466

［5］李玉博，許成謙，李剛，劉凱.四元零相關(guān)區(qū)周期互補序列集構(gòu)造法［J］.電子與信息學(xué)報，2013，09（35）：2180～2186

Sequence Design；Four-Level Sequence；Periodic Complementary；Aperiodic Complementary

Research on the Four-Level Complementary Sequence

ZHANG Jiao-rong，LI Zhong-yu
（School of Computer Software Engineering，Xihua University，Chengdu 610039）

1007-1423（2015）10-0003-03

10.3969/j.issn.1007-1423.2015.10.001

張嬌蓉（1988-），女，四川巴中人，碩士研究生，研究方向為序列設(shè)計

2015-03-26

2015-04-01

以前對多電平的研究多集中在大字符集上，考慮到小字符集上的多電平序列的應(yīng)用價值，重點研究四電平互補序列，其所指的四電平序列是指序列元素的取值來自于字符集｛1，-1，2，-2｝。

序列設(shè)計；四電平序列；周期互補；非周期互補

李忠玉（1990-），男，四川成都人，碩士研究生，研究方向為嵌入式系統(tǒng)

Previous research on multilevel more focuses on large character set.Considering the application of multilevel sequence based on the small character set is more useful，the research emphasis is four-level complementary sequences.And the elements of four-level sequence refers to the alphabet｛1，-1，2，-2｝.