范葉森，李團(tuán)結(jié)，馬小飛，李正軍

(1.西安空間無(wú)線電技術(shù)研究所，710100西安;2.西安電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，710071西安)

隨著深空探測(cè)、遠(yuǎn)程通訊、地球觀測(cè)等航天事業(yè)的發(fā)展，迫切需要發(fā)展大型空間可展開(kāi)天線［1-4］.在眾多可展開(kāi)天線的結(jié)構(gòu)形式中，環(huán)形桁架索網(wǎng)天線因具有可折疊、質(zhì)徑比小、收縮比高、熱穩(wěn)定性優(yōu)良等特點(diǎn)，成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者和工程技術(shù)人員研究的熱點(diǎn)［5-9］.

環(huán)形桁架空間索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是合理配置索網(wǎng)中各段繩索的預(yù)張力，以使索網(wǎng)各節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定在理想的位置上，這是一個(gè)以“形”找“力”的過(guò)程［10-17］.如果繩索中的張力分布不合理，實(shí)際節(jié)點(diǎn)位置和理想節(jié)點(diǎn)位置就會(huì)有偏差，從而產(chǎn)生設(shè)計(jì)誤差［15-17］.在索網(wǎng)天線中，繩索單元的數(shù)量通常大于自由節(jié)點(diǎn)數(shù)量的3倍，索網(wǎng)天線預(yù)張力求解是一個(gè)多解的問(wèn)題，理論上滿足索網(wǎng)結(jié)構(gòu)平衡的預(yù)張力有無(wú)窮多組.為了保證索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和抗干擾能力，人們提出了同一網(wǎng)面上的最大張力比(最大繩索張力與最小繩索張力之比)盡可能小的要求［9-17］.根據(jù)國(guó)內(nèi)外的研制經(jīng)驗(yàn)［9-20］，合理的一組繩索預(yù)張力必須滿足使結(jié)構(gòu)平衡和最大張力比盡可能小這項(xiàng)要求.

目前，常見(jiàn)的索網(wǎng)結(jié)構(gòu)張力優(yōu)化算法有以下幾種:極小范數(shù)法［17］、平衡矩陣奇異值分解算法［14］以及把有限元法［11］、力密度法［12，20］和智能優(yōu)化算法結(jié)合進(jìn)行繩索預(yù)張力優(yōu)化的綜合算法［15］等.這些算法對(duì)推動(dòng)空間索網(wǎng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)技術(shù)的發(fā)展都起到了非常積極的作用，但這些算法必須通過(guò)大量的迭代運(yùn)算才能得到最終的結(jié)果，并且用這些算法編寫(xiě)程序也較繁瑣，應(yīng)用存在一定難度.在工程上，為了減小收攏體積，副網(wǎng)的焦距通常大于主網(wǎng)的焦距，以縮小整個(gè)桁架的高度［16］.目前，有關(guān)環(huán)形桁架索網(wǎng)天線張力優(yōu)化算法的研究對(duì)象多為主副網(wǎng)對(duì)稱(chēng)的結(jié)構(gòu)［16］.事實(shí)上，對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)是非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的一種特殊形式，研究非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)能夠得到更為一般的結(jié)論.

為提高運(yùn)算效率，方便工程技術(shù)人員應(yīng)用，本文發(fā)展了一種適用于非對(duì)稱(chēng)環(huán)形空間索網(wǎng)天線預(yù)張力設(shè)計(jì)的解析算法.只要給出主網(wǎng)繩索中的平均預(yù)張力，依次使用幾個(gè)線性代數(shù)公式即可得到完全滿足工程要求的繩索預(yù)張力.該算法不僅避免了迭代運(yùn)算，而且在算法原理上不會(huì)產(chǎn)生設(shè)計(jì)誤差，因而具有較高的計(jì)算效率和計(jì)算精度.

1 計(jì)算模型

圖1所示為一個(gè)空間環(huán)形桁架索網(wǎng)天線計(jì)算模型［14，16］，該型天線主要由主網(wǎng)、副網(wǎng)、張力陣和環(huán)形桁架4部分構(gòu)成.主網(wǎng)、副網(wǎng)和張力陣均由芳綸纖維繩索制作，環(huán)形桁架為碳纖維管材.主網(wǎng)和副網(wǎng)為拋物面，在主網(wǎng)上鋪設(shè)輕質(zhì)金屬網(wǎng)，用于反射電磁波.

圖1 環(huán)形桁架索網(wǎng)天線計(jì)算模型

為便于計(jì)算，以環(huán)形桁架上環(huán)面中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立整個(gè)計(jì)算模型的總體坐標(biāo)系o-xyz，z軸與環(huán)形桁架中心線平行．張力陣中的繩索都與z軸平行，主網(wǎng)與副網(wǎng)在xoy平面內(nèi)的投影重合．將與主網(wǎng)節(jié)點(diǎn)i相連(投影重合)的副網(wǎng)節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)i的對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)，并用表示該節(jié)點(diǎn)的編號(hào);用繩索兩端節(jié)點(diǎn)的編號(hào)共同表示繩索的編號(hào)，并將副網(wǎng)繩索稱(chēng)為主網(wǎng)繩索ij的對(duì)應(yīng)繩索．如果分別用(xi，yi，zi)和(xi，yi，zi)表示主網(wǎng)節(jié)點(diǎn)i和副網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，則xi=xi，yi=yi．為便于論述，將與桁架相連的索網(wǎng)節(jié)點(diǎn)作為固定節(jié)點(diǎn)處理，其他索網(wǎng)節(jié)點(diǎn)為自由節(jié)點(diǎn)．圖2為索網(wǎng)結(jié)構(gòu)中任一繩索所受張力的示意圖．

圖2 繩索張力示意圖

圖2中i、j為索網(wǎng)的任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，Tij、Eij、Aij、lij分別為連接i、j兩個(gè)節(jié)點(diǎn)繩索ij的張力、彈性模量、截面積和兩節(jié)點(diǎn)之間張緊狀態(tài)的繩索長(zhǎng)度，且lij滿足:

2 理論推導(dǎo)

2.1 索網(wǎng)預(yù)張力設(shè)計(jì)方法

2.1.1 主網(wǎng)預(yù)張力計(jì)算

為保持平衡，主網(wǎng)各自由節(jié)點(diǎn)在3個(gè)方向所受的合力都必須為零.太空環(huán)境是一個(gè)無(wú)重力環(huán)境，因此在空間索網(wǎng)結(jié)構(gòu)預(yù)張力優(yōu)化的過(guò)程中，無(wú)需考慮重力作用，作用在自由節(jié)點(diǎn)上的力只有繩索張力．因?yàn)橹骶W(wǎng)繩索作用在各自由節(jié)點(diǎn)z向合力可由與該節(jié)點(diǎn)相連的張力陣?yán)K索中的張力去平衡，主網(wǎng)繩索的預(yù)張力只要能夠使各節(jié)點(diǎn)在x向和y向平衡，主網(wǎng)中所有自由節(jié)點(diǎn)就都是穩(wěn)定的．即只需要研究主網(wǎng)在xoy平面內(nèi)投影的平衡問(wèn)題，就能找到使主網(wǎng)平衡的繩索預(yù)張力．自由節(jié)點(diǎn)i在x向和y向的平衡方程為

式中:j為與節(jié)點(diǎn)i相連的第j個(gè)節(jié)點(diǎn)編號(hào)，e為與節(jié)點(diǎn)i相連的主網(wǎng)繩索總數(shù)．則主網(wǎng)所有自由節(jié)點(diǎn)在x向和y向的平衡方程為

式中:U為力平衡方程的系數(shù)矩陣，T為主網(wǎng)繩索預(yù)張力組成的向量，ns為主網(wǎng)中自由節(jié)點(diǎn)，r為主網(wǎng)中繩索單元數(shù)．

基于平面索網(wǎng)結(jié)構(gòu)預(yù)張力優(yōu)化極小范數(shù)法［17］的基本原理，結(jié)合以上分析，可以得到一組主網(wǎng)預(yù)張力的優(yōu)化解為

在用式(4)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，只要根據(jù)工程要求給定主網(wǎng)的平均預(yù)張力，就可以求出一組使主網(wǎng)在x向和y向平衡的預(yù)張力，而z向的平衡通過(guò)合理配置張力陣?yán)K索預(yù)張力實(shí)現(xiàn)．

2.1.2 張力陣預(yù)張力計(jì)算

式(4)是式(3)的一組解，利用式(4)求出的繩索預(yù)張力必然可以使主網(wǎng)中的自由節(jié)點(diǎn)i在x向和y向平衡．為了使主網(wǎng)節(jié)點(diǎn)i處于平衡狀態(tài)，還必須合理配置與節(jié)點(diǎn)i相連的張力陣?yán)K索預(yù)張力 Tii．為了讓節(jié)點(diǎn) i在z向平衡，Tii必須與主網(wǎng)繩索作用在節(jié)點(diǎn)i上的z向合力相等，即

2.1.3 副網(wǎng)預(yù)張力計(jì)算

如果主網(wǎng)與副網(wǎng)是前后對(duì)稱(chēng)的結(jié)構(gòu)，即主網(wǎng)焦距f1與副網(wǎng)焦距f2相等，則副網(wǎng)繩索預(yù)張力與對(duì)應(yīng)位置主網(wǎng)繩索預(yù)張力取相同值就能使副網(wǎng)處于穩(wěn)定狀態(tài)．

如果主網(wǎng)與副網(wǎng)不是前后對(duì)稱(chēng)的結(jié)構(gòu)，即f1≠f2，則副網(wǎng)與主網(wǎng)繩索ij對(duì)應(yīng)位置繩索ij中的預(yù)張力 Tij可取為

式中 lij為主網(wǎng)繩索 ij在副網(wǎng)對(duì)應(yīng)繩索 ij的長(zhǎng)度．

2.2 索網(wǎng)結(jié)構(gòu)平衡論證

由以上論述可知，繩索預(yù)張力必須使索網(wǎng)各節(jié)點(diǎn)都穩(wěn)定在理想位置.式(4)和式(5)求出的繩索預(yù)張力都是根據(jù)主網(wǎng)的靜力平衡方程得到的一組解，由式(4)和式(5)求出的繩索預(yù)張力一定能使主網(wǎng)各節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定在理想位置.如果根據(jù)式(6)求出的副網(wǎng)繩索預(yù)張力能使副網(wǎng)穩(wěn)定在理想位置則整個(gè)索網(wǎng)系統(tǒng)就處于平衡狀態(tài).

不失一般性，取與主網(wǎng)任一自由節(jié)點(diǎn)i對(duì)應(yīng)的副網(wǎng)節(jié)點(diǎn)i進(jìn)行分析．副網(wǎng)中節(jié)點(diǎn)i在x和y向合力為

把 xi=xi，yi=yi和式(6)代入式(7)可得

把式(2)帶入式(8)，可得

由式(9)可知，副網(wǎng)在x和y向是平衡的．

因?yàn)橹骶W(wǎng)和副網(wǎng)都為拋物面，可設(shè)主網(wǎng)的拋物面方程為

副網(wǎng)的拋物面方程為

將式(5)帶入式(13)可得

由式(14)可知，副網(wǎng)作用在節(jié)點(diǎn)i上的z向合力與張力陣?yán)K索作用在該節(jié)點(diǎn)上的力大小相等方向相反，是一對(duì)平衡力，因此該節(jié)點(diǎn)在z向也是平衡的．

綜上可知，使用式(4)～(6)計(jì)算得到的繩索預(yù)張力可使整個(gè)索網(wǎng)系統(tǒng)都處于平衡狀態(tài)，各節(jié)點(diǎn)都穩(wěn)定在理想位置.即只需要根據(jù)設(shè)計(jì)要求，給出一個(gè)主網(wǎng)繩索預(yù)張力的平均值，就可以求出一組使主網(wǎng)平衡的繩索預(yù)張力，然后根據(jù)主網(wǎng)的縱向平衡方程，就可求出張力陣?yán)K索張力;當(dāng)求出一組主網(wǎng)的平衡預(yù)張力后，讓主網(wǎng)繩索中的預(yù)張力分別與特定的系數(shù)相乘，就可以得到一組使副網(wǎng)平衡的預(yù)張力.

2.3 繩索初始長(zhǎng)度計(jì)算

繩索的初始長(zhǎng)度是繩索裁剪的依據(jù)，為繩索在無(wú)應(yīng)力狀態(tài)下的長(zhǎng)度．在求出每段繩索ij的預(yù)張力Tij后，可求出繩索ij的初始長(zhǎng)度為

3 算例分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法的正確性、可行性和有效性，便于將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，下面對(duì)一個(gè)具體算例進(jìn)行分析.

根據(jù)文獻(xiàn)［16-17］，選取圖1所示計(jì)算模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)，天線口徑10 m，前索網(wǎng)拋物面焦距f1=6 m，后索網(wǎng)拋物面焦距f2=40 m.為了用非線性有限元法對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，還需要補(bǔ)充一些結(jié)構(gòu)參數(shù).選取主網(wǎng)繩索預(yù)張力的平均值為20 N，直徑為1 mm，繩索的彈性模量為20 GPa，環(huán)形桁架高度為2.5 m.把采用本文所提算法計(jì)算得到的繩索預(yù)張力轉(zhuǎn)化為繩索初始應(yīng)變后，將預(yù)張力優(yōu)化結(jié)果導(dǎo)入ANSYS軟件進(jìn)行非線性有限元分析，繩索單元為L(zhǎng)ink10，把各節(jié)點(diǎn)的理想位置作為各節(jié)點(diǎn)的初始位置，索網(wǎng)結(jié)構(gòu)有限元模型如圖3所示.

圖3 索網(wǎng)結(jié)構(gòu)有限元模型

對(duì)于具體的工程來(lái)說(shuō)，如果各節(jié)點(diǎn)位移都處在一個(gè)較小的范圍(1×10-6mm)內(nèi)，就可以認(rèn)為整個(gè)索網(wǎng)結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定狀態(tài).經(jīng)過(guò)ANSYS計(jì)算，整個(gè)索網(wǎng)結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)的最大位移為0.662×10-9mm，因此整個(gè)索網(wǎng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，采用本文所提算法得到的繩索預(yù)張力可以使索網(wǎng)各節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定在理想位置.

為進(jìn)一步論述本文所提算法的可行性，把本文算法計(jì)算結(jié)果與其他算法的計(jì)算結(jié)果做一比較.當(dāng)取主網(wǎng)的平均預(yù)張力為20 N時(shí)，采用本文算法計(jì)算得到的主網(wǎng)張力陣和副網(wǎng)的預(yù)張力最大和最小值如表1所示.

表1 預(yù)張力優(yōu)化結(jié)果 N

計(jì)算出全部繩索的預(yù)張力后，即可以計(jì)算不同部位繩索預(yù)張力的最大張力比.文獻(xiàn)［16-17］都對(duì)圖1所示計(jì)算模型的預(yù)張力優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了研究，并且主網(wǎng)和副網(wǎng)的結(jié)構(gòu)尺寸與本文所選取結(jié)構(gòu)尺寸相同.文獻(xiàn)［16-17］及本文算法得到的繩索預(yù)張力的最大張力比如表2所示.

表2 不同算法得到的預(yù)張力的最大張力比

由表2可知，本文算法得到的計(jì)算結(jié)果全面優(yōu)于文獻(xiàn)［17］的計(jì)算結(jié)果;副網(wǎng)預(yù)張力優(yōu)化結(jié)果優(yōu)于文獻(xiàn)［16］方法的計(jì)算結(jié)果，主網(wǎng)預(yù)張力的最大張力比略大于文獻(xiàn)［16］方法的計(jì)算結(jié)果，差值為3.95%.

文獻(xiàn)［14］采用平衡矩陣奇異值分解算法對(duì)一個(gè)前后對(duì)稱(chēng)的索網(wǎng)天線預(yù)張力進(jìn)行了優(yōu)化計(jì)算，主、副網(wǎng)結(jié)構(gòu)尺寸與本文所用計(jì)算模型主網(wǎng)尺寸相同，文獻(xiàn)［14］得到的主網(wǎng)預(yù)張力的最大張力比為1.38;對(duì)于這一模型，用本文算法得到主網(wǎng)預(yù)張力的最大張力比為1.29.本文所提算法得到的計(jì)算結(jié)果優(yōu)于文獻(xiàn)［14］所提算法的計(jì)算結(jié)果.考慮到把力密度法、有限元法和智能優(yōu)化算法(如遺傳算法)結(jié)合進(jìn)行預(yù)張力優(yōu)化的綜合算法會(huì)產(chǎn)生一定的設(shè)計(jì)誤差［10］，本文不再與這些綜合算法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.

綜上，本文的解析算法所得計(jì)算結(jié)果總體上優(yōu)于或接近目前常見(jiàn)的幾種高精度空間索網(wǎng)結(jié)構(gòu)預(yù)張力優(yōu)化算法;同時(shí)，相對(duì)于其他算法，本文提出的解析算法避免了迭代，減小了編程工作量，提高了計(jì)算效率，更便于工程應(yīng)用.采用matlab內(nèi)部計(jì)時(shí)器進(jìn)行計(jì)時(shí)，對(duì)圖1所示的計(jì)算模型進(jìn)行一次預(yù)張力優(yōu)化計(jì)算的時(shí)間為0.0491 s.

4 結(jié) 論

1)提出一種適用于非對(duì)稱(chēng)環(huán)形桁架索網(wǎng)天線預(yù)張力設(shè)計(jì)的解析算法，并給出該算法的計(jì)算步驟，對(duì)于結(jié)構(gòu)確定的環(huán)形桁架索網(wǎng)天線，只需給出主網(wǎng)的平均張力，就可以根據(jù)式(4)～(6)求出一組滿足設(shè)計(jì)要求的繩索預(yù)張力.

2)理論推導(dǎo)、數(shù)值仿真以及與其他算法的比較表明，本文所提算法正確、可行和有效，可用于對(duì)稱(chēng)或非對(duì)稱(chēng)環(huán)形索網(wǎng)天線繩索的預(yù)張力優(yōu)化計(jì)算.

3)算法避免了常規(guī)算法中普遍存在的反復(fù)迭代求解的步驟，理論簡(jiǎn)潔，具有較高的計(jì)算效率，便于工程應(yīng)用.

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