福建省連城冠豸中學(xué) 李永忠

近年來，經(jīng)過對(duì)中考試題的研究，我們發(fā)現(xiàn)動(dòng)態(tài)幾何問題作為一個(gè)命題的熱點(diǎn)在各地中考題中頻繁出現(xiàn)，題型靈活多變，常以點(diǎn)、線、面運(yùn)動(dòng)為載體，探求函數(shù)關(guān)系及存在性等方面的問題，從形式上看，可分為點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)和形動(dòng)三種類型，這類問題主要以幾何圖形為背景，運(yùn)動(dòng)變化為主線，集多個(gè)知識(shí)點(diǎn)為一體，集多種解題思想于一題，這類題綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生能力要求高，它能全面考查學(xué)生的實(shí)踐操作能力、空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力.現(xiàn)以部分中考題為例，分類探析動(dòng)態(tài)幾何問題的命題方法和解題思路.

一、點(diǎn)動(dòng)型

在幾何圖形的背景下，以點(diǎn)動(dòng)為載體的問題主要分為兩類，即單動(dòng)點(diǎn)問題和雙動(dòng)點(diǎn)問題，其中單動(dòng)點(diǎn)問題一般涉及到一次函數(shù)或反比例函數(shù)，雙動(dòng)點(diǎn)問題一般涉及到二次函數(shù)，這兩類都可和存在性問題聯(lián)系；所給問題又常與函數(shù)圖像、最值及存在性問題緊密相關(guān).

例1 如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2cm的正方形，動(dòng)點(diǎn)P在ABCD的邊上沿A→B→C→D的路徑以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，△APD的面積S（cm2）隨時(shí)間 t（s）的變化關(guān)系用圖像表示，正確的是（ ）

簡(jiǎn)析：本題將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中形成的函數(shù)解析式與其相應(yīng)的函數(shù)圖像有機(jī)結(jié)合在一起，二者相輔相成，突出數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)建模在解題中的靈活運(yùn)用.解題的關(guān)鍵是自變量t取值范圍的分類討論及在各個(gè)范圍內(nèi)面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式.

例2 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（3，0），（3，4），動(dòng)點(diǎn) M、N 分別同時(shí)從點(diǎn)O、B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A移動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)N作NP⊥x軸，交AC于點(diǎn)P，連接MP，已知?jiǎng)狱c(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒.

(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ， )(用含x的代數(shù)式表示)；

(2)試求△MPA面積的最大值，并求此時(shí)x的值；

(3)請(qǐng)你探索：當(dāng)x為何值時(shí)，△MPA是一個(gè)等腰三角形？你發(fā)現(xiàn)了幾種情況?寫出你的研究成果.

簡(jiǎn)析：本題是以雙點(diǎn)運(yùn)動(dòng)構(gòu)建的集函數(shù)、最值問題、存在性問題為一體的綜合題.包含著相似三角形、勾股定理和二次函數(shù)等知識(shí)的綜合運(yùn)用.題（1）是關(guān)鍵，為下面問題的解決分散了難點(diǎn)，起到點(diǎn)撥作用；題(2)是以矩形為背景創(chuàng)設(shè)的函數(shù)最值問題，在知識(shí)點(diǎn)上側(cè)重對(duì)二次函數(shù)關(guān)系和最值問題的考查，要求學(xué)生有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)、靈活的解題方法、良好的思維品質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于應(yīng)用上小題的結(jié)論確定點(diǎn)P到OA的距離；題（3）是存在性問題，要求學(xué)生能按照等腰三角形的定義進(jìn)行分類.探究此類問題要在“動(dòng)”中取“靜”，分情況畫出動(dòng)點(diǎn)在特定位置的圖形，并要充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸和分類討論等數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵在于通過相似、勾股定理、等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)按分類的情況列出相應(yīng)的方程給予解決.

二、線動(dòng)型

線動(dòng)形動(dòng)態(tài)幾何問題常見于在坐標(biāo)平面下，通過直線與原定的幾何圖形（常以矩形、梯形為主）的相對(duì)移動(dòng)，從而構(gòu)造出在各種范圍內(nèi)不同圖形而設(shè)置的問題，解決此類問題要善于借助動(dòng)態(tài)思維，應(yīng)用分類的數(shù)學(xué)思想，從變中求不變，抓住靜的瞬間，把動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題解決.

例3 如圖，直線CD：y＝2x+1與邊長(zhǎng)為1的正方形OABC交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D.將直線CD沿x軸正方向平移m個(gè)單位（0

簡(jiǎn)析：由于直線在平移過程中位置的不同，截正方形所得圖形也不同，因此應(yīng)分類討論求解.解題的關(guān)鍵是明確按什么分類標(biāo)準(zhǔn)，分哪幾類，難點(diǎn)在于抓住臨界位置，結(jié)合所給自變量m范圍進(jìn)行精心合理分類，并進(jìn)行分類畫圖，逐個(gè)求解.

例4 如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿折線段BA-AD-DC以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CB方向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q向上作射線QK⊥BC，交折線段CD-DA-AB于點(diǎn)E.點(diǎn)P、Q同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0）.

(1)當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，求t的值.并指出此時(shí)BQ的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AD上時(shí)，t何值能使四邊形PQCD為平行四邊形；

(3)設(shè)射線QK掃過梯形ABCD的面積為S，分別求出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到CD、DA上時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式，（不必寫出t的取值范圍）

簡(jiǎn)析：本題為梯形背景下的動(dòng)態(tài)幾何問題.其中既涉及到雙動(dòng)點(diǎn)問題也涉及到直線運(yùn)動(dòng)問題，題目條件較多，對(duì)學(xué)生的分析問題能力要求較高，尤其是第 (3)小題，解題時(shí)容易受到動(dòng)點(diǎn)P的影響，解決這小題要用到勾股定理、相似三角形及梯形相關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵在于充分利用Rt△DFC這一隱含的已知條件，分類畫出相應(yīng)圖形解決.

三、形動(dòng)型

形動(dòng)類動(dòng)態(tài)幾何問題指在平面內(nèi)兩個(gè)幾何圖形之間的問題，一般情況下，其中一個(gè)位置固定，另一個(gè)圖形相對(duì)于位置固定的圖形作圖形變換（含平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等），通過圖形變換，探求各種不同位置下的函數(shù)關(guān)系問題，此類問題一般以壓軸題為主，探討在連續(xù)變換的條件下隱含著的不變性質(zhì)，此類問題的特點(diǎn)在于常常利用相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、圖形的面積關(guān)系、特殊幾何圖形的幾何性質(zhì)，以方程為紐帶獲得函數(shù)關(guān)系式，從而達(dá)到解題目的.

例5 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=6cm，正方形 DEFG 的邊長(zhǎng)為2cm，其一邊EF在直線BC上，開始時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，讓正方形DEFG沿直線CB向右以每秒1cm的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，最后點(diǎn)E與點(diǎn)B重合.

(1)請(qǐng)直接寫出該正方形運(yùn)動(dòng)6秒時(shí)與△ABC重疊部分面積的大小；

(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(秒)，運(yùn)動(dòng)過程中正方形DEFG與△ABC重疊部分的面積為y(cm2).

①在該正方形運(yùn)動(dòng)6秒后至運(yùn)動(dòng)停止前這段時(shí)間內(nèi)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

②在該正方形整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，

求當(dāng)x為何值時(shí)，y=0.5.

簡(jiǎn)析：本題屬形動(dòng)中平移問題，常見的題型是通過圖形的移動(dòng)求兩個(gè)圖形重疊部分的面積與運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，也常與最值問題、特殊時(shí)刻的面積或時(shí)間的值相關(guān)；解題的關(guān)鍵在于確定圖形移動(dòng)過程的臨界位置，并把所給自變量進(jìn)行合理分類，確定自變量取值范圍.此類問題一般要結(jié)合方程、相似、勾股定理等相關(guān)知識(shí)并進(jìn)行綜合應(yīng)用.

例6 把兩塊全等的含45°角的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，AB=DE.把三角板 ABC 固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)直線DE與射線AB相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q.

(1)如圖①，當(dāng)射線DF經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，易證△APD∽△CDQ.此時(shí)，AP·CQ= .

(2)將三角板DEF由圖①位置繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) α 角（0°<а<90°），問AP·CQ的值是否改變？并說明理由.

(3)在(2)的條件下，設(shè) CQ=x，兩塊三角板重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式.(圖②③供解題用)

簡(jiǎn)析：本題屬形動(dòng)中的旋轉(zhuǎn)類問題，這種用兩個(gè)全等圖形構(gòu)造的問題，用全等或相似的知識(shí)證明圖中的存在的不變的量是其題目的特點(diǎn).如本題的三個(gè)圖形中，均有△APD∽△CDQ，從而AP·CQ的值為定值.題目的設(shè)計(jì)一般由簡(jiǎn)到難，呈“步步高”的趨勢(shì)，解題的關(guān)鍵在于抓住題中的定量，以不動(dòng)制動(dòng)，通過觀察、探索、比較等方法解決.本題第（3）小題難度較大，既要用到前面的結(jié)論，又要用到相似的知識(shí)，解題的關(guān)鍵在于利用點(diǎn)D到兩直角邊距離為隱含條件，通過相似的方法處理，從而解決線段MQ與x的關(guān)系.

通過以上分析，可以清楚的發(fā)現(xiàn)，動(dòng)態(tài)幾何問題的設(shè)置往往帶有操作性、探索性和開放性，問題的解決需要通過操作、實(shí)驗(yàn)、觀察、猜測(cè)、探索、驗(yàn)證等一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)，滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、函數(shù)方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想，內(nèi)容豐富、解法靈活，具有開放性，建議在教學(xué)中，加強(qiáng)對(duì)此類問題的分析，必將對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、空間觀念和幾何變換思想有較大的幫助.