劉鳳艷，劉恒，王宏興

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不確定分數階混沌系統(tǒng)的滑模同步

劉鳳艷，劉恒，王宏興

（淮南師范學院 金融學院，安徽 淮南 232001）

研究了一類帶有系統(tǒng)不確定項和外部干擾的分數階混沌系統(tǒng)的同步問題. 基于Lyapunov穩(wěn)定性理論設計了一個滑模面，并建立同步控制器，仿真實驗表明，本文提出的方法具有較好的魯棒性.

分數階混沌系統(tǒng)；滑模控制；同步控制；Lyapunov穩(wěn)定性分析

分數階微分混沌系統(tǒng)廣泛存在并引起了科研工作者的關注. 如在Chua電路[1]、Chen系統(tǒng)[2]、Liu系統(tǒng)[3]、Duffing系統(tǒng)[4]、Sprott系統(tǒng)[5]中，計算機數據模擬仿真發(fā)現，當方程的階數是非整數時，系統(tǒng)仍表現為混沌行為. 這類混沌系統(tǒng)的同步控制在保密通信和信號處理等方面應用前景廣闊，其同步方法有很多，如自適應同步、線性反饋控制、耦合同步、投影同步、廣義同步、滑?？刂频萚6-10]. 其中，滑?？刂品椒ㄊ亲詣涌刂葡到y(tǒng)設計的常用方法，具有較好的穩(wěn)定性和可靠性，并且能快速簡單地實現主從系統(tǒng)的同步，適用于連續(xù)與離散系統(tǒng)、確定性與不確定性系統(tǒng)、線性與非線性系統(tǒng)等，現已推廣應用至實際工程中.

1 基本知識

兩個經常使用的定義是Riemann-Liouville和Caputo分數階微積分.

定義1[12]68令，則任意函數的階Riemann-Liouville分數階導數為：

定義2[12]79設有階連續(xù)導數，且前階導數可積分，，則的階Caputo分數階微分表達式為：

Caputo分數階微分是研究線性粘滯彈性問題發(fā)展而來的，其微分初值有非常明確的物理意義. 本文利用Caputo分數階微分來研究分數階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和同步控制等. 為方便，本文將簡記為.

分數階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性已經得到了充分的研究，并且得到了該系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件.

引理1[13]如果，則

2 分數階系統(tǒng)的滑模同步

考慮如下的驅動系統(tǒng)（主系統(tǒng)，式（4））和響應系統(tǒng)（從系統(tǒng)，式（5））：

根據滑?？刂频乃枷?，為了使系統(tǒng)實現較好的滑模運動，需分兩步設計：1）設計一個對外界干擾具有較強的魯棒性的滑模面；2）根據滑?？傻竭_條件設計滑?？刂破?，該控制器可使系統(tǒng)從空間任意一點出發(fā)的軌跡都能在有限時間內收斂到滑模面上[14].

定義同步誤差

首先構造滑模面

計算得：

由上述條件得在不含模型不確定項和外部干擾時的等效控制器為：

在考慮外部擾動和不確定因素條件下改進魯棒性，使兩系統(tǒng)同步. 設計控制器為：

定理1 采用式（10）的控制器及滿足式（11）的條件，即可使得主系統(tǒng)（4）和從系統(tǒng)（5）達到同步.

.

以上證明表明，在控制器的作用下，系統(tǒng)誤差滿足滑模條件，能夠使得在滑模面外的點在有限的時間內趨近于或者達到滑模面，使得主系統(tǒng)和響應系統(tǒng)同步.

故控制器就可以寫為：

3 數值仿真

為了驗證所用控制器的有效性，我們引用Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)進行同步仿真：

圖1 Genesio-Tesi系統(tǒng)的混沌圖

而實際的驅動系統(tǒng)是含有模型不確定項和外在因素擾動的，故相應的響應系統(tǒng)如下：

圖2 分數階Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)的同步誤差及控制器曲線

由Genesio-Tesi混沌系統(tǒng)仿真圖形可以看到，控制器作用后，主系統(tǒng)（13）和從動系統(tǒng)（14）的狀態(tài)誤差值經過一段時間后（大概）達到了漸進穩(wěn)定，即實現了兩個系統(tǒng)的同步. 模擬結果顯示，運用此控制器能夠在短暫的時間內使兩個系統(tǒng)達到同步，證明了這種控制器的可行性和有效性.

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[責任編輯：熊玉濤]

Sliding Mode Synchronization of an Uncertain Fractional Order Chaotic System

LIUFeng-yan, LIUHeng, WANGHong-xing

(School of Economics and Finance, Huainan Normal University, Huainan 232001, China)

The synchronization problem for a class of fractional-order chaotic systems with system uncertainties and external disturbances is investigated in this paper. A sliding mode surface and a synchronization controller are established based on the Lyapunov stability theory. Finally, the robustness of the proposed method is showed by simulation results.

sliding mode control (SMC); synchronization; fractional order chaotic system; Lyapunov stability analyses

1006-7302（2015）03-0005-05

O545

A

2014-12-24

國家自然科學基金資助項目（11401243）；淮南師范學院科學研究項目（2014xj45）

劉鳳艷（1982—），女，黑龍江綏化人，助教，碩士，研究領域為分數階微分方程.