黃小琳，曹文勝

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復(fù)雙曲離散理想三角群

黃小琳，曹文勝

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

復(fù)雙曲三角群是由3條復(fù)測地線上的復(fù)反射生成的，本文主要討論復(fù)雙曲理想三角群的離散性. 通過復(fù)測地線相對應(yīng)的極向量定義了角度參數(shù)，該角度不變量可以決定一個三角群，并由該角度不變量給出了復(fù)雙曲空間中理想三角群離散的必要條件.

復(fù)雙曲空間；理想三角群；離散嵌入；角度不變量

我們定義復(fù)雙曲三角群是由復(fù)測地線上的復(fù)反射生成的指數(shù)為2的群，是的一個子群[8]. 用表示一條復(fù)測地線, 定義一個復(fù)雙曲三角群為一個三元組：若兩條復(fù)測地線和相交于點，夾角為，則可以用三元組來表示三角群. 令表示一個抽象的復(fù)三角群：

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本文主要研究復(fù)雙曲理想三角群離散的必要條件. 文獻[4]通過3個邊界點確定了一個cartan角度不變量，利用跡的判斷條件給出了復(fù)雙曲理想三角群離散的必要條件. 本文擬通過復(fù)測地線上的極向量確定一個角度不變量，再利用文獻[9]中給出的等距映射分類的判斷方法得到復(fù)雙曲理想三角群離散的必要條件.

1 預(yù)備知識

關(guān)于復(fù)雙曲空間的相關(guān)知識，可以參考文獻[10-11]. 復(fù)數(shù)的共軛元素，并且記的模為. 定義和分別為的實部和虛部. 若2個復(fù)數(shù)和相似，用表示，則存在一個非零復(fù)數(shù)使得.

根據(jù)文獻[10]，令

利用Hermitian叉乘運算，可得到極向量

根據(jù)文獻[13]，我們可以定義復(fù)雙曲空間中的反射映射. 給定一條復(fù)測地線，若在中存在唯一一個等距變換以復(fù)測地線為不動點，則稱為復(fù)測地線的復(fù)反射. 這個復(fù)反射可以表示為：

下面將對這3種情況進行細分：

Cao和Gongopadhyay 在文獻[9]中給出一個判斷元素類型的代數(shù)方法：記，則任意的可表示為，其中. 作到的一個嵌入：，其中，于是有如下引理.

3 主要結(jié)論

經(jīng)計算，有

根據(jù)引理1得：

經(jīng)計算得：

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4 總結(jié)和推廣

在證明本文的主要結(jié)論時，通過式（3）我們得到了所取3個點的角度不變量，這不同于cartan角度不變量. 由于跡在的作用下是變化的，故運用跡來判斷元素類型的方法在四元數(shù)雙曲空間是行不通的. 文獻[9]給出的判斷元素類型的方法在復(fù)雙曲空間和四元數(shù)雙曲空間都適用，所以本文采用了文獻[9]的判別方法. 下一步希望可以將主要結(jié)論推廣到四元數(shù)雙曲空間.

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[責任編輯：熊玉濤]

The Discreteness of Complex Hyperbolic Ideal Triangle Groups

HUANGXiao-lin, CAOWen-sheng

(School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

Complex hyperbolic triangle groups are generated by three complex reflections of complex geodesics. This paper discusses the discreteness of complex hyperbolic ideal triangle groups. Using the polar vector of a complex geodesic, we construct an angular invariant. Such groups are parameterized by a real invariantof triangles in the complex hyperbolic space. Furthermore, this angular invariant can uniquely determine a-triangle. Using the angular invariant, we obtain a necessary condition for a discrete embedding of a complex hyperbolic ideal triangle group.

complex hyperbolic spaces; ideal triangle groups; discrete embedding; angular invariants

1006-7302（2015）04-0010-06

O151.21

A

2015-06-30

廣東省自然科學(xué)基金資助項目（2015A030313644）

黃小琳（1990—），女，廣東潮州人，在讀碩士生，研究方向為復(fù)分析；曹文勝，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，通信作者，研究方向為復(fù)分析.