賈婷婷，苑呈濤，李立斌

（揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州225002）

SweedlerHopf代數(shù)上Green環(huán)的自同構(gòu)群

賈婷婷，苑呈濤，李立斌*

（揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州225002）

假設(shè)H2是特征為0的代數(shù)閉域k上的Sweedler四維Hopf代數(shù)，并用r（H2）表示H2的Green環(huán)，證明了r（H2）的自同構(gòu)群Aut（r（H2））同構(gòu)于Klein四元群.

自同構(gòu)群；Green環(huán)；SweedlerHopf代數(shù)

環(huán)與代數(shù)的自同構(gòu)是代數(shù)學(xué)領(lǐng)域最經(jīng)典的研究問題之一.對(duì)于給定的環(huán)或代數(shù)，如何刻畫其自同構(gòu)群目前還沒有統(tǒng)一的方法和技巧.Dicks［1］，Yu［2］，Drensky［3］等在多項(xiàng)式代數(shù)的自同構(gòu)，特別是2個(gè)變?cè)亩囗?xiàng)式代數(shù)（環(huán)）方面開展了一些有意義的研究.Alev等人［4］和Artamonov［5］證明了當(dāng)q不是單位根時(shí)量子平面kq（x，y）=k［x，y］/（xy-qyx）以及量子化包絡(luò)代數(shù)Uq（sl（2））的自同構(gòu).朱美玲等［6］得到當(dāng)q不是單位根時(shí)量子群Uq（fm（K））的同構(gòu)與自同構(gòu)分類.近年來，Green環(huán)的研究日漸興起.Chen等［7］確定了Taft代數(shù)Hn（q）的Green環(huán)r（Hn（q））的生成元和生成關(guān)系.Li等［8］得到了廣義TaftHopf代數(shù)Hn，d的Green環(huán)r（Hn，d）的結(jié)構(gòu)及其所有冪零元的表達(dá)式.本文擬利用r（H2）的生成元和生成關(guān)系提出r（H2）的自同構(gòu)群，并證明其自同構(gòu)群Aut（r（H2））同構(gòu)于Klein四元群K4.

1　預(yù)備知識(shí)

設(shè)正整數(shù)n，d≥2且d|n，q是d 次本原單位根.Radford［9］定義了Hopf代數(shù)Hn，d=Hn，d（q）由g和h 生成，且滿足gn=1，hd=0，hg=qgh.Hn，d的余乘法Δ、余單位ε和反極元S 分別表示為

注：dimHn，d=dn，｛gihj|0≤i≤n-1，0≤j≤d-1｝是Hn，d的一組PoincareBirkhoffWitt（PBW）基.當(dāng)d=n時(shí)，Hn=Hn，n為n2-維Taft（Hopf）代數(shù)［10］；因此，將Hn，d稱為廣義TaftHopf代數(shù)［11］.當(dāng)n=2時(shí)，H2為Sweedler四維Hopf代數(shù).

Hopf代數(shù)上的Green環(huán) 設(shè)H是域k上有限維Hopf代數(shù)，有限維H-模V的同構(gòu)類記為［V］. 設(shè)a（H）表示所有［V］生成的自由Abel群，在a（H）上定義乘法［M］［N］=［M?N］，則a（H）是環(huán).該環(huán)模去所有關(guān)系式［M⊕N］=［M］+［N］所得商環(huán)稱為Hopf代數(shù)H的Green環(huán)（表示環(huán)），記作r（H）.

定理1［7］771，［8］280設(shè)Z［y，z］是Z 上關(guān)于變量y和z 的多項(xiàng)式代數(shù).Hn，d的Green環(huán)r（Hn，d）同構(gòu)于Z［y，z］/I，式中I為Z［y，z］的理想且由多項(xiàng)式y(tǒng)n-1，（z-ym-1）Fd（ym，z）生成，其中m=n/d.Fd（ym，z）是廣義Fibonacci多項(xiàng)式，滿足Fs+2（y，z）=zFs+1（y，z）-yFs（y，z），s≥0；F0（y，z）=0；F1（y，z）=1.

推論2 H2的Green環(huán)r（H2）同構(gòu)于Z［y，z］/I，式中I=（y2-1，z2-yz-z）.

2　主要結(jié)果

記Aut（r（H2））表示Sweedler四維Hopf代數(shù)H2的Green環(huán)r（H2）的自同構(gòu)群.對(duì)任意H2的Z-線性變換f，記Af，|Af|分別為線性變換對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣和該系數(shù)矩陣的行列式.

設(shè)ε，σ，τ，φ是r（H2）上的Z-線性映射，其中ε是恒等映射，σ，τ，φ分別由下式確定：

易證ε，σ，τ，φ是r（H2）的自同構(gòu)，且στ=φ，σ2=τ2=φ2=ε，故｛ε，σ，τ，φ｝是Aut（r（H2））的子群且同構(gòu)于Klein四元群K4.

命題3 設(shè)f是r（H2）的自同構(gòu)，則f（y）=y或f（y）=-y.

證明 因f是r（H2）的自同構(gòu)，且y2=1，故（f（y））2=1.

設(shè)f（y）=a1+a2y+a3z+a4yz，ai∈z（1≤i≤4），則（a1+a2y+a3z+a4yz）2=1.有a21+a22+ 2a1a2y+（a23+a24+2a1a3+2a2a4+2a3a4）z+（a23+a24+2a1a4+2a2a3+2a3a4）yz=1，可得方程組

由于a1，a2，a3，a4∈z，f（y）≠1且f（y）≠-1，故只有a1=0，a2=±1，a3=a4=0符合條件，即f（y）=y或f（y）=-y.

根據(jù)英語語言文學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，結(jié)合新《國標(biāo)》和內(nèi)蒙古科技大學(xué)人才培養(yǎng)目標(biāo)及地方區(qū)域?qū)τ⒄Z人才的需求，通過拓展實(shí)習(xí)基地、鼓勵(lì)科研創(chuàng)新和豐富第二課堂等活動(dòng)增強(qiáng)學(xué)生的語言運(yùn)用能力，培養(yǎng)其研究能力和創(chuàng)新能力，提高綜合能力和全面素質(zhì)，以便更好地培養(yǎng)出國際視野寬闊、語言基本功扎實(shí)、創(chuàng)新能力強(qiáng)的高素質(zhì)英語人才。

命題4 設(shè)f是r（H2）的自同構(gòu)，且f（y）=y，則f∈｛ε，σ，τ，φ｝.

證明 由z2=yz+z得

（f（z））2=f（z2）=f（yz+z）=f（yz）+f（z）=f（y）f（z）+f（z）=［f（y）+1］f（z）=（1+y）f（z）. 設(shè)f（z）=b1+b2y+b3z+b4yz，有

情形1 若f（z）=bz-byz，則f（yz）=-bz+byz.

情形2 若f（z）=bz+（1-b）yz，則f（yz）=（1-b）z+byz.

情形4 若f（z）=1+y+bz-（1+b）yz，則f（yz）=1+y-（1+b）z+byz.

綜上可得f∈｛ε，σ，τ，φ｝.

定理5 設(shè)Aut（r（H2））是r（H2）的自同構(gòu)群，則Aut（r（H2））?K4.

證明 設(shè)f是r（H2）的自同構(gòu)，則當(dāng)f（y）=-y 時(shí)，有f（z）=1-y（證明過程同命題4），因f（z）=1-y=f（1+y），故不成立.由命題3，4知f（y）=y且f∈｛ε，σ，τ，φ｝，故Aut（r（H2））=｛ε，σ，τ，φ｝?K4.

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The automorphism group of Green ring over Sweedler Hopf algebra

JIA Tingting，YUAN Chengtao，LI Libin*
（Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China）

Let H2be the Sweedler’s 4-dimensional Hopf algebra over a fixed algebraically closed field k of characteristic 0，where r（H2）denotes the Green ring of H2.In this paper，it is shown that the automorphism group of the Green ring r（H2）is isomorphic to the Klein four group K4.

automorphism group；Green ring；Sweedler’s Hopf algebra

O153.3；O152.2

A

1007-824X（2015）02-0008-04

（責(zé)任編輯 秋 實(shí)）

2014-11-11.*聯(lián)系人，E-mail：lbli@yzu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11471282）；高等學(xué)校博士點(diǎn)基金資助項(xiàng)目（20123250110005）.

賈婷婷，苑呈濤，李立斌.SweedlerHopf代數(shù)上Green環(huán)的自同構(gòu)群［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015，18（2）：8-11.