鐘 濤，魯世平

（南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，南京210044）

一類具有奇性Rayleigh方程周期正解的存在性

鐘 濤，魯世平*

（南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，南京210044）

研究Rayleigh方程x″（t）+f（x′（t））+g（t，x）=0周期正解的存在性問題，其中f：R→R連續(xù)，g：R×（0，+∞）→R連續(xù)，關(guān)于t為T周期，且在x=0處具有奇性，即limx→0+g（x）=+∞.利用Mawhin重合度延拓定理，證明了上述方程至少存在一個(gè)T周期正解.

Rayleigh方程；周期解；存在性；Brouwer度

近年來，人們運(yùn)用Mawhin重合度延拓定理［1-2］，獲得了許多關(guān)于二階非線性微分方程周期正解存在性的結(jié)果［3-10］.例如，Zhang［3］254研究了具有奇性的Liénard方程x″（t）+f（x（t））x′（t）+ g（t，x）=0周期正解的存在性，Wang［4］227進(jìn)一步研究了具有奇性的時(shí)滯Liénard方程x″（t）+ f（x（t））x′（t）+g（t，x（t-τ））=0周期正解的存在性，這兩篇文章均要求g（t，x）=g0（x）+g1（t，x），其中g(shù)0（x）關(guān)于x在x=0處具有奇性，且；Wang等人［5］41也研究了具有時(shí)滯的Rayleigh方程周期正解的存在性；Chu等人［11］利用錐不動(dòng)點(diǎn)定理等研究了具有奇性非線性擾動(dòng)的Hill方程周期正解的存在性和多解性.本文利用Mawhin重合度延拓理論，進(jìn)一步探討具有奇性的Rayleigh方程

周期正解的存在性問題.

1　預(yù)備知識(shí)

令X和Y 為兩個(gè)實(shí)Banach空間，且L：D（L）?X→Y是一個(gè)指標(biāo)為0的Fredholm算子，D（L）表示L 的定義域，這意味著ImL 是Y的閉子空間且dimKerL=condimImL＜+∞；P：X→KerL，Q：Y→Y 是兩個(gè)連續(xù)線性映射，滿足ImP=KerL，KerQ=ImL；因此，可知X=KerL⊕KerP，Y=ImL⊕ImQ.顯然，LP=LD（L）∩KerP→ImL 是可逆的.令Ω?X為一個(gè)開集，如果QN：以及KP（1-Q）N：是緊的，KP表示LP的逆映射，那么連續(xù)映射N：在上L緊.

引理1［4］229令X 和Y 為兩個(gè)實(shí)Banach空間.假設(shè)L：D（L）?X→Y是一個(gè)指標(biāo)為0的Fredholm算子，并且N：在上L緊，其中Ω為X的開子集.如果以下條件滿足：①Lx≠ λNx，對(duì)任意x∈?Ω∩D（L），λ∈（0，1）；②Nx?ImL，對(duì)任意x∈?Ω∩KerL；③Brouwer度 deg｛JQN，Ω∩KerL，0｝≠0，其中J：ImQ→KerL為同構(gòu)映射，那么方程Lx=Nx在上至少有一個(gè)解.

2　主要結(jié)果

定理1 假設(shè)f（0）＜0.如果滿足條件A1：limx→0+inft∈［0，T］g（t，x）=+∞；A2：存在常數(shù)M＞0，對(duì)任意（t，u）∈［0，T］×（M，+∞）時(shí)，恒有g(shù)（t，u）＜-f（0），那么Rayleigh方程（1）至少有一個(gè)T周期正解.可以構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)f，g，使其滿足定理1的所有條件.

例1 定義f（x′（t））=（x′（t））3-1/2，g（t，x）=x-3（1+2-1sint），可得f（0）=-1/2，limx→0+inft∈［0，T］g（t，x）=limx→0+1/（2x3）=+∞，且存在M1=2，當(dāng)u＞M1時(shí)，g（t，u）＜-f（0）= 1/2.應(yīng)用定理1，容易得到方程（1）至少有一個(gè)T 周期正解.

例2 定義f（x′（t））≡-1/2，g（t，x）=x-α，α∈（0，+∞），可得limx→0+inft∈［0，T］g（t，x）= limx→0+x-α=+∞，f（0）=-1/2，且存在M1=1+2-α，當(dāng)u＞M1時(shí)，g（t，u）=u-α＜-f（0）=1/2.應(yīng)用定理1，容易得到方程（1）至少有一個(gè)T周期正解.

從例1和例2易見，本文所討論方程中的奇性項(xiàng)滿足的性質(zhì)與文獻(xiàn)［3-4］不同.例1中具有的奇性項(xiàng)g（t，x）顯含自變量t，而文獻(xiàn)［3-4］中具有的奇性項(xiàng)為g0（x），它要求不顯含自變量t；例2中具有的奇性項(xiàng)g（x）雖然要求不顯含自變量t，但當(dāng)α∈（0，1）時(shí)，這表明文獻(xiàn)［3-4］中的關(guān)鍵條件，則LP為同構(gòu)映射，并且定義不滿足.下面用重合度延拓定理來證明方程（1）周期正解的存在性.

令X和Y為兩個(gè)實(shí)Banach空間，定義為X=｛x∈C1（R，R）：x（t+T）=x（t），?t∈R｝，Y= ｛y∈C（R，R）：y（t+T）=y（t），?t∈R｝，規(guī)定其范數(shù)為‖x‖X=max｛‖x‖∞，‖x′‖∞｝，‖x‖Y=‖y‖∞.

定義線性算子L：D（L）?X→Y，Lx=x″，其中D（L）=｛x∈X：x″∈C（R，R）｝；非線性算子N：X→Y，（Nx）（t）=-f（x′（t））-g（t，x（t））.容易看出KerL=R且，L為一個(gè)指標(biāo)為0的Fredholm算子.

定義連續(xù)映射P：X→KerL，Q：Y→Y，令P（x）=x（0），.顯然，對(duì)任意y∈ImL，

對(duì)任意開集Ω?X，可以證明KP（1-Q）N和QN在為上相對(duì)緊，故N在上L緊.這表明方程（1）等價(jià)于算子方程Lx=Nx，應(yīng)用引理1，將該算子方程嵌入到含參數(shù)λ∈（0，1）的方程族Lx=λNx，此式等價(jià)于方程

首先，證明存在獨(dú)立于λ的正實(shí)數(shù)M0，M1和M2，使得對(duì)方程（2）任意的T 周期正解x（t），恒有M0≤x（t）≤M1，?t∈［0，T］，并且‖x′‖∞≤M2.事實(shí)上，假設(shè)x（t）為方程（2）的任意T 周期正解，并且

可以得到

根據(jù)（2）和（4）式，得g（t0，x（t0））=λ-1x″（t0）-f（0）≤-f（0）.由條件A2知存在常數(shù)M0＞0，使得g（t，u）＜-f（0），?（t，u）∈［0，T］×（M0，+∞），由此可得

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Existence of periodic solutions for a kind of Rayleigh equation

ZHONG Tao，LU Shiping*
（Sch of Math&Stat，Nanjing Univ of Inf Sci&Technol，Nanjing 210044，China）

By using Mawhin’s continuation theorem，this paper studies the existence of positive periodic solutions for the Rayleigh equation：x″（t）+f（x′（t））+g（t，x）=0，where f：R→R，g：R×（0，+∞）→R are continuous，g（t，x）is T-periodic function with t，and with singularity at x=0，i.e.limx→0+g（x）=+∞.It is proven that the above equation has at least one positive T-periodic solution.

Rayleigh equation；periodic solutions；existence；Brouwer degree

O175.14

A

1007-824X（2015）02-0018-04

（責(zé)任編輯 秋 實(shí)）

2014-06-13.*聯(lián)系人，E-mail：lushiping88@163.com.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11271197）；南京信息工程大學(xué)基金資助項(xiàng)目（20110387）.

鐘濤，魯世平.一類具有奇性Rayleigh方程周期正解的存在性［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015，18（2）：18-21.