袁康正,朱偉東,陳 磊,薛 雷,戚文剛

（1.浙江大學(xué)機械工程學(xué)系,浙江杭州310027；2.上海飛機制造有限公司,上海200436）

機器人末端位移傳感器的安裝位置標(biāo)定方法

袁康正1,朱偉東1,陳 磊2,薛 雷2,戚文剛2

（1.浙江大學(xué)機械工程學(xué)系,浙江杭州310027；2.上海飛機制造有限公司,上海200436）

針對機器人末端激光位移傳感器位置的標(biāo)定問題,基于平面和球面模板擬合的標(biāo)定模型,設(shè)計一種同時標(biāo)定位移傳感器方向和位置參數(shù)的標(biāo)定方法.以機器人離線編程與機器人運動學(xué)仿真為基礎(chǔ),對2種標(biāo)定算法進(jìn)行系統(tǒng)的仿真對比實驗.分析影響2種標(biāo)定模板標(biāo)定精度的影響因素,如傳感器測量誤差、測量長度以及標(biāo)定參數(shù)數(shù)量.引入可觀測指數(shù)來評價機器人運動空間中測量姿態(tài)的標(biāo)定效率.通過優(yōu)化算法計算得出一組近似最優(yōu)測量姿態(tài)以及最佳評價指數(shù),減少非建模誤差以及測量誤差對標(biāo)定結(jié)果的影響,有效地提高算法的抵抗噪聲能力、標(biāo)定精度以及標(biāo)定效率.實驗結(jié)果表明,使用該標(biāo)定方法標(biāo)定后的位置參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為0.37 mm,方向參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為0.35°.

機器人TCP標(biāo)定；激光位移傳感器；最小二乘法；可觀測指數(shù)

將激光位移傳感器、激光掃描儀、照相機等非接觸式測量設(shè)備安裝于機器人末端法蘭盤上,構(gòu)成對環(huán)境具有一定感知功能的智能機器人是機器人的主要發(fā)展趨勢［1］.對于在法蘭上裝有傳感器設(shè)備的機器人,傳感器相對于法蘭盤的位置和方向需要事先標(biāo)定,這一過程稱為機器人刀尖點標(biāo)定（tool center point,TCP）［2］.另外,隨著機器人仿真和離線編程技術(shù)在工業(yè)中的應(yīng)用日益增加［3］,為了更加有效地使用機器人離線編程,需要進(jìn)行準(zhǔn)確的機器人標(biāo)定和機器人TCP標(biāo)定.

國內(nèi)外對機器人TCP標(biāo)定問題的研究已經(jīng)取得較大進(jìn)展,但主要是用于解決機器人與工業(yè)相機、3D掃描儀之間的標(biāo)定問題.Shiu等［4］通過四元代數(shù)法和線性最小二乘法來分步求解相機位姿的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣.Li等［5-6］以標(biāo)準(zhǔn)球作為標(biāo)定對象,并通過機器人的平移運動和旋轉(zhuǎn)運動分步求解掃描儀與機器人之間的旋轉(zhuǎn)和平移矩陣.而針對機器人末端執(zhí)行器夾持激光位移傳感器的TCP標(biāo)定問題,目前采取的方法主要是通過求解機器人在特定幾何約束（點、線、面）下的閉環(huán)運動鏈方程［2］.王勝華等［1］采用多次改變機器人位姿對同一點進(jìn)行測量,利用運動學(xué)方程和最小二乘原理求出機器人末端坐標(biāo)系與傳感器坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣.此標(biāo)定方法很難保證每次測量點都在同一點上,且標(biāo)定結(jié)果受實驗環(huán)境、實驗操作影響較大.吳聊等［7］采用基于平面模板的標(biāo)定方法,在不同位姿下對平面進(jìn)行測量,利用非線性最小二乘法擬合平面求解標(biāo)定問題.該方法雖然能夠快速標(biāo)定出結(jié)果,但是參數(shù)分布對結(jié)果影響較大,因此標(biāo)定精度受實驗操作影響.Zhu等［8］提出了基于球面擬合的標(biāo)定算法,標(biāo)定精度較高.但該方法首先需要機器人視覺伺服控制系統(tǒng)輔助標(biāo)定位移傳感器方向參數(shù),不具有通用性.Awei等［9］通過設(shè)計圓柱面和錐面復(fù)合標(biāo)定對象,提出了一種串聯(lián)坐標(biāo)測量機標(biāo)定以及TCP標(biāo)定新算法.盧科青等［10］通過設(shè)計一種方向可調(diào)的標(biāo)定面,在三坐標(biāo)測量機平臺上對點激光測頭激光束方向進(jìn)行了標(biāo)定.這2種方法雖然能滿足標(biāo)定精度的要求,但標(biāo)定過程往往需要將位移傳感器的方向和位置參數(shù)分步標(biāo)定,標(biāo)定過程較為繁瑣,而且需要復(fù)雜的標(biāo)定對象或者精密的輔助測量設(shè)備,標(biāo)定成本高.同時,在位移傳感器標(biāo)定過程中,機器人的測量姿態(tài)和測量條件對標(biāo)定結(jié)果的影響很大,而國內(nèi)外學(xué)者在姿態(tài)選擇問題上研究較少,使得標(biāo)定算法的移植性較差.

為了實現(xiàn)TCP標(biāo)定算法的快速性和通用性,本文在非線性最小二乘優(yōu)化算法的基礎(chǔ)上,建立了基于平面和球面擬合的標(biāo)定理論模型,對位移傳感器的方向和位置參數(shù)進(jìn)行同時標(biāo)定,簡化了標(biāo)定步驟.通過引入可觀測指數(shù)和優(yōu)化算法得出最優(yōu)測量姿態(tài)以及最佳評價指數(shù),提高了算法的抗干擾能力、標(biāo)定精度和標(biāo)定效率.

1 標(biāo)定數(shù)學(xué)模型

1.1 平面標(biāo)定模型

圖1 平面標(biāo)定模型Fig.1 Calibration model based on plane

測量點在法蘭坐標(biāo)系XtYtZtOt下的坐標(biāo)x可以表示為

式中：x＝［x,y,z］T,x0＝［x0,y0,z0］T,n＝［nx,ny,nz］T.

測量點在機器人base坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為pw（xw,yw,zw）.由法蘭盤和機器人base坐標(biāo)系之間齊次變換關(guān)系可得

由于測量點在固定板平面上,因此pw滿足平面方程：

聯(lián)立方程（2）、（3）可得位移傳感器測量點到平面的距離為

操作機器人到不同的位姿進(jìn)行測量,獲取m組測量結(jié)果,可得di＝fi（x0,y0,z0,α,β,a,b,c）（i＝1,2,….,m）,其中（cosα＝nx,cosβ＝ny）.即可以通過非線性最小二乘法求解待標(biāo)定參數(shù),問題轉(zhuǎn)化為求解如下最小二乘問題：

1.2 球面標(biāo)定模型

與平面擬合標(biāo)定模型相似,球面擬合標(biāo)定模型如圖2所示.測量點pw（xw,yw,zw）在已知半徑R的固定球面上,滿足空間球面方程：

聯(lián)立方程（2）、（6）可得到測量點到球心pc（xc,yc, zc）的距離為

圖2 球面標(biāo)定模型Fig.2 Calibration model based on sphere

通過控制機器人使激光位移傳感器在不同姿態(tài)下測量球面上m個點,可以得到m個形式如式（7）的等式.則位移傳感器標(biāo)定問題即為求解非線性最小二乘問題：

2 仿真分析

針對建立的平面和球面標(biāo)定模型,在三維設(shè)計軟件CATIA中建立相應(yīng)的三維模型并在擬合面上選取若干個離散測量點.通過離線編程前置處理軟件提取測量點信息并導(dǎo)入到DELMIA軟件中的離線編程模塊進(jìn)行機器人測量仿真,獲取機器人法蘭位姿矩陣T以及測量長度l數(shù)據(jù),仿真實驗平臺如圖3所示.在測量值l上添加均勻分布噪聲來近似模擬機器人運動誤差、傳感器測量誤差、擬合面誤差等因素對測量值的影響.最后,非線性最小二乘問題可通過數(shù)值分析軟件MATLAB中Levenberg-Marquardt算法求解［11］.

2.1 2種標(biāo)定算法標(biāo)定結(jié)果對比

分別在l上添加隨機測量誤差±Δε,對2種標(biāo)定算法進(jìn)行多次優(yōu)化實驗.2種標(biāo)定算法標(biāo)定的傳感器參考點位置絕對誤差Δd和激光束方向角度絕對誤差Δθ與Δε的關(guān)系如圖4（a）和（b）所示.

圖3 仿真分析實驗平臺Fig.3 Experimental platform for simulation analysis

圖4 不同噪聲情況下2種標(biāo)定算法的標(biāo)定結(jié)果對比Fig.4 Comparison of calibration results of two calibration algorithms with varied noise

在Δε＝±0.2 mm的噪聲等級下,分別對平面和球面標(biāo)定算法隨機進(jìn)行2 000次優(yōu)化計算,位置絕對誤差Δd和方向角度絕對誤差Δθ的直方圖如圖5所示,其中f為頻率數(shù).從仿真結(jié)果圖4和5可知,球面算法與平面算法相比,球面算法的標(biāo)定精度高、收斂性好,且誤差越大效果越明顯.

2.2 參數(shù)影響仿真分析

測量長度：針對球面標(biāo)定算法,分析了位移傳感器測量值分布情況對標(biāo)定結(jié)果的影響.在傳感器測量位置、方向相同,噪聲大小相同,測量長度l均值ˉl分別為20、40、60、80、100 mm條件下進(jìn)行優(yōu)化計算.5種情況下的標(biāo)定結(jié)果如圖6所示.

圖5 2種算法的優(yōu)化結(jié)果Fig.5 Optimization results of two calibration algorlthms

標(biāo)定參數(shù)個數(shù)：針對球面標(biāo)定算法,位移傳感器需標(biāo)定的參數(shù)個數(shù)n對位置標(biāo)定精度影響較大.在所有參數(shù)都未知的情況下,此時標(biāo)定參數(shù)個數(shù)n＝8（傳感器位置、方向、球心位置）.若球心在機器人base下坐標(biāo)已知,則需要標(biāo)定參數(shù)個數(shù)n＝5.若傳感器方向參數(shù)事先通過其他方法標(biāo)定,此時需要標(biāo)定參數(shù)個數(shù)n＝6.在不同標(biāo)定參數(shù)個數(shù)下,球面算法的位置標(biāo)定誤差和噪聲誤差的關(guān)系如圖7所示.

圖6 不同測量長度下的標(biāo)定誤差Fig.6 Calibration errors with different measuring distances

2.3 姿態(tài)仿真優(yōu)化

針對圖2球面標(biāo)定理論模型,可得

式中：ω為待標(biāo)定參數(shù)（x,y,z,α,β,xc,yc,zc）,ε為傳感器測量誤差、機器人運動誤差等引起的測量點到球心距離誤差.將上式對T進(jìn)行微分可得

式中：ΔF為函數(shù)誤差,J為雅克比辨識矩陣,ΔT為機器人姿態(tài)矩陣誤差,對J進(jìn)行奇異值分解可得

圖7 參數(shù)個數(shù)對標(biāo)定誤差的影響Fig.7 Influence of the number of optimized parameters on calibration error

式中：U、V為正交矩陣,Σ為對角矩陣,對角元素為σi（i＝1,…,m）,其中σ1≥σ2…≥σm≥0.

可觀測指數(shù)［12］基于雅克比辨識矩陣的奇異值分解,量化在特定位姿下參數(shù)辨識的可觀測性.指數(shù)數(shù)值越大,則位置誤差對于參數(shù)誤差的貢獻(xiàn)越大,即未建模誤差和測量誤差的影響越?。?3］.

5種可觀測指數(shù)定義如下：

最優(yōu)姿態(tài)優(yōu)化算法流程如下：

1）在機器人測量運動空間內(nèi)隨機選取足夠多的N組測量姿態(tài)作為候選姿態(tài).

2）在候選姿態(tài)中選取n（n＜N）組姿態(tài)作為初始標(biāo)定姿態(tài)集合,用Ω表示.

3）從余下的（N－n）組候選姿態(tài)中,選取一個姿態(tài)ξ＋增加到Ω,使得增加后的標(biāo)定姿態(tài)Ω＋1的可觀測指數(shù)與Ω相比增加最大.

4）從Ω＋1中去掉一個姿態(tài)ξ－,使得去掉后的標(biāo)定姿態(tài)Ω可觀測指數(shù)減小最少.

5）重復(fù)步驟3和4直到ξ＋與ξ－相等.

由仿真模型獲取N＝2 000組候選姿態(tài),分別應(yīng)用5種可觀測指數(shù)對候選姿態(tài)進(jìn)行優(yōu)化計算.5種可觀測指數(shù)優(yōu)化前后對比如圖8所示.

圖8 5種可觀測指數(shù)優(yōu)化結(jié)果Fig.8 Optimization results of five OIs

2.4 仿真結(jié)論

由仿真實驗結(jié)果可以得出以下結(jié)論：球面標(biāo)定算法比平面算法收斂性好,且標(biāo)定精度高.在實驗條件允許情況下,方向參數(shù)通過輔助設(shè)備單獨標(biāo)定,能夠有效地提高球面算法的標(biāo)定精度,而球心坐標(biāo)參數(shù)在已知的情況下對傳感器位置標(biāo)定精度的提高不大.在測量姿態(tài)相同的情況下,傳感器的測距越小位置參數(shù)標(biāo)定精度越高.5種可觀測指數(shù)優(yōu)化姿態(tài)在一定程度上均能提高球面標(biāo)定算法的穩(wěn)定性和精度,其中O5指數(shù)優(yōu)化效果最好.

3 機器人制孔系統(tǒng)測量實驗

圖9 實驗平臺Fig.9 Experiment platform

為了檢驗球面標(biāo)定算法的有效性,進(jìn)行了基于球面擬合的位移傳感器標(biāo)定實驗,實驗平臺如圖9所示.實驗中采用KUKA KR360-2型號六自由度機器人,重復(fù)定位精度±0.08 mm.機器人法蘭末端執(zhí)行器上安裝由Baumer公司生產(chǎn)的ch-8501型號激光位移傳感器,最大測距120 mm,分辨率0.01 mm,線性誤差0.08 mm.固定的標(biāo)定球采用直徑為30 mm的標(biāo)準(zhǔn)球,其球面圓度0.08μm.

通過改變機器人姿態(tài)使激光位移傳感器對標(biāo)定球面進(jìn)行30次測量,并記錄相關(guān)數(shù)據(jù).將待標(biāo)定參數(shù)的粗略測量值作為迭代計算的初始值,通過Matlab優(yōu)化工具箱中l(wèi)sqnonlin函數(shù),求解球面標(biāo)定模型中的非線性最小二乘問題.采用球面算法求解參數(shù)的優(yōu)化結(jié)果如表1所示.位移傳感器位置參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為0.37 mm,接近傳統(tǒng)視覺測量方法標(biāo)定精度（標(biāo)準(zhǔn)差為0.2 mm）［8］.

表1 基于球面標(biāo)定模型激光位移傳感器標(biāo)定結(jié)果Tab.1 Calibration results of laser displacement sensor with calibration model based on sphere

4 結(jié) 語

本文詳細(xì)分析了基于平面和球面擬合的位移傳感器標(biāo)定理論模型,并通過仿真分析對比得出球面模板方法在收斂性和標(biāo)定精度上要優(yōu)于平面模板方法.為了避免使用額外的附加測量設(shè)備,本文同時標(biāo)定位移傳感器方向和位置參數(shù),簡化了標(biāo)定流程.為了減小傳感器測量誤差和測量姿態(tài)對球面標(biāo)定算法的精度、穩(wěn)定性和標(biāo)定效率的影響,本文引入了可觀測指數(shù)對標(biāo)定姿態(tài)進(jìn)行評價,進(jìn)而獲得最優(yōu)姿態(tài).實驗結(jié)果顯示,采用本文的標(biāo)定方法,激光位移傳感器的標(biāo)定結(jié)果位置參數(shù)最大標(biāo)準(zhǔn)差為0.37 mm,方向參數(shù)最大標(biāo)準(zhǔn)差0.35°,接近傳統(tǒng)視覺測量方法標(biāo)定精度.

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Approach for calibrating position of displacement sensor mounted on robot end-effector

YUAN Kang-zheng1,ZHU Wei-dong1,CHEN Lei2,XUE Lei2,QI Wen-gang2
（1.Department of Mechanical Engineering,Zhejiang University,Hangzhou 310027,China；2.Shanghai Aircraft Manufacturing Limited Company,Shanghai 200436,China）

In order to calibrate the position and orientation of laser displacement sensors mounted on a robot,an approach was devised for calibrating the position and orientation parameters simultaneously,based on the model of plane and sphere fitting.A contrast experiment was proposed and conducted systematically based on robot off-line programming and robot kinematics simulation.Effects on the accuracy of the two calibration algorithm were also analyzed such as the measurement error,length of sensor and the number of calibration parameters.Observability indices were introduced to evaluate the efficiency of parameter identification with the measurement configurations in robot motion space.Optimal measurement configurations and best evaluation index were calculated using on optimization algorithm.The effects of the nonmodeling error and measurement error are reduced.The stability,accuracy and efficiency of the algorithm are improved.Experiment results of our improved calibration algorithm indicate that the standard deviation of position is 0.37 mm,the standard deviation of orientation is 0.35°.

robot TCP calibration；laser displacement sensor；least square method；observability index

10.3785／j.issn.1008-973X.2015.05.003

TP 242

A

1008-973X（2015）05-0829-06

2014-05-20. 浙江大學(xué)學(xué)報（工學(xué)版）網(wǎng)址：www.journals.zju.edu.cn／eng

國家自然科學(xué)基金資助項目（51205352）.

袁康正（1990－）,男,碩士,從事機器人精密制孔、視覺測量等研究.E-mail：441090246＠163.com.

朱偉東,男,副教授.E-mail：wdzhu＠zju.edu.cn.

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