孫　鳳　張　明　孫興偉　金俊杰　李　清　李殿起　王　可

沈陽工業(yè)大學(xué),沈陽,110870

三自由度等剛度永磁彈簧的力學(xué)特性研究

孫鳳張明孫興偉金俊杰李清李殿起王可

沈陽工業(yè)大學(xué),沈陽,110870

設(shè)計(jì)出一種三自由度等剛度永磁彈簧,并根據(jù)單組永磁體結(jié)構(gòu)，采用虛位移法建立其徑向磁力解析模型，利用有限元方法對(duì)徑向磁力進(jìn)行了仿真計(jì)算。仿真結(jié)果和模型計(jì)算結(jié)果基本吻合。解析計(jì)算與仿真結(jié)果表明，該永磁彈簧的徑向磁力隨著徑向位移的增加而增大,隨著軸向位移的增大而減小。在永磁彈簧平動(dòng)平面內(nèi),兩個(gè)移動(dòng)方向的剛度系數(shù)和垂直于平面中心的回轉(zhuǎn)剛度系數(shù)均相等。在徑向位移較小時(shí)，徑向位移與彈簧剛度系數(shù)近似成線性關(guān)系。

等剛度;永磁彈簧;徑向磁力;有限元法

0　引言

金屬彈簧在機(jī)械行業(yè)廣泛應(yīng)用,但它存在產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲的缺點(diǎn)。利用永磁體間磁力相互作用的永磁彈簧，具有無機(jī)械接觸、無磨損、功耗低、壽命長(zhǎng)、噪聲小等優(yōu)點(diǎn)，可以取代金屬彈簧用于快速機(jī)械響應(yīng)機(jī)構(gòu)，特別適合于真空、高速和超潔凈等特殊的應(yīng)用場(chǎng)合[1-4]。

高海波等[5]將磁彈簧減------------------------

震器(沒有嚴(yán)格的密封要求)應(yīng)用于行星輪式月球車的減震系統(tǒng),很好地適應(yīng)了高度真空的月球表面環(huán)境,克服了現(xiàn)有以液體或氣體為工作介質(zhì)的減震器的工作局限性。

文獻(xiàn)[3-4]采用有限元法對(duì)稀土永磁彈簧的磁場(chǎng)分布進(jìn)行了數(shù)值模擬分析,并就彈簧永磁體的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)彈簧特性的影響作了詳細(xì)的研究,得出彈簧的力學(xué)特性與永磁體的形狀和尺寸的關(guān)系。文獻(xiàn)[6-7]分析了軸向混合磁軸承磁路以及各部分磁導(dǎo)，結(jié)合稀土永磁體的工作特性，用虛位移法得出了軸向混合磁軸承的徑向承載力解析數(shù)學(xué)模型。文獻(xiàn)[8-10]分析了雙磁環(huán)和多磁環(huán)磁軸承氣隙磁導(dǎo)及磁通，得出了磁環(huán)間徑向磁力解析數(shù)學(xué)模型。

本文在分析了環(huán)形永磁體和柱形永磁體及氣隙磁導(dǎo)的基礎(chǔ)上，提出了一種徑向?yàn)楣ぷ鞣较虻娜杂啥鹊葎偠却艔椈伞８鶕?jù)磁彈簧的結(jié)構(gòu)，結(jié)合環(huán)形永磁體和柱形永磁體的工作特性，用虛位移法建立三自由度等剛度磁彈簧徑向磁力解析數(shù)學(xué)模型，計(jì)算徑向磁力，分析了徑向磁力與軸向位移和徑向位移的關(guān)系，計(jì)算彈簧剛度系數(shù)，分析剛度系數(shù)和軸向位移的關(guān)系，并通過有限元方法對(duì)解析計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

1　結(jié)構(gòu)及工作原理

筆者設(shè)計(jì)了圖1a所示的三自由度等剛度磁彈簧裝置。該裝置由上頂蓋、下底蓋、3個(gè)環(huán)形永磁體、3個(gè)柱形永磁體和3個(gè)平面球軸承組成。1個(gè)環(huán)形永磁體和1個(gè)柱形永磁體為一組，同軸布置，且相同磁級(jí)相對(duì)。3組永磁體與3個(gè)平面球軸承相互間隔、均勻布置在以裝置軸線為中心的同心圓上。將平面球軸承去掉一側(cè)軸承端蓋，安裝于下底蓋，使軸承鋼球直接與上頂蓋接觸，支撐上下兩端蓋，形成永磁彈簧間軸向的均勻氣隙。該彈簧達(dá)到穩(wěn)定支撐和三自由度等剛度的最小組數(shù)為3。

如圖1b所示,每組永磁體的柱形永磁體和環(huán)形永磁體在豎直方向上表現(xiàn)為吸引力，在水平方向上表現(xiàn)為斥力(上頂蓋在軸向方向上不會(huì)發(fā)生竄動(dòng))。此種布置的永磁彈簧,在平動(dòng)平面內(nèi),可以沿著x方向、y方向移動(dòng)和繞c軸轉(zhuǎn)動(dòng)。結(jié)構(gòu)中,環(huán)形永磁體的內(nèi)半徑大于柱形永磁體半徑,柱形永磁體從與環(huán)形永磁體同軸位置沿平面內(nèi)任意方向向環(huán)形永磁體靠近時(shí),在變化量相等的情況下,兩者之間沿平面內(nèi)任意方向上產(chǎn)生的斥力均相等。因此,在圖1a所示由3組永磁體組成的永磁彈簧結(jié)構(gòu)中，沿彈簧的x方向、y方向移動(dòng)和繞c軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),柱形永磁體和環(huán)形永磁體的相對(duì)氣隙變化量相等時(shí)受到的回復(fù)斥力相等,即沿x方向、y方向移動(dòng)和繞c軸的回轉(zhuǎn)的剛度系數(shù)數(shù)值相等。該永磁彈簧的總回復(fù)力為n倍的單組永磁體斥力,總轉(zhuǎn)矩為n倍的單組永磁體回復(fù)斥力與單組永磁體中軸線和磁彈簧中軸線間距離之積。永磁彈簧的回復(fù)力隨著x方向、y方向和c向的位移量增大而增大。最大位移量為環(huán)形永磁體的內(nèi)半徑與柱形永磁體半徑的差。

(a)三維結(jié)構(gòu)圖

(b)剖視結(jié)構(gòu)圖圖1　三自由度等剛度磁彈簧結(jié)構(gòu)

2　數(shù)學(xué)模型

為了對(duì)該永磁彈簧各方面的特性進(jìn)行深入分析。首先建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。由于該系統(tǒng)由3組結(jié)構(gòu)完全相同的柱狀永磁體和環(huán)形永磁體構(gòu)成。故先建立一組永磁體的模型,如圖2所示。

圖2　一組永磁體的結(jié)構(gòu)參數(shù)

2.1磁導(dǎo)計(jì)算

參照半徑為r、極間距為z的異性圓柱磁極之間的磁導(dǎo)公式：

G=μ0(πr2/z+1.632r)

(1)

當(dāng)柱形永磁體和環(huán)形永磁體徑向位移為e,軸向距離為z時(shí),中軸線右側(cè)磁力線長(zhǎng)度gR和中軸線左側(cè)磁力線長(zhǎng)度gL可以表示為

(2)

(3)

式中,R2、R1、L1分別為環(huán)形永磁體的外徑、內(nèi)徑和厚度;r、L2分別為柱形永磁體的半徑和厚度。

環(huán)形磁極氣隙磁導(dǎo)Gg1和柱形磁極氣隙磁導(dǎo)Gg2為

(4)

Gg2=μ0(πr2/g+1.632r)

(5)

可得環(huán)形磁極與柱形磁極氣隙磁導(dǎo)Gg：

Gg=αGg1+βGg2

(6)

根據(jù)磁導(dǎo)定義式G=μS/L,得到環(huán)形永磁體和柱形永磁體的磁導(dǎo):

(7)

G2=πμrr2/L2

(8)

式中,μr為釹鐵硼永磁材料磁導(dǎo)率。

根據(jù)折算到磁極兩端的圓柱形永磁鐵漏磁導(dǎo)公式可認(rèn)為,環(huán)形永磁鐵的漏磁導(dǎo)等于半徑為R2的圓柱形永磁體漏磁導(dǎo)與半徑為R1圓柱形永磁體漏磁導(dǎo)的和，永磁柱漏磁導(dǎo)等于半徑為r的圓柱磁體漏磁導(dǎo)，故有

(9)

GL2≈πμrr2/L2

(10)

半徑為r,間距為z,厚度為L(zhǎng)的兩圓柱體側(cè)面磁導(dǎo)公式為

Gc=2μ0Lr/(1+g)

式中,g為磁力線長(zhǎng)度。

因此環(huán)形永磁體內(nèi)外兩個(gè)側(cè)面磁導(dǎo)Gc1和Gc2為

(11)

(12)

(13)

式中,Ga為磁路總磁導(dǎo)。

將式(6)～式(12)代入式(13)可得：

(14)

將式(2)、式(3)代入式(14)得到中軸線右側(cè)總磁導(dǎo)GaR和中軸線左側(cè)總磁導(dǎo)GaL。

根據(jù)式(2)、式(3)和式(6)得到氣隙導(dǎo)磁的徑向偏導(dǎo)：

(15)

2.2磁環(huán)和磁柱間的磁通

對(duì)于永磁體和氣隙組成的磁路,根據(jù)磁路基爾霍夫第一定律和第二定律有

(16)

式中,Bm、Hm分別為永磁體工作點(diǎn)的磁通密度和磁場(chǎng)強(qiáng)度;Bg、Hg分別為氣隙處的磁通密度和磁場(chǎng)強(qiáng)度;Sg、Sm分別為氣隙處和永磁體中磁路的橫截面積;Lg、Lm分別為氣隙處磁路長(zhǎng)度和永磁體在磁化方向的有效長(zhǎng)度;Kf、Kr分別為磁路的漏磁系數(shù)和磁阻系數(shù)。

永磁材料為燒結(jié)釹鐵硼,其中保磁力Hc,剩磁Br為已知參數(shù),其退磁曲線近似直線(圖3):

Bm=Br(1-Hm/Hc)

(17)

圖3　NdFeB永磁體退磁曲線和磁路氣隙負(fù)載曲線

由式(16)、式(17)得到

(18)

(19)

(20)

由式(19)可得磁彈簧中軸線右側(cè)總磁通ΦgR和中軸線左側(cè)總磁通ΦgL:

(21)

2.3徑向磁力數(shù)學(xué)模型

依據(jù)磁場(chǎng)理論,磁鐵氣隙磁能W=Φ2/(2G)。由虛位移法得到徑向磁力：

(22)

F=FR-FL

(23)

由上式可知,若z和e一定,則F一定。在平動(dòng)平面內(nèi)，沿任意方向移動(dòng)的位移和沿垂直于平面中心回轉(zhuǎn)的位移相等時(shí)，受到的總斥力是相等的，即等剛度。

3　力學(xué)特性分析

永磁體材料為NdFeBN35H,環(huán)形永磁體外徑R2=20.5mm，內(nèi)徑R1=14.5mm,柱形永磁體半徑r=9mm,環(huán)形永磁鐵長(zhǎng)度L1=4mm,柱形永磁鐵長(zhǎng)度L2=14mm,永磁體保磁力Hc=-880 000A/m,空氣磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7H/m,軸向位移0

3.1工作區(qū)域判定

為了判定本永磁彈簧的工作區(qū)域，利用電磁場(chǎng)有限元仿真軟件，對(duì)該永磁彈簧一組永磁體進(jìn)行了仿真分析。

環(huán)形永磁體和柱形永磁體徑向、軸向的相對(duì)位置不同時(shí),徑向磁力變化如圖4所示，圖中，軸向位移為0的位置是柱形永磁體下底面與環(huán)形永磁體上頂面重合的位置。由仿真結(jié)果可知，隨著柱形永磁體和環(huán)形永磁體的軸向位置從負(fù)變到正并逐漸增加，徑向磁力也由負(fù)變到正，達(dá)到峰值后，緩慢下降。磁彈簧工作磁力應(yīng)為徑向磁力為正值的情況,在考慮磁彈簧過載時(shí)，柱形永磁體和環(huán)形永磁體不發(fā)生碰撞,磁彈簧工作區(qū)域選為軸向位移z大于0的位置。

圖4　徑向磁力與軸向位移關(guān)系曲線

3.2徑向磁力與徑向和軸向位移關(guān)系的計(jì)算分析

由式(23)可知,徑向磁力是徑向位移e和軸向位移z的復(fù)雜函數(shù),不能直觀看出其力學(xué)特性,將永磁彈的參數(shù)代入數(shù)學(xué)模型，計(jì)算分析其力學(xué)特性。當(dāng)軸向位移z從0.5 mm變化到5.5 mm,徑向位移從0變化到5 mm時(shí),徑向磁力F的計(jì)算結(jié)果如圖5所示。由圖5可知，徑向磁力F隨著軸向位移z增大而減小。這是由于氣隙隨軸向位移z增大而增大，磁場(chǎng)強(qiáng)度隨之減小。由曲線斜率可知,徑向剛度隨軸向位移z增大而減小,徑向磁力隨著徑向位移e的增大而增大。

圖5　徑向磁力與軸向、徑向位移的關(guān)系

3.3力學(xué)特性的有限元驗(yàn)證

對(duì)比分析永磁彈簧一組永磁體的徑向磁力和徑向位移關(guān)系的有限元仿真結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)果。仿真與理論計(jì)算中采用的永磁體為釹鐵硼N35H,軸向間距z為0.5 mm。由圖6可知,徑向磁力F隨永磁體徑向位移的增加而增大。徑向位移較小時(shí),徑向磁力與徑向位移近似成線性關(guān)系,且彈簧剛度約為0.99 N/mm。從圖6還可看出,理論計(jì)算與仿真結(jié)果之間存在誤差，其原因在于數(shù)學(xué)模型沒有考慮其他部分磁阻對(duì)磁路影響。徑向磁力的理論計(jì)算與仿真分析結(jié)果的平均誤差在0.201 N以內(nèi)，最大誤差為0.399 N。

圖7表示徑向位移e為2 mm時(shí),徑向磁力F

圖6　徑向磁力與徑向位移關(guān)系

圖7　徑向磁力與軸向位移關(guān)系

隨著環(huán)形永磁體和柱形永磁體間軸向距離z變化情況。從結(jié)果可以看出,永磁體間軸向間距逐漸增大時(shí)，徑向磁力F逐漸減小,其剛度系數(shù)隨之減小。

4　結(jié)語

本文提出了一種三自由度等剛度永磁彈簧。磁彈簧的等剛度條件是每組永磁體的環(huán)形永磁鐵和柱形永磁鐵同軸,相同磁級(jí)相對(duì)布置且軸向存在一定氣隙；三組永磁體沿磁彈簧中心對(duì)稱分布。永磁彈簧在平面內(nèi)的工作區(qū)域是磁彈簧形變量不超過環(huán)形磁鐵與柱形磁鐵的半徑差的區(qū)域。對(duì)永磁彈簧徑向斥力進(jìn)行了理論計(jì)算，并利用有限元軟件進(jìn)行了分析計(jì)算。計(jì)算結(jié)果表明：在平動(dòng)平面內(nèi)，徑向位移一定的情況下，此磁彈簧在3個(gè)自由度上的剛度相等。徑向磁力隨著徑向位移的增大而減小，在徑向位移較小時(shí)，徑向磁力與徑向位移近似成線性關(guān)系。徑向磁力和剛度系數(shù)隨軸向位移的增大而減小。

[1]Xi Qian Kun,Zeng Pei,Min Ru Wei,et al.Novel Magnetic Spring and Magnetic Bearing[J].IEEE Transactions on Magnetics,2003,39(1):559-561.

[2]Robertson W,Cazzolato B,Zander A.A Multipole Array Magnetic Spring[J].IEEE Transactions on Magnetics,2005,41(10):3826-3828.

[3]楊紅,趙韓.稀土永磁彈簧的力學(xué)特性研究[J].農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào),2003,34(1):111-117.

Yang Hong,Zhao Han.Study on Dynamic Characters of Rare Earth Permanent Magnetic Spring[J].Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery,2003,34(1):111-117.

[4]劉雪箐,白志紅,熊光煜.永磁彈簧的設(shè)計(jì)與計(jì)算分析[J].太原工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2004,35(3):349-351.

Liu Xuejing,Bai Zhihong,Xiong Guangyu.Calculation of Permanent Magnets Spring[J].Journal of Taiyuan University of Technology,2004,35(3):349-351.

[5]高海波,鄧宗全,胡明,等.行星輪式月球車移動(dòng)系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2005,41(12):156-161.

Gao Haibo,Deng Zongquan,Hu Ming,et al.Key Technology of Moving System of Lunar Rover with Planetary Wheel[J].Chinese Journal of Mechanical

Engineering,2005,41(12):156-161.

[6]張?jiān)迄i,劉淑琴,李紅偉,等.基于磁路分析的軸向混合磁軸承徑向承載力解析計(jì)算[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào),2012,27(5):137-142.

Zhang Yunpeng,Liu Shuqin,Li Hongwei,et al.Calculation of Radial Electromagnetic Force of Axial Hybrid Magnetic Bearing Based on Magnetic Circuit Analysis[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2012,27(5):137-142.

[7]孫立軍,張濤,趙兵.永磁磁軸承數(shù)學(xué)模型的研究[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2005,41(4):69-74.

Sun Lijun,Zhang Tao,Zhao Bing.Study of Mathematical Model of Permanent Magnet Bearings[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2004,41(4):69-74.

[8]湯雙清,蔡敢為,楊家軍,等.一種新型被動(dòng)磁懸浮軸承的研究[J].中國(guó)機(jī)械工程,2002,13(4):2134-2136.

Tang Shuangqing,Cai Ganwei,Yang Jiajun,et al. Study on a New-type Passive Magnetic Bearing[J].China Mechanical Engineering,2002,13(4):2134-2136.

[9]田錄林，李言，安源，等. 軸向放置軸向磁化的雙環(huán)永磁軸承徑向磁力研究[J]. 中國(guó)機(jī)械工程,2007,18(24)： 2926-2929.

Tian Lulin,Li Yan,An Yuan,et al.Research on the Radial Magnetic Force of Axial Placement and Axial Magnetization Bi-annular-shaped PMB[J].China Mechanical Engineering,2007,18(24):2926-2929.

[10]田錄林，李言，田琦，等. 軸向放置的軸向磁化多環(huán)永磁軸承徑向磁力研究[J]. 中國(guó)機(jī)械工程,2008,19(10):1163-1166.

Tian Lulin,Li Yan,Tian Qi,et al.Research on the Radial Magnetic Force of Axial Placement and Axial Magnetization Multiannul-shaped Permanent Magnetic Bearings[J].China Mechanical Engineering,2008,19(10):1163-1166.

(編輯張洋)

Study on Mechanics Characteristics of 3-DOF Same-stiffness Permanent Magnetic Spring

Sun FengZhang MingSun XingweiJin JunjieLi QingLi DianqiWang Ke

Shenyang University of Technology,Shenyang,110870

This paper presented a 3-DOF same stiffness permanent magnetic spring.According to the structure,the mathematical model of permanent magnetic spring was set by virtual displacement method.The model of the spring’s radial magnetic force was calculated by the mathematical model and FEM software,the calculated results are basically in agreement with the simulation results.The results show that the radial magnetic force of the permanent magnet spring increases with increasing the radial displacement,decreases with increasing the axial displacement. In translational plane,the stiffness coefficients of two moving directions and the rotational direction are equal. When the radial displacement is small, the relationship between the radial displacement and spring stiffness coefficient is approximately linear.

same-stiffness;permanent magnetic spring;radial magnetic force;finite-element method(FEM)

TH135DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.08.003

2014-05-07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51105257);遼寧省高等學(xué)校杰出青年學(xué)者成長(zhǎng)計(jì)劃資助項(xiàng)目(LQJ2014012)

孫鳳,男,1978年生。沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授、博士。主要研究方向?yàn)榇艖腋〖夹g(shù)與數(shù)控技術(shù)。發(fā)表論文50余篇。張明,男,1988年生。沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。孫興偉,女,1970年生。沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士。金俊杰,女,1982年生。沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。李清,男,1990年生。沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。李殿起,男,1968年生。沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授、博士。王可,男,1957年生。沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。