田　穎　張建華　張明路

河北工業(yè)大學(xué),天津,300130

垂直平面三桿柔性機(jī)械手動(dòng)力學(xué)建模及仿真

田穎張建華張明路

河北工業(yè)大學(xué),天津,300130

為解決柔性機(jī)械手動(dòng)力學(xué)建模常用的有限元等方法導(dǎo)致模型精度不高的問題,將柔性機(jī)械手視為連續(xù)整體,用矢量法建立了機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)模型。對(duì)比了矢量法和FEM法建立的動(dòng)力學(xué)模型以及理想狀態(tài)下機(jī)械手剛體動(dòng)力學(xué)模型的仿真結(jié)果。對(duì)比結(jié)果表明，用矢量法建立的柔性機(jī)械手動(dòng)力學(xué)模型是可行的,精度也較高。

柔性機(jī)械手;矢量法;動(dòng)力學(xué);Lagrange方程

0　引言

機(jī)械手柔性對(duì)其末端運(yùn)動(dòng)軌跡有一定影響,并且機(jī)械手桿件越長(zhǎng),柔性變形越不可忽略。因此對(duì)輕質(zhì)柔性機(jī)械手的研究成為機(jī)器人領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)。對(duì)于由輕質(zhì)桿件組成的機(jī)械臂來說,常用的動(dòng)力學(xué)研究方式分為三種:質(zhì)量集中法、假定模態(tài)法(AMM)與有限元法(FEM)。

質(zhì)量集中法是建立柔性機(jī)械手動(dòng)力學(xué)模型的最簡(jiǎn)單方法，但建立的模型精度較低。AMM與FEM的核心思想是將桿件離散為有限個(gè)剛性體組成的系統(tǒng)，使用這兩種方法建立的動(dòng)力學(xué)模型其精度較質(zhì)量集中法有所提高,但應(yīng)用范圍較小[1]。Priyanka等[2]使用AMM進(jìn)行了單桿機(jī)械手動(dòng)力學(xué)分析，用浮動(dòng)切線坐標(biāo)系定義桿件上的點(diǎn)位置，并給出了仿真結(jié)果。但該方法僅適合于簡(jiǎn)單機(jī)械手系統(tǒng)，多用于單桿勻質(zhì)機(jī)械手。桿件數(shù)目增加或是桿件截面不規(guī)則時(shí)，確定模態(tài)難度很大，AMM不再適用。FEM與AMM相比，其適用范圍有所擴(kuò)大。Shin等[3]闡述了應(yīng)用FEM的兩桿機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)建模過程,但未能進(jìn)行仿真。Wen[4]研究了三桿及三桿以上機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)分析，給出了仿真結(jié)果。FEM的缺點(diǎn)在于它的精度依然不高,而且該方法適宜在平面運(yùn)動(dòng)的機(jī)械手,不能滿足空間機(jī)械手的建模要求。Vicente等[5]應(yīng)用矢量法對(duì)單桿機(jī)械手進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)一步建立了控制模型，驗(yàn)證了該方法的可行性。Masoud等[6]從建立數(shù)學(xué)模型的角度證明了矢量法應(yīng)用于三桿以上的多桿機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)分析的可行性，但是僅針對(duì)多桿機(jī)械手中的某一桿件進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn),沒有得出以多桿機(jī)械手作為整體的機(jī)械手系統(tǒng)仿真結(jié)果。本文針對(duì)以上情況,以垂直平面三桿機(jī)械手為例,討論如何應(yīng)用矢量法建立柔性機(jī)械手動(dòng)力學(xué)模型，并通過仿真對(duì)比驗(yàn)證分析柔性機(jī)械手運(yùn)動(dòng)情況。

1　垂直平面三桿柔性機(jī)械手的簡(jiǎn)化

本文以勻質(zhì)剛性鉸接的三桿機(jī)械手為例,對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)化。由于機(jī)械手運(yùn)動(dòng)過程中的縱向變形和扭曲變形遠(yuǎn)小于橫向變形，可以認(rèn)為桿件只有橫向變形，且變形前后桿件兩端直線距離保持不變。圖1所示為垂直平面三桿機(jī)械手簡(jiǎn)化模型。其中,θ1、θ2、θ3分別為理想剛性臂與水平地面的夾角;M1、M2、M3分別為第一關(guān)節(jié)、第二關(guān)節(jié)和末端的負(fù)載;L1、L2、L3分別為三連桿的長(zhǎng)度;τ1、τ2、τ3為機(jī)械臂的轉(zhuǎn)矩。從圖1可以看出，機(jī)械手的獨(dú)立坐標(biāo)變量應(yīng)當(dāng)包括θ1、θ2、θ3和各桿件的橫向變形。

圖1　三桿機(jī)械手簡(jiǎn)化模型

2　矢量法的機(jī)械手動(dòng)力學(xué)模型

2.1柔性機(jī)械手能量計(jì)算

FEM和AMM法對(duì)柔性機(jī)械手的動(dòng)能和勢(shì)能的處理如下:先將柔性構(gòu)件離散為有限個(gè)剛性構(gòu)件，再將剛性構(gòu)件的能量分別計(jì)算累積求和,因此在離散過程中會(huì)產(chǎn)生一定的誤差。矢量法將桿件視為柔性整體，從源頭上避免了這一問題的出現(xiàn)。

則桿1的動(dòng)能為

(1)

圖2　桿1彈性變量示意圖

圖3中桿2任一點(diǎn)矢量表示為

則桿2的動(dòng)能為

(2)

圖3　桿2彈性變量示意圖

依此類推,桿3的任一點(diǎn)矢量為

桿3的動(dòng)能為

(3)

式(1)～式(3)中,單位向量的運(yùn)算關(guān)系滿足：

k,m=1,2,3且k≠m

則柔性機(jī)械手系統(tǒng)的動(dòng)能之和為

Ek=Ek1+Ek2+Ek3

(4)

第i(i=1,2,3)桿的彈性勢(shì)能為

(5)

vi=φi1(xi)qi1+φi2(xi)qi2

φij(xi)=sin(jπxi/Li)i=1,2,3;j=1,2

式中,EiIi為第i桿的彎曲剛度;vi為第i桿上任一點(diǎn)的橫向變形;φi j(xi)為振型函數(shù),下標(biāo)i、j分別表示第i桿和j階彈性模量;qi1、qi2分別為一階和二階彈性模態(tài)的時(shí)間函數(shù),與桿件轉(zhuǎn)動(dòng)角度一起,組成了矢量法中的獨(dú)立坐標(biāo)變量。

基于以上彈性勢(shì)能公式的推導(dǎo)，可得三桿機(jī)械手彈性勢(shì)能之和：

Ep=Ep1+Ep2+Ep3

(6)

平面三桿柔性機(jī)械手的重力勢(shì)能簡(jiǎn)化為每桿重力等效在變形后的桿件中點(diǎn)產(chǎn)生的重力勢(shì)能。則桿1的重力勢(shì)能為

W1=(m1|r1(L1/2)|+M1L1)gsinθ1

(7)

桿2的重力勢(shì)能為

W2=m2gsin(θ1+θ2)|r2(L2/2)|+

M2g(L1sinθ1+L2sinθ2)

(8)

桿3的重力勢(shì)能為

W3=m3gsin(θ1+θ2+θ3)|r3||x3=L3/2+

M3g(L1sinθ1+L2sinθ2+L3sinθ3)

(9)

三桿機(jī)械手系統(tǒng)的重力勢(shì)能為

W=W1+W2+W3

(10)

由于柔性機(jī)械臂是一個(gè)非保守系統(tǒng)，其能量公式可應(yīng)用于Lagrange方程：

(11)

L=Ek-(Ep+W)

機(jī)械手系統(tǒng)獨(dú)立坐標(biāo)變量為

在不考慮重力的影響下,系統(tǒng)所作的虛功為

(12)

通過式(12)可以求得系統(tǒng)廣義力Qn。

2.2三桿機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程的符號(hào)推導(dǎo)

式(11)經(jīng)過整理后，可得柔性機(jī)械手的顯式動(dòng)力學(xué)方程：

(13)

L1L2(M2+2m3+M3)cos(θ1-θ2)-

m2L1L2(2q21+q22)sin(θ1-θ2)/π

m51=m15=-2ρ2A2l1cos(θ1-θ2)

m71=m17=(m3L3+M3)L1L3cos(θ1-θ3)-

m3L1L3(2q31+q32)sin(θ1-θ3)/π

m81=m18=-2m3L1L3cos(θ1-θ3)/π

m91=m19=-m3L1L3cos(θ1-θ3)/π

m22=m33=m1L1

m47=m74=L2L3(m3L3+M3)cos(θ2-θ3)-

m3L2L3(2q31-q32)sin(θ2-θ3)/π

m48=m84=-2m3L2L3cos(θ2-θ3)/π

m49=m94=-m3L2L3cos(θ2-θ3)/π

m55=m66=m2L2

m88=m99=m3L3

3　剛性機(jī)械手動(dòng)力學(xué)建模

垂直平面三桿剛性機(jī)械手自由度為3,其廣義坐標(biāo)變量

qg=[θ1gθ2gθ3g]T=[q1gq2gq3g]T

剛性三桿機(jī)械手動(dòng)能為

(14)

三桿剛性機(jī)械手勢(shì)能為

Wg=(m3/2+M3)gL3sinθ3g+

(m2/2+m3+M2+M3)gL2sinθ2g+

(m1/2+m2+m3+M1+M2+M3)gL1sinθ1g

(15)

由于剛性機(jī)械臂是一個(gè)非保守系統(tǒng),其能量公式可應(yīng)用于Lagrange方程：

(16)

Lg=Ekg-Wg

整理式(16)可得三桿剛性機(jī)械手的顯式動(dòng)力學(xué)方程：

(17)

mg33=m3L3

4　仿真結(jié)果比較與分析

通過比較矢量法、FEM法建立的柔性機(jī)械手動(dòng)力學(xué)模型和剛性機(jī)械手動(dòng)力學(xué)模型仿真結(jié)果,可以判斷矢量法的可行性并定性分析矢量法建模的精度。

表1所示為柔性三桿機(jī)械手的仿真參數(shù),除彎曲剛度EiIi外,其余仿真參數(shù)也應(yīng)用于剛性三桿機(jī)械手的仿真。

表1　三桿機(jī)械手參數(shù)值

圖4　柔性與剛性機(jī)械手末端運(yùn)動(dòng)軌跡

圖4所示為使用矢量法、FEM法的柔性機(jī)械手末端運(yùn)動(dòng)軌跡仿真結(jié)果與理想剛性機(jī)械手末端運(yùn)動(dòng)軌跡仿真結(jié)果。由圖4可以看出,在表1所示條件下,機(jī)械手的柔性變形較大,不可忽略。矢量法和FEM法的軌跡較為吻合,證明矢量法可行。

圖5　桿3的轉(zhuǎn)動(dòng)角度仿真結(jié)果

圖6　桿3的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度仿真結(jié)果

由圖7、圖8可以看出，柔性機(jī)械手的橫向變形較小，最大值小于0.4mm,這符合機(jī)械手實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況。對(duì)于剛度較大的桿件材料和結(jié)構(gòu)，其彈性變形較小，通常情況下可以忽略，但對(duì)于高精度要求下的機(jī)械手作業(yè)，該變形不能忽略。

圖7　柔性機(jī)械手桿3的一階橫向變形

圖8　柔性機(jī)械手桿3的二階橫向變形

5　結(jié)語

用矢量法建立的垂直平面三桿柔性機(jī)械手系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,具有計(jì)算精度高、計(jì)算復(fù)雜程度低的特點(diǎn)。剛性機(jī)械手和柔性機(jī)械手的仿真結(jié)果對(duì)比證明了該模型的可行性。柔性機(jī)械手的仿真結(jié)果還表明,對(duì)于剛度較小、精度要求較高的柔性機(jī)械手,其柔性變形已不能忽略,機(jī)械手系統(tǒng)如果繼續(xù)作為理想剛性機(jī)械手處理會(huì)引起較大誤差。

但矢量法也有其缺點(diǎn),由第二節(jié)建立動(dòng)力學(xué)模型的過程可以看出,大量的符號(hào)運(yùn)算提高了計(jì)算精度,但導(dǎo)致數(shù)據(jù)的計(jì)算較為繁瑣，如何在提高模型精度的基礎(chǔ)上進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算過程，是矢量法建模今后的研究方向。

[1]Santosha K D,Peter E.Dynamic Analysis of Flexible Manipulators,a Literature Review[J].Mechanism and Machine Theory,2006,41(7):749-777.

[2]Priyanka M,Qiao Sun,Yoshikazu Kanamiya.A Pseudo-rigid Model for the Inverse Dynamics of an Euler Beam[J].Applied Mathematical Modelling,2011,35(8)：3854-3865.

[3]Shin Ho-Cheol,Choi Seung-Bok.Position Control of a Two-link Flexible Manipulator Featuring Piezoelectric Actuators and Sensors[J].Mechatronics,2001,11(6):707-729.

[4]Wen Chen.Dynamic Modeling of Multi-link Flexible Robotic Manipulators[J].Computers and Structures,2001,79(2)：183-195.

[5]Vicente F,Emiliano P,Iván M D.Passivity-based Control of Single-link Flexible Manipulators Using a Linear Strain Feedback[J].Mechanism and Machine Theory,2014,71:191-208.

[6]Masoud M,Mostafa G,Mohammad J S.A Nonlinear High Gain Observer Based Input-output Control of Flexible Link Manipulator[J].Mechanics Research Communications,2012,45:34-41.

(編輯張洋)

Dynamics Modeling and Simulation of Three-link Flexible Manipulator on Vertical Plane

Tian YingZhang JianhuaZhang Minglu

Hebei University of Technology,Tianjin,300130

For solving problem of lower accuracy induced by common methods in flexible manipulator dynamics modeling,such as FEM etc.,flexible manipulator was considered as a continuous whole and its dynamics model was built by vector method.Simulation results of dynamics model of flexible manipulator under vector method and FEM,and dynamic model of ideal rigid manipulators were compared to prove that vector method is effective and more accurate.

flexible manipulator;vector method;dynamics;Lagrange equation

2013-09-09

TH113.22DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.08.005

田穎，女，1987年生。河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。主要研究方向?yàn)闄C(jī)器人動(dòng)力學(xué)及控制。張明路，男，1964年生。河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。張建華，男，1979年生。河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授。