梁　青　王　珍　潘金文　彭　程

中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，合肥，230026

基于加速度反饋的單輸入時(shí)不變線性離散系統(tǒng)極點(diǎn)配置

梁青王珍潘金文彭程

中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，合肥，230026

討論了單輸入時(shí)不變線性離散系統(tǒng)用加速度信號(hào)進(jìn)行極點(diǎn)配置的可行性。首先, 給出了用狀態(tài)差分反饋進(jìn)行極點(diǎn)配置的定理和算法; 其次, 用3個(gè)仿真實(shí)例驗(yàn)證了該算法的有效性；最后, 在隔振器實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上驗(yàn)證了用加速度信號(hào)進(jìn)行反饋控制的可行性。

線性離散系統(tǒng); 加速度反饋; 狀態(tài)微分反饋; 狀態(tài)差分反饋; 極點(diǎn)配置

0　引言

極點(diǎn)配置是線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)最重要的工具之一[1-4]。用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置是用狀態(tài)空間描述的線性系統(tǒng)(連續(xù)或離散)控制器設(shè)計(jì)的有效手段,學(xué)者們對(duì)此已經(jīng)做了大量研究工作[1-2,4-7]，在這些研究中,假設(shè)系統(tǒng)的全部狀態(tài)可測(cè),即全狀態(tài)反饋。對(duì)于狀態(tài)不能直接可測(cè)的系統(tǒng),通過構(gòu)建全維或降維漸近狀態(tài)觀測(cè)器得到系統(tǒng)狀態(tài)的觀測(cè)值,并用觀測(cè)狀態(tài)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋,增加系統(tǒng)的階次。對(duì)于線性連續(xù)系統(tǒng),一種特殊的狀態(tài)反饋——狀態(tài)微分反饋近年來受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注,其實(shí)質(zhì)是利用加速度信號(hào)實(shí)現(xiàn)反饋,這方面已有較多的研究成果[8-15]。文獻(xiàn)[12-13]分別討論了單輸入和多輸入線性系統(tǒng)極點(diǎn)配置問題的求解算法。文獻(xiàn)[14]給出了用狀態(tài)微分反饋以及輸出微分反饋設(shè)計(jì)LQR(linear quadratic regulator)的方法。而對(duì)于線性離散系統(tǒng),利用加速信號(hào)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的研究還未見報(bào)道。

在經(jīng)典控制理論中,微分可以增加系統(tǒng)阻尼,為實(shí)現(xiàn)預(yù)期控制目標(biāo)，微分反饋有時(shí)是必不可少的[8],而研究狀態(tài)微分反饋的另一個(gè)動(dòng)機(jī)來源于減振機(jī)械系統(tǒng)[9-11],其主要的傳感器是加速度計(jì)。由加速度可以很容易地在可接受的誤差范圍內(nèi)獲得速度信號(hào),但由于加速度計(jì)的測(cè)量誤差及測(cè)量噪聲干擾,由加速度獲得位移信號(hào)會(huì)存在較大的誤差，因而可用于反饋的信號(hào)只有加速度和速度信號(hào),它們分別對(duì)應(yīng)于機(jī)械系統(tǒng)速度和位移的微分,即狀態(tài)微分。在離散系統(tǒng)框架下,加速度和速度對(duì)應(yīng)于狀態(tài)的差分。

本文主要研究單輸入時(shí)不變線性離散系統(tǒng)的加速度反饋極點(diǎn)配置問題。首先對(duì)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，使用線性變換將一般線性離散系統(tǒng)變換為具有能控標(biāo)準(zhǔn)型的系統(tǒng)；其次討論了能控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)狀態(tài)差分反饋極點(diǎn)配置問題以及一般線性離散系統(tǒng)狀態(tài)差分反饋極點(diǎn)配置問題的解,給出了狀態(tài)差分反饋極點(diǎn)配置定理。再次,給出了減振器系統(tǒng)、球桿系統(tǒng)以及雙積分系統(tǒng)的狀態(tài)差分反饋控制仿真結(jié)果,驗(yàn)證了所提算法的正確性和有效性。最后,在實(shí)際隔振器實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上驗(yàn)證了用加速度信號(hào)進(jìn)行反饋控制的可行性。

1　加速度反饋極點(diǎn)配置問題的描述與能控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)

1.1問題描述

考慮能控的單輸入時(shí)不變線性離散系統(tǒng)為

x(k+1)=Gx(k)+hu(k)x(0)=x0

(1)

其中，x(k)是狀態(tài)變量,x(k)∈Rn×1;u(k)是控制量,u(k)∈R1×1;G是系統(tǒng)矩陣,G∈Rn×n;h是控制增益向量,h∈Rn×1。用加速度的采樣值實(shí)現(xiàn)反饋控制，即

u(k)=-ksa(k)

(2)

其中，ks是加速度反饋增益向量,ks∈R1×n;a(k)為加速度的采樣值以及計(jì)算得到的速度采樣值,a(k)∈Rn×1。為研究其極點(diǎn)配置問題,有

u(k)=-ks(x(k+1)-x(k))/Ts=

-k(x(k+1)-x(k))

(3)

其中,Ts是采樣周期;k是差分反饋增益,k=(k0,k1,…,kn-1),并有ks=kTs。則極點(diǎn)配置問題變成狀態(tài)差分增益向量k的求解問題。系統(tǒng)矩陣G的特征多項(xiàng)式為

det(zI-G)=zn+g0+g1z+g2z2+…+gn-1zn-1

(4)

其中,z為變換算子，I為單位矩陣,I∈Rn×n。定義g(g∈R1×n)為系統(tǒng)矩陣G的特征多項(xiàng)式系數(shù)，g=[g0g1…gn-1]。設(shè)計(jì)的目標(biāo)是通過式(3)的狀態(tài)差分反饋將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到期望的位置上，以穩(wěn)定系統(tǒng)并使系統(tǒng)具有期望的動(dòng)態(tài)特性。此時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)為

x(k+1)=Gx(k)-hk(x(k+1)-x(k))

(5)

通過選擇k使矩陣I+hk滿秩,則閉環(huán)系統(tǒng)可以寫成

x(k+1)=(I+hk)-1(G+hk)x(k)

(6)

閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為

det(zI-Gc)=det(zI-(I+hk)-1(G+hk))

(7)

Gc=(I+hk)-1(G+hk)

其中,Gc是閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣。設(shè)計(jì)的問題就是通過尋找狀態(tài)差分反饋增益向量k，使得閉環(huán)系統(tǒng)(式(6))的極點(diǎn)在期望的位置上。

1.2能控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)

采用文獻(xiàn)[12]的算法,對(duì)原系統(tǒng)(式(1))進(jìn)行非奇異狀態(tài)變換:

(8)

其中,z(k)是變換后的狀態(tài)向量,z(k)∈Rn×1;Q-1是變換矩陣,Q-1∈Rn×n,設(shè)變換后的系統(tǒng)矩陣為Gf,控制增益向量為hf,則有

(9)

變換矩陣的選取如下:

Q-1=[qq Gq G2…q Gn-1]T

(10)

(11)

(12)

其中,向量q∈R1×n；en是單位向量；Mc是原系統(tǒng)(式(1))的能控性矩陣。

變換后的系統(tǒng)是下友型能控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)：

z(k+1)=Gfz(k)+hfu(k)

(13)

該下友型能控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)能夠簡(jiǎn)化基于狀態(tài)差分反饋控制的極點(diǎn)配置問題的求解過程。

2　極點(diǎn)配置問題的解

2.1下友型能控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)問題的解

系統(tǒng)(式(13))的狀態(tài)差分反饋為

u(k)=-l(z(k+1)-z(k))

(14)

l=[l0l1…ln]

式中，l為狀態(tài)差分反饋向量；li為第i個(gè)狀態(tài)差分反饋系數(shù)，i=0,1,…,n。

其中,重寫控制律(式(14))為

u(k)=-l0(z1(k+1)-z1(k))-l1(z2(k+1)-

z2(k))-…-ln-1(zn(k+1)-zn(k))

(15)

由式(13)易得

(16)

將式(15)代入式(16)的最后一式并利用狀態(tài)之間的關(guān)系,可得

zn(k+1)=-g0z1(k)-g1z2(k)-…-gn-1zn(k)+

l0z1(k)-(l0-l1)z2(k)-(l1-l2)z3(k)-

…-ln-1zn(k+1)=-(g0-l0)z1(k)-

(g1+l0-l1)z2(k)-(g2+l1-l2)z3(k)-

…-(gn-1+ln-2-ln-1)zn(k)-ln-1zn(k+1)

(17)

若1+ln-1≠0,則式(17)可以寫成標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)方程：

zn(k+1)=-(1+ln-1)-1[(g0-l0)z1(k)+

(g1+l0-l1)z2(k)+…+(gn-1+ln-2-ln-1)zn(k)]

(18)

則下友型標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)差分反饋閉環(huán)系統(tǒng)為

z(k+1)=Gcfz(k)

(19)

Gcf=

由閉環(huán)系統(tǒng)(式(6))和狀態(tài)變換方程(式(8)),可以得到下友型能控標(biāo)準(zhǔn)型的閉環(huán)系統(tǒng)矩陣與原閉環(huán)系統(tǒng)矩陣的關(guān)系：

(20)

下友型能控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)差分反饋閉環(huán)系統(tǒng)(式(19))的特征多項(xiàng)式為

det(zI-Gcf)=(1+ln-1)-1[g0-l0+(g1+l0-l1)z+

…+(gn-1+ln-2-ln-1)zn-1]+zn

(21)

期望極點(diǎn)可以由特征方程的根給出,也可以由特征多項(xiàng)式系數(shù)給出,即

d(z)=(z-λ1)(z-λ2)…(z-λn)=

zn+d0+d1z+d2z2+…+dn-1zn-1

(22)

其中,特征值λi∈C1×1，i=1,2,…,n,若有復(fù)根,則必須以共軛形式成對(duì)出現(xiàn)。期望特征多項(xiàng)式的系數(shù)d∈R1×n且d=[d0d1…dn-1]。由式(21)和式(22)關(guān)于z的多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等可以得到

(23)

因?yàn)?+ln-1≠0,整理可得

(24)

寫成矩陣形式如下：

DlT=gT-dT

(25)

其中,系數(shù)矩陣D為

矩陣D的行列式為

(26)

其中,e∈Rn×1且e=[111…1]T。

式(25)的解分以下兩種情況討論:

(1)det D≠0。即矩陣D是非奇異的,由式(25)可得下友型能控標(biāo)準(zhǔn)型極點(diǎn)配置問題的解：

l=(g-d)D-T

(27)

事實(shí)上,不需要矩陣求逆,也可直接得到式(24)的解。將式(24)各式的左邊依次相加,右邊依次相加可得

(1+de)ln-1=(g-d)e

(28)

解得

ln-1=(g-d)e/(1+de)

(29)

求得ln-1后再倒序求解式(24),即求解順序?yàn)閘0,l1,…,ln-2,可得

(30)

γ=1+ln-1

(2)det D=0。即矩陣D是奇異的,為使式(28)有解,必須滿足

ge=de

(31)

這就表明,ge+1=0和de+1=0必須同時(shí)成立。由式(28)可知,此時(shí)ln-1是自由的,只需選擇ln-1≠-1即可。此時(shí)式(24)的解為

(32)

若1+ge≠0且1+de≠0,則

(33)

式(33)表明，原系統(tǒng)的所有特征根均不為1,這意味著對(duì)于任意的輸入原系統(tǒng)都有一個(gè)平衡點(diǎn)xeq。在式(1)中令x(k+1)=x(k)=xeq，解得

xeq=(I-G)-1hu

(34)

對(duì)于期望的閉環(huán)系統(tǒng),也有相同的結(jié)論。這表明,狀態(tài)差分反饋無需考慮系統(tǒng)有無平衡點(diǎn)。

2.2一般系統(tǒng)的解

上文針對(duì)具有下友型能控標(biāo)準(zhǔn)型的單輸入時(shí)不變線性離散系統(tǒng),求得了基于狀態(tài)差分反饋的問題的解,下面求一般單輸入時(shí)不變線性離散系統(tǒng)的解。

將式(8)代入式(14)可得

u(k)=-l(z(k+1)-z(k))=

-l Q-1(x(k+1)-x(k))

(35)

對(duì)比式(3)和式(35)可得原系統(tǒng)(式(1))的狀態(tài)差分反饋控制問題的解：

k=l Q-1

(36)

推導(dǎo)狀態(tài)差分反饋增益向量k的具體表達(dá)式。有

l=(g-γd)Mr

(37)

其中，Mr為上三角矩陣。得到狀態(tài)差分反饋增益向量：

k=(g-γd)MrQ-1

(38)

加速度反饋增益向量為

ks=Ts(g-γd)MrQ-1

(39)

由上述討論得出以下定理。

定理1若系統(tǒng)(式(1))能控且不含極點(diǎn)z=1, 則可通過狀態(tài)差分反饋(式(3))在z平面任意配置極點(diǎn)到期望的位置上。

定理2若系統(tǒng)(式(1))能控且含極點(diǎn)z=1,則可通過狀態(tài)差分反饋(式(3))在z平面任意配置極點(diǎn)到至少含有以z=1為其中一個(gè)極點(diǎn)的期望位置上。

3　仿真實(shí)例

例1考慮減振機(jī)械系統(tǒng),其動(dòng)態(tài)方程為

其中，各參數(shù)的具體意義見文獻(xiàn)[12]。易知原系統(tǒng)是一個(gè)開環(huán)漸近穩(wěn)定的系統(tǒng), 但系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)的時(shí)間較長(zhǎng)。設(shè)計(jì)狀態(tài)差分反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且零輸入響應(yīng)的暫態(tài)過程時(shí)間縮短。取采樣周期Ts=0.5 ms,離散化后的系統(tǒng)矩陣和控制量增益分別為

h=[00-5×10-65×10-5]T

閉環(huán)系統(tǒng)期望極點(diǎn)

λ1,2=exp(Ts(-5±65i))

初始狀態(tài)取

x0=[0.050.050.20.2]T

解得加速度反饋增益

ks=[260.3388294.1277-1.2023-0.2872]

由圖1可以看出,閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)明顯優(yōu)于開環(huán)系統(tǒng);由圖2可以看出,加速度信號(hào)(a3(t),a4(t))的瞬態(tài)值較大,而速度信號(hào)(a1(t),a2(t))的瞬態(tài)值不至于過大;圖3所示為控制信號(hào)的變化曲線。

1.閉環(huán)系統(tǒng)　2.原系統(tǒng)圖1　原系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)(例1)

圖2　狀態(tài)差分的理論值(例1)

圖3　控制信號(hào)(例1)

例2考慮球桿系統(tǒng),動(dòng)態(tài)方程為

其中，各u(t)參數(shù)的具體意義見文獻(xiàn)[12]。易知原系統(tǒng)是一個(gè)開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng),設(shè)計(jì)狀態(tài)差分反饋使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且暫態(tài)過程盡可能短。取采樣周期Ts=5 ms,離散化后的系統(tǒng)矩陣和控制量增益分別為

h=[00.004 9500]T

閉環(huán)系統(tǒng)期望極點(diǎn)為

λ1,2=exp(Ts(-3±i))

λ3=-2Tsλ4=-5Ts

解得加速度反饋增益

ks=[-0.1064-1.010512.85176.1787]

初始狀態(tài)為

x0=[0.1 0.1 0.01 0.01]T

由圖4可以看出,閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且能較快到達(dá)平衡狀態(tài);圖5所示為狀態(tài)差分的理論值;圖6所示為控制信號(hào)的變化曲線。仿真結(jié)果表明,對(duì)于開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng),本文方法也是有效的。

圖4　閉環(huán)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)(例2)

圖5　狀態(tài)差分的理論值(例2)

圖6　控制信號(hào)(例2)

例3考慮雙積分系統(tǒng),動(dòng)態(tài)方程為

取采樣周期Ts=5 ms,離散化后的系統(tǒng)矩陣和控制量增益分別為

圖7～圖9的意義與例2相同,從圖7可以看出,閉環(huán)系統(tǒng)仍然具有一階積分特性,即狀態(tài)差分反饋不能完全去除原系統(tǒng)在z=1處的極點(diǎn),從而驗(yàn)證了定理2。

圖7　閉環(huán)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)(例3)

圖8　狀態(tài)差分的理論值(例3)

圖9　控制信號(hào)(例3)

4　實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本課題組一直致力于隔振器方面的研究。圖10所示是本課題組自主研發(fā)的磁懸浮隔振系統(tǒng)[16]。

圖10　磁懸浮隔振器實(shí)驗(yàn)平臺(tái)原理圖

由圖10可以看出,負(fù)載與基礎(chǔ)的加速度可以分別由加速度傳感器1和2直接測(cè)量獲得,可以直接用于反饋控制。為驗(yàn)證加速度反饋的可行性,振動(dòng)主動(dòng)控制的目標(biāo)是當(dāng)負(fù)載或基礎(chǔ)偏離自身平衡位置時(shí),電磁作動(dòng)器按照一定的規(guī)律產(chǎn)生電磁力，從而使負(fù)載和基礎(chǔ)分別回到自身的平衡位置。在對(duì)電磁作動(dòng)器輸出的電磁力與基礎(chǔ)及速度的關(guān)系進(jìn)行建模時(shí),選擇負(fù)載位移、負(fù)載速度、基礎(chǔ)位移、基礎(chǔ)速度作為狀態(tài),則由負(fù)載加速度得到的負(fù)載速度信號(hào)、負(fù)載加速度，由基礎(chǔ)加速度得到的基礎(chǔ)速度信號(hào)以及基礎(chǔ)加速度信號(hào)就對(duì)應(yīng)于狀態(tài)的微分,即可直接利用加速度信號(hào)實(shí)現(xiàn)反饋控制而無需構(gòu)建狀態(tài)觀測(cè)器。上述系統(tǒng)可以用圖11所示模型來描述。

圖11　電磁作動(dòng)器作用下磁懸浮隔振系統(tǒng)原理圖

系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

其中,u為電磁力,s1為負(fù)載位移,s2為基礎(chǔ)位移。磁懸浮隔振器中各元件的標(biāo)稱值見表1。

表1　磁懸浮隔振器元件標(biāo)稱值

(a)負(fù)載的加速度測(cè)量值與速度重構(gòu)值

(b)基礎(chǔ)的加速度測(cè)量值與速度重構(gòu)值圖12　系統(tǒng)無控制與施加控制時(shí)負(fù)載與基礎(chǔ)的加速度測(cè)量值與速度重構(gòu)值

圖13　負(fù)載與基礎(chǔ)的相對(duì)位移和電磁力變化曲線

初始時(shí),手動(dòng)使負(fù)載稍微偏離自身平衡位置,施加控制與不施加控制的變量對(duì)比見圖12和圖13。控制方法采用本文所提方法,采樣周期取Ts=0.2 ms,閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)取λ1,2=exp(Ts(-5±15i)),λ3,4=exp(Ts(-7±10i))。由圖12可知,若不施加控制,負(fù)載和基礎(chǔ)都需要較長(zhǎng)時(shí)間才能回到平衡位置；而使用加速度信號(hào)作為反饋的控制,可以使系統(tǒng)盡快回到平衡位置,該結(jié)果驗(yàn)證了加速度反饋的有效性。

5　結(jié)語

本文從單輸入時(shí)不變線性系統(tǒng)的離散形式出發(fā),闡述了用加速度反饋配置系統(tǒng)極點(diǎn)的實(shí)際意義,通過轉(zhuǎn)化將其歸結(jié)為用狀態(tài)的差分作反饋的增益求取問題。詳細(xì)給出了下友型能控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)基于狀態(tài)差分反饋極點(diǎn)配置問題的解的求取過程,并通過狀態(tài)變換得到一般時(shí)不變線性離散系統(tǒng)基于狀態(tài)差分反饋極點(diǎn)配置問題的解。由求解過程的討論得到基于狀態(tài)差分反饋的極點(diǎn)配置定理和算法。所舉的3個(gè)典型實(shí)例和隔振器實(shí)驗(yàn)都驗(yàn)證了本文方法的可行性和有效性。

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(編輯陳勇)

Pole Placement for Single Input Linear Time-invariant Discrete Systems by Acceleration Feedback

Liang QingWang ZhenPan JinwenPeng Cheng

University of Science and Technology of China,Hefei,230026

The feasibility of pole placement by acceleration signal for single input time-invariant linear discrete systems was discussed. Firstly, the theorems and algorithms of pole placement by state-difference were provided. Secondly, the effectiveness of the proposed method was validated by three simulation examples. Finally, an experimental platform was setup to validate the feasibility of the proposed method.

linear discrete system; acceleration feedback; state-derivative feedback; state-difference feedback; pole placement

2013-09-16

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61004017)；中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)青年創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(WK2100100016)

TP273< class="emphasis_italic">DOI

：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.08.020

梁青，男，1961年生。中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院副教授。主要研究方向?yàn)轱w行器制導(dǎo)與控制、系統(tǒng)仿真、智能信息處理等。王珍，女，1989年生。中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院碩士研究生。潘金文，男，1989年生。中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院博士研究生。彭程，男，1978年生。中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院副教授。