常　勇　林榮富　李延平

集美大學(xué),廈門,361021

浮動平底推桿-盤形凸輪組合機構(gòu)的第Ⅰ類機構(gòu)綜合問題

常勇林榮富李延平

集美大學(xué),廈門,361021

等距/網(wǎng)格/離散化;浮動坐標系;支撐函數(shù);瞬時區(qū)域套;經(jīng)濟搜索區(qū)域;脊點/脊線

0　引言

2010～2012年，筆者以德國進口的高速印刷機機構(gòu)為研究對象，提出浮動滾子推桿-盤形凸輪組合機構(gòu)的Ⅰ、Ⅱ兩類機構(gòu)綜合問題,對后者通過引入“瞬時、整程區(qū)間(域)套”、“浮動數(shù)軸、坐標系”、“最經(jīng)濟搜索帶域”等一系列概念和“降維快速求解”的理論方法,取得了較系統(tǒng)的研究成果[1-3]。回過頭來看，關(guān)于Ⅰ類機構(gòu)綜合問題,早在1991年即通過引入“虛擬擺桿”的新概念得到較為圓滿的解決[4]。

隨著研究的自然引伸和拓展,筆者又產(chǎn)生了如下設(shè)想：若將前述機構(gòu)中的滾子以平底替代,對應(yīng)的Ⅰ、Ⅱ兩類機構(gòu)綜合問題的準確描述該如何給出？如何解決？

平底較之滾子,在承載能力、潤滑特性、工作壽命、傳動和高速性能等諸多方面具有顯著優(yōu)越性，自然也可以應(yīng)用于高速印刷機機構(gòu)場合。不難推想，研究解決上述引伸拓展性課題，具有機構(gòu)學(xué)理論研究和工程實際應(yīng)用兩方面的重要意義。

2013年,我們在進行Ⅱ類綜合問題準確描述的基礎(chǔ)上,通過揭示出“瞬時一維直線區(qū)域”和“瞬時區(qū)間套”，提出求解平底方位線容許選擇區(qū)域、凸輪基圓半徑許用取值范圍的基本原理等,解決了浮動平底推桿-盤形凸輪組合機構(gòu)的第Ⅱ類機構(gòu)綜合問題[5]。

國內(nèi)外已有許多學(xué)者以壓力角為評價指標對平面盤形凸輪機構(gòu)進行了尺寸綜合[6-10],對做平面運動的滾子從動件凸輪機構(gòu)的綜合問題也作了相應(yīng)研究[11-16]。

研究認為,浮動平底推桿-盤形凸輪組合機構(gòu)Ⅰ類綜合問題的準確描述如下：已知從動構(gòu)件系統(tǒng)的運動學(xué)尺寸、輸出件推/回程始終位置和(角)位移規(guī)律,推/回程許用壓力角、平底位于連桿位置及與連桿夾角等條件，求解凸輪軸心許用區(qū)域、凸輪基圓半徑r0許用取值范圍等。

較之平底Ⅱ類、滾子Ⅰ類機構(gòu)綜合問題,平底Ⅰ類機構(gòu)綜合問題困難、復(fù)雜得多。滾子情形時,因任一瞬時滾子中心確定，故根據(jù)虛擬擺桿概念和類速度圖原理,先求解任一瞬時凸輪軸心的位置區(qū)域,再通過求交得到整程凸輪軸心的位置區(qū)域,即可使綜合問題得到解決。然而平底情形時,雖然任一瞬時平底位置確定,但凸輪、平底接觸點即“瞬時滾子中心”不確定，導(dǎo)致任一瞬時的虛擬擺桿不確定，因此與類速度圖原理無法順利實現(xiàn)“鏈接”,從而導(dǎo)致“整程”凸輪軸心的位置區(qū)域無法求解確定。

與滾子情形“虛擬擺桿+類速度圖”的求解原理不同，本文提出一種新穎的“預(yù)設(shè)凸輪軸心O1+等距/網(wǎng)格/離散化+校核+取舍”的求解思路、原理和方法，較為圓滿地解決了浮動平底推桿-盤形凸輪組合機構(gòu)的第Ⅰ類機構(gòu)綜合問題。

圍繞“預(yù)設(shè)凸輪軸心O1+等距/網(wǎng)格/離散化+校核+取舍”的求解路線，通過建立“固定、浮動坐標系”，特別是通過引入“支撐函數(shù)法”、“瞬時區(qū)域套理論”、“經(jīng)濟搜索區(qū)域”等新概念和“等距/網(wǎng)格/離散化”方法,循序漸進地研究了滿足ρ>0、α≤[α]∩α≤[α]r及ρ>0∩α≤[α]∩α≤[α]r(ρ為凸輪輪廓曲率半徑,α為壓力角,“∩”表示同時滿足)等單純、組合條件下凸輪軸心O1的求解原理、解析表達、“位置區(qū)域Πρ、Π[α]和Πρ∩[α]”及其形態(tài)特征,提出了搜索求解的思路、原理和方法,最后提出平底工作段及其長度、總長度的求解確定方法。

1　高速印刷機機構(gòu)平底演化型第Ⅰ類機構(gòu)綜合問題的準確表述

圖1所示為凸輪分別沿順時針、逆時針轉(zhuǎn)動的浮動平底推桿-盤形凸輪組合機構(gòu),由凸輪1、連桿2、搖塊3、搖桿4和機架0等組成,凸輪1、搖桿4分別為輸入件、輸出件。實質(zhì)上，該機構(gòu)可視為德國進口高速印刷機機構(gòu)[1-3]的演化型式。

(a)凸輪順時針轉(zhuǎn)動

(b)凸輪逆時針轉(zhuǎn)動圖1　浮動平底推桿-盤形凸輪組合機構(gòu)

圖1所示的兩機構(gòu)的差異是凸輪分別沿順時針、逆時針轉(zhuǎn)動，其機構(gòu)綜合問題準確描述如下：

已知:機架和搖桿長度分別為l0、l4，t-t垂直于OO2,OO2與t-t的交點為B，O2與t-t間的距離為b2，搖桿的初位角為θ40、行程角為βm，搖桿推/回程位移規(guī)律分別為β=β(θ1)、βr=βr(θ1)，推/回程運動角分別為Φ、Φr,推/回程許用壓力角分別為[α]、[α]r。

求解:滿足ρ>0、α≤[α]∩α≤[α]r條件的機構(gòu)解集，即凸輪軸心O1的容許選擇區(qū)域、凸輪基圓半徑r0的許用取值范圍等。

顯而易見,上述機構(gòu)綜合問題屬于第Ⅰ類機構(gòu)綜合問題。

2　預(yù)先準備工作

2.1固定坐標系建立和預(yù)備公式推導(dǎo)

建立固定直角坐標系Oxy,如圖1所示。選取搖塊軸心與原點O重合，x軸正向與OA方向一致，θ2、θ4分別為任一瞬時連桿、搖桿位置角，即OO2、AO2與x軸正向夾角，θ1為凸輪轉(zhuǎn)角。

建立封閉矢量方程(略)，連桿2的時變長度(s2、s20)、位置角(θ2、θ20)和類角速度(dθ2/dθ1)分別為

(1)

(2)

θ2=arctan{l4sin(θ40-β)/[l0+l4cos(θ40-β)]}

(3)

θ20=arctan[l4sinθ40/(l0+l4cosθ40)]

(4)

(5)

(6)

式中,xO2、yO2為O2點的x、y坐標。

據(jù)上可知,s2、θ2、dθ2/dθ1和xO2、yO2等皆為θ1的一元函數(shù)。

連桿2的絕對瞬心P20的坐標為

(7)

連桿2的相對瞬心P21的坐標為

(8)

式(8)中,“±”中的“+”表示適用于凸輪順時針轉(zhuǎn)動的推程前半?yún)^(qū)段和凸輪逆時針轉(zhuǎn)動的推程后半?yún)^(qū)段,“-”則表示適用于凸輪順時針轉(zhuǎn)動的推程后半?yún)^(qū)段和凸輪逆時針轉(zhuǎn)動的推程前半?yún)^(qū)段。

如圖2所示,P21、P20兩點和P21、O1(P10)兩點間距離分別為

(9)

lP21P20、lP21O1皆是θ1的一元函數(shù)。下面將lP21P20簡記為l21。

如圖1所示,點B的坐標為

(10)

點B0的坐標為

(11)

s20、θ20可據(jù)式(2)和式(4)解得。

任一瞬時,t-t的方程為

cotθ2x+y-cotθ2xB-yB=0

(12)

推程起始瞬時,t0-t0的方程為

cotθ20x+y-cotθ20xB0-yB0=0

(13)

點(xk,yk)至t0-t0的距離為

d=|cotθ20xk+yk-cotθ20xB0-yB0|sinθ20

(14)

(a)推程

(b)回程圖2　推程和回程前/后半?yún)^(qū)段劃分和滿足α≤[α]∩α≤[α]r條件的凸輪軸心O1的求解原理(凸輪順時針轉(zhuǎn)動情形)

2.2浮動坐標系O2u v的建立[2]

浮動坐標系指固連于連桿平面Σ2上,以O(shè)2為原點的直角坐標系O2uv。機構(gòu)運動過程中,O2uv隨連桿平面Σ2做平面運動即“浮動”，如圖1所示。2.3推程前半/后半?yún)^(qū)段劃分

如圖2所示,P20、P21分別為推程時連桿2的絕對瞬心和相對瞬心,P10為凸輪1的絕對瞬心。

推程前半?yún)^(qū)段，搖桿4位于O20A、O2bA之間,P20位于OO2上方;推程后半?yún)^(qū)段,搖桿4位于O2bA、O2mA之間,P20位于OO2下方。分界點O2b滿足O2bA⊥O2bO。此時,P20位于垂直于OO2的無窮遠處。有

cos(180°-θ40+β*)=l4/l0

(15)

β*=arccos(l4/l0)+θ40-180°

(16)

2.4支撐函數(shù)法的預(yù)備知識[17]

2.4.1凸集的支撐線、支撐函數(shù)和方向角

設(shè)N為有界閉凸集,邊界?N為閉凸曲線,如圖3所示。任選坐標系O1x′y′,自原點O1引射線O1R,且與x′軸正向夾角為φ(逆時針為正),作垂直于O1R且與N相交的任一直線G1(p1,φ),集合p1的上確界記為p,即

圖3　支撐線、支撐函數(shù)與方向角

定義1與p對應(yīng)的直線G(p,φ)稱作凸集N沿φ方向的支撐線。

定義2與p對應(yīng)的函數(shù)p(φ)稱作凸集N沿φ方向的支撐函數(shù)。

定義3與p對應(yīng)的角度φ稱作支撐線G(p,φ)的方向角。

2.4.2凸集的充要條件

在邊界曲線?N適當(dāng)定向下,凸集成立的充要條件是曲率半徑ρ恒為正,即

ρ=p(φ)+p″(φ)>00≤φ<2π

(17)

3　滿足ρ>0∩α≤[α]∩α≤[α]r條件的凸輪軸心O1的求解原理和解析表達

探索、建立滿足ρ>0∩α≤[α]∩α≤[α]r條件的凸輪軸心O1的求解原理和解析表達,是本文的一個核心和難點所在。

3.1滿足ρ>0條件的凸輪軸心O1的求解原理和解析表達

本文擬采用支撐函數(shù)法[7-8]來解決凸輪輪廓全部外凸即運動保真性問題。

3.1.1凸輪順時針轉(zhuǎn)動

3.1.1.1推程

如圖4所示,OBO2A、OB0O20A分別為機構(gòu)任一瞬時位置、推程起始瞬時位置,T、T0為對應(yīng)的凸輪、平底接觸點。

(a)凸輪順時針轉(zhuǎn)動

(b)凸輪逆時針轉(zhuǎn)動圖4　支撐函數(shù)、方向角的分析和提取

根據(jù)解析幾何,點O1到t-t的距離為

O1T′=|cotθ2xO1+yO1-cotθ2xB-yB|sinθ2

(18)

支撐函數(shù)為

p(φ)=p(θ1)=O1T′=|cotθ2xO1+

yO1-cotθ2xB-yB|sinθ2

(19)

方向角為

φ=θ1+λ(θ2-θ20)

(20)

式中，λ為轉(zhuǎn)向系數(shù)，凸輪順時針轉(zhuǎn)動時λ=1,逆時針轉(zhuǎn)動時λ=-1。

將p(φ)對φ求一階導(dǎo)數(shù):

p′(φ)=dp(φ)/dφ=(dp(φ)/dθ1)/(dφ/dθ1)

(21)

令

D=dp(φ)/dθ1=d(O1T′)/dθ1=

(22)

其中

|A|′=d|A|/dθ1=AA′/|A|

(23)

A=cotθ2xO1+yO1-cotθ2xB-yB

(24)

A′=(xB-xO1)θ2′csc2θ2-yB′-xB′cotθ2

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

據(jù)式(21)～式(30),有

(31)

再將p(φ)對φ求二階導(dǎo)數(shù):

p″(φ)=d2p(φ)/dφ2=dp′(φ)/dφ=

(dp′(φ)/dθ1)/(dφ/dθ1)

(32)

(33)

|A|″=d|A|′/dθ1=AA″/|A|

(34)

csc2θ2-y″B-x″Bcotθ2

(35)

(36)

(37)

(38)

據(jù)上，有

p″(φ)=dp′(φ)/dφ=

(39)

根據(jù)文獻[18],對p(φ)和p″(φ)求和:

ρ=p(φ)+p″(φ)=|cotθ2xO1+yO1-

(40)

式(40)為預(yù)設(shè)凸輪軸心O1(xO1，yO1)時，凸輪輪廓曲率半徑的通用解析計算公式。

據(jù)凸輪輪廓全部外凸的條件ρ>0,得

|cotθ2xO1+yO1-cotθ2xB-yB|sinθ2+

(41)

式(41)為預(yù)設(shè)凸輪軸心O1(xO1，yO1)時，機構(gòu)的運動保真條件。

3.1.1.2回程

對于回程,式(18)～式(41)通用,不再贅述。

3.1.2凸輪逆時針轉(zhuǎn)動

與3.1.1同理，從略。

3.2滿足α≤[α]∩α≤[α]r條件的凸輪軸心O1的求解原理和解析表達

3.2.1凸輪順時針轉(zhuǎn)動(圖2)

3.2.1.1推程(圖2a)

將整個推程劃分為推程前半?yún)^(qū)段、后半?yún)^(qū)段[1-2]進行分析。

如圖2a所示,任一瞬時位置,在連桿平面Σ2上,以P20P21為弦、朝O2v軸負向作優(yōu)弧{Cma}、劣弧{Cmi},使其滿足

∠P20CmajorP21=90°-[α]

(42)

∠P20CminorP21=90°+[α]

(43)

根據(jù)文獻[2],浮動滾子推桿機構(gòu)在該瞬時滿足α≤[α]條件的滾子中心點的全集為“瞬時區(qū)域套”Γ(u,v),即由{Cma}、{Cmi}合作圍成的“盈月形”二維平面區(qū)域(圖2陰影部分)。

過P21引t-t的垂線P21G,得垂足G,G即為該瞬時凸輪、平底接觸點，同時可能得到與{Cmi}、{Cma}的交點E和F。分別選取P21G、P21P20為∠GP21P20的始邊、終邊，則有

∠GP21P20=∠xP21P20-∠xP21G

(44)

式中,∠xP21G和∠xP21P20分別為始邊P21G、終邊P21P20的傾斜角,即有向線段P21G、P21P20沿逆時針與x軸正向的夾角。

特別規(guī)定:∠GP21P20沿逆時針方向量取計算,恒為正。理論上,∠GP21P20取值域為

∠GP21P20∈[0，360°)

(45)

根據(jù)對象機構(gòu)的特殊性,恒有

∠xP21G=θ2<90°

(46)

即∠xP21G恒為銳角。

設(shè)

ζ=arctan((yP20-yP21)/(xP20-xP21))

(47)

其取值域為ζ∈(-90°，90°)。對應(yīng)地,∠xP21P20的計算方法有如下3種情況：①xP20-xP21>0、yP20-yP21≥0時,若ζ≥θ2,則∠xP21P20=ζ；若ζ<θ2，則∠xP21P20=360°+ζ;②xP20-xP21<0、yP20-yP21>0時和xP20-xP21<0、yP20-yP21<0時,∠xP21P20=180°+ζ;③xP20-xP21>0、yP20-yP21<0時∠xP21P20=360°+ζ。

(1)推程前半?yún)^(qū)段(圖2a)。推程前半?yún)^(qū)段，P21f位于P20f、O1(P10)之間,如圖2a所示，此時垂足Gf與瞬時區(qū)域套Γf(u，v)的相對位置存在下述三種可能情況(圖5)：

①0°≤∠GfP21fP20f<90°-[α](圖5a),即Ef、Ff(Ef、Ff為Gf與瞬時區(qū)域套Γf(u,v)的兩交點)皆存在。在ΔGfP21fP20f中，據(jù)正弦定理,有

P21fEf=f1(θ1)=

l21|cos([α]+η∠GfP21fP20f)|/cos[α]

(48)

P21fFf=f2(θ1)=

l21|cos([α]-η∠GfP21fP20f)|/cos[α]

(49)

式中,η為區(qū)段系數(shù),推程前半?yún)^(qū)段η=1,后半?yún)^(qū)段η=-1。

根據(jù)點到直線距離公式[5],任一瞬時P21f到tf-tf的距離為

P21fGf=f3(θ1)=

|cotθ2xP21+yP21-cotθ2xB-yB|sinθ2

(50)

據(jù)式(48)～式(50)知,P21fEf、P21fFf和P21fGf即f1(θ1)、f2(θ1)和f3(θ1)皆為θ1的一元函數(shù)。

上述情況又分為兩種情況：

a.P21fEf≤P21fGf≤P21fFf即f1(θ1)≤f3(θ1)≤f2(θ1),此時Gf位于Γf(u,v)內(nèi)部,滿足α≤[α]條件。該情況下,若P21fEf

b.P21fGfP21fFf,即f3(θ1)f2(θ1)，此時Gf位于Γf(u，v)外部，不滿足

②90°-[α]≤∠GfP21fP20f≤90°+[α](圖5b)，即Ff存在、Ef不存在,此時式(50)通用。此情況又分為兩種情況：

a.P21fGf≤P21fFf即f3(θ1)≤f2(θ1)，此時Gf位于Γf(u,v)內(nèi)部,滿足α≤[α]條件。該種情況下，若P21fGf

b.P21fGf>P21fFf即f3(θ1)>f2(θ1),此時Gf位于Γf(u，v)外部，不滿足α≤[α]條件。

③90°+[α]<∠GfP21fP20f<360°(圖5c)，即Ef、Ff皆不存在，此時G位于Γ(u，v)外部，不滿足

(a)Ff存在,Ef存在

(b)Ff存在,Ef不存在

(c)Ff不存在,Ef不存在圖5　推程前半?yún)^(qū)段Gf與Γf(u,v)相對位置

α≤[α]條件。

(2)推程后半?yún)^(qū)段(圖2b)。推程后半?yún)^(qū)段,P21r位于P20r、O1(P10)延長線上,如圖2b所示。此時Gr與Γr(u,v)的相對位置亦存在三種可能情況(圖6)：

(a)Fr存在,Er存在

(b)Fr存在,Er不存在

(c)Fr不存在,Er不存在圖6　推程后半?yún)^(qū)段Gf與Γf(u,v)相對位置

①270°+[α]<∠GrP21rP20r≤360°(圖6a)，此時Er、Fr(Er、Fr為Gr與瞬時區(qū)域套Γr(u，v)的兩交點)皆存在，式(48)～式(50)通用,不過,式(48)和式(49)中，η=-1。該情況又分為兩種情況：

a.P21rEr≤P21rGr≤P21rFr,此時Gr位于Γr(u,v)內(nèi)部或{Cmi}r、{Cma}r上,滿足f1(θ1)≤f3(θ1)≤f2(θ1)，該瞬時滿足α≤[α]條件。

b.P21rGrP21rFr,此時Gr位于Γr(u，v)外部，滿足f3(θ1)f2(θ1)，該瞬時不滿足α≤[α]條件。

②270°-[α]≤∠GrP21rP20r≤270°+[α](圖6b)，即Fr存在、Er不存在，式(50)通用。該情況又分為兩種情況：

a.P21rGr≤P21rFr，即Gr位于Γr(u,v)內(nèi)部或{Cma}r上，滿足f3(θ1)≤f2(θ1)，該瞬時滿足α≤[α]條件。

b.P21rGr>P21rFr,即Gr位于Γr(u,v)外部,滿足f3(θ1)>f2(θ1)，該瞬時不滿足α≤[α]條件。

③0°<∠GrP21rP20r<270°-[α](圖6c),即Er、Fr皆不存在,此時Gr位于Γr(u,v)外部,不滿足α≤[α]條件。

綜上所述,得到重要結(jié)論：推程任一瞬時,若屬于①a情況或②a情況,則該瞬時滿足α≤[α]條件;反之,該瞬時不滿足α≤[α]條件。

推延、歸納之,得到重要結(jié)論：整個推程所有瞬時,無論前半?yún)^(qū)段還是后半?yún)^(qū)段,若皆屬①a情況或②a情況,則為滿足α≤[α]條件的凸輪軸心O1;反之，為不滿足α≤[α]條件的凸輪軸心O1。上述“反之”表示“只要某一瞬時不屬于①a情況或②a情況”之意。

3.2.1.2回程

絕大多數(shù)情況下,因為[α]r∈(70°,80°),回程時α≤[α]r條件通?？色@得自然滿足,故回程一般可免予考慮。

3.2.2凸輪逆時針轉(zhuǎn)動(圖4b)

與3.2.1節(jié)類似，從略。

4　凸輪軸心O1的位置區(qū)域及其形態(tài)特征

如何在“漫無邊界”的機架平面Σ0上挖掘、揭示出滿足ρ>0∩α≤[α]∩α≤[α]r條件的凸輪軸心O1的位置區(qū)域,是本文的另外一個關(guān)鍵和難點所在。

4.1“經(jīng)濟搜索區(qū)域”的概念及其等距/網(wǎng)格/離散化

顯然,t0-t0將整個機架平面Σ0劃分為左半平面Σ0L和右半平面Σ0R。因凸輪推平底運動,故凸輪軸心O1僅可能位于t0-t0為邊界的平面Σ0L上,不可能位于t0-t0為邊界的平面Σ0R上。

如圖7所示,絕對瞬心線{P20}由{P20}up和{P20}un上下兩分支構(gòu)成，分別對應(yīng)推程前半?yún)^(qū)段和后半?yún)^(qū)段。

圖7　滿足ρ>0條件的凸輪軸心O1的位置區(qū)域

研究發(fā)現(xiàn),與推程始點、終點瞬時對應(yīng)的絕對瞬心P20S、P20E分別位于{P20}up、{P20}un的最低點、最高點,即

(51)

根據(jù)上述分析,提出并認定凸輪軸心O1必位于如下“經(jīng)濟搜索區(qū)域Ω”內(nèi):

(52)

式中,xt0為t0-t0上點的x坐標；yP20S、yP20E分別為P20S和P20E的y坐標。

式(52)的隱性涵義是：t0-t0為邊界的左半平面Σ0L的y=yP20S以下、y=yP20E以上兩子區(qū)域的所有點，皆屬3.2節(jié)的情況①b、②b或情況③。證明從略。

不言而喻,經(jīng)濟搜索區(qū)域Ω是有限區(qū)域,左半平面是無限區(qū)域，前者是后者的子區(qū)域。顯而易見,經(jīng)濟搜索區(qū)域Ω呈現(xiàn)梯形的形態(tài)特征。

經(jīng)濟搜索區(qū)域Ω的提出,在確保O1位置區(qū)域完整、無缺失前提下，大大縮小了搜索范圍，顯著提高了求解效率。

現(xiàn)在，對經(jīng)濟搜索區(qū)域Ω進行等距、網(wǎng)格、離散化處理，具體步驟如下：

(1)以y=0(橫軸)為基準，分別朝上、朝下作等距、離散平行的直線族{yj},其方程為

y=yj=jΔyj=jmin,…,-1,0,1,…,jmax

(53)

且有

jmax=ent(yP20S/Δy)

(54)

jmin=ent(yP20S/Δy)

(55)

式中,Δy為相鄰兩直線y=yj、y=yj+1間的距離。

(2)以x=0(縱軸)為基準，分別朝左、朝右作等距、離散平行直線族{xi},其方程為

x=xi=iΔxi=imin,…,-1,0,1,…,imax

(56)

且有

imax=ent(xt0/Δx)

(57)

imin=ent(-l0/Δx)

(58)

式中,Δx為相鄰兩直線x=xi、x=xi+1間距離。

(3)正交單元網(wǎng)格的邊長為

Δx=Δy=10-p(mm)

(59)

式中,p=1，2,…,根據(jù)精度要求確定。

通過等距、網(wǎng)格、離散化處理后，Ω由連續(xù)、無數(shù)點轉(zhuǎn)化為離散、有限點的網(wǎng)格節(jié)點族{(xi，yj)}，如圖7所示。(xi,yj)即表示兩直線x=xi、y=yj相交得到的任一網(wǎng)格節(jié)點。

4.2滿足ρ>0條件的凸輪軸心O1的位置區(qū)域及其形態(tài)特征

4.2.1凸輪順時針轉(zhuǎn)動

對于網(wǎng)格節(jié)點族{(xi，yj)}，自y=yjmin到y(tǒng)=yjmax逐層、各層自x=ximax到x=ximin逐節(jié)點作遍歷性計算，校核推程、回程是否皆滿足運動保真條件，若滿足，則將點{(xi，yj)}保存，否則舍棄。于是,可得到滿足ρ>0條件的凸輪軸心O1的位置區(qū)域Πρ即網(wǎng)格節(jié)點集合{(xi,yj)}ρ>0。

大量案例計算表明:位置區(qū)域Πρ為有一條朝

左開放邊界?Πρ的解區(qū)域，如圖7所示。

4.2.2凸輪逆時針轉(zhuǎn)動

同理,從略。

4.3滿足α≤[α]∩α≤[α]r條件的凸輪軸心O1的位置區(qū)域及其形態(tài)特征

4.3.1凸輪順時針轉(zhuǎn)動

同4.2.1節(jié),自y=yjmin到y(tǒng)=yjmax逐層、各層自x=ximax到x=ximin逐節(jié)點作遍歷性計算,校核整個推程是否皆滿足運動保真條件,若皆滿足運動保真條件則保存{(xi,yj)}；否則舍棄之。于是,得到滿足α≤[α]∩α≤[α]r條件的凸輪軸心O1的位置區(qū)域Π[α]即網(wǎng)格節(jié)點集合{(xi,yj)}α≤[α]。

根據(jù)大量案例的求解計算,得到如下重要結(jié)論：

(1)位置區(qū)域Π[α]的形態(tài)特性。Π[α]具有類似等腰三角形的形態(tài)特征。上下兩腰HI、HJ和底邊IJ(在t0-t0上)構(gòu)成邊界?Π[α],如圖8所示。

圖8　滿足α≤[α]∩α≤[α]r條件的凸輪軸心O1的位置區(qū)域

若記頂點為H[α](x[α]a,y[α]a),則有x[α]a=min{xi}Π[α]，min{xi}Π[α]為Π[α]中所有網(wǎng)格節(jié)點x坐標的最小者。

對于兩腰HI、HJ上的點，有α=[α]；而對于底邊IJ上的點,有α≠[α]。對于上腰HI,從H到I諸點，基圓半徑r0呈單調(diào)遞減變化，在I處取得最小值。對于下腰HJ，從H到J諸點,基圓半徑r0亦呈單調(diào)遞減變化，在J處取得最小值。

根據(jù)圖8,有r0I>r0J,故滿足α=[α]條件時有r0J=min{r0[α]}，min{r0[α]}為滿足α=[α]條件的所有凸輪軸心O1的凸輪基圓半徑。

(2)Π[α]、?Π[α]的收縮聚斂特性。取不同[α]值,對應(yīng)得到Π[α]1、Π[α]2和Π[α]3，若[α]3≤[α]2≤[α]1,則Π[α]1?Π[α]2?Π[α]3,?Π[α]1??Π[α]2??Π[α]3,表明：隨[α]值減小，Π[α]、?Π[α]不斷收縮，[α]小者恒嵌套于大者內(nèi)部。

cotθ20x+y-cotθ20xB0-yB0+cscθ20kΔt=0

(60)

k=1,2,…,kmax

其中,Δt為相鄰兩直線tk-tk、tk+1-tk+1間距離,考慮到與前面Δx、Δy匹配,亦取Δt=10-p(mm)且有kmax=ent(yP20S/Δt)。

取直線tk-tk上任一點為凸輪軸心O1,則其具有相同的基圓半徑r0k,且有

r0k=lk=kΔtk=1,2,…,kmax

(61)

在直線族{tk-tk}(k=1,2,…,kmax)中任取一條直線tk-tk,分別與?Π[α]1、?Π[α]2截交各得兩個交點D[α]1up、D[α]1un和D[α]2up、D[α]2un,顯然[D[α]2un，D[α]2up]?[D[α]1un，D[α]1up]。

(62)

以[α]為變量進行一維搜索,直至得到[α]k，若記與之對應(yīng)的Π[α]k的頂點為H[α]k(x[α]ka，y[α]ka),則據(jù)式(14),滿足

|cotθ20x[α]ka+y[α]ka-cotθ20xB0-yB0|sinθ20-kΔt=0

(63)

4.3.2凸輪逆時針轉(zhuǎn)動

同理，從略。

4.4滿足ρ>0∩α≤[α]∩α≤[α]r條件的凸輪軸心O1的位置區(qū)域及其形態(tài)特征

4.4.1凸輪順時針轉(zhuǎn)動

4.4.1.1位置區(qū)域Πρ∩[α]的形態(tài)特征

基于4.2節(jié)和4.3節(jié)，得到交集

{(xi，yj)}ρ>0∩α≤[α]=

{(xi,yj)}ρ>0∩{(xi，yj)}α≤[α]

(64)

該交集即是滿足ρ>0∩α≤[α]∩α≤[α]r條件的位置區(qū)域Πρ∩[α]。

如圖9所示，位置區(qū)域Πρ∩[α]呈現(xiàn)組合、封閉的形態(tài)特征。

圖9　滿足ρ>0∩α≤[α]∩α≤[α]r條件的凸輪軸心O1的位置區(qū)域

具體說來,凸輪軸心O1的位置區(qū)域仍具有類三角形的區(qū)域形態(tài)特征。三個頂點分別是H[α]、I∩和J∩。I∩和J∩就是?Πρ與?Π[α]截交得到的兩個交點。

4.4.1.2凸輪軸心O1的優(yōu)選(非劣)解集

證明從略。

值得指出的是,4.4.1.2～4.4.1.4節(jié)選擇凸輪軸心O1僅考慮了r0和α兩個性能參數(shù),存在片面、偏頗之處。工程實際中，除考慮r0和α外,還須兼顧考慮平底工作段分布，以及機構(gòu)橫向、縱向尺寸的合理分配等。不難想象,后兩者對機構(gòu)的運動平穩(wěn)性、動力學(xué)特性以及運動空間等皆會產(chǎn)生重要影響。

4.4.2凸輪逆時針轉(zhuǎn)動

求解方法與凸輪順時針轉(zhuǎn)動情形類似,不再贅述。

5　浮動平底工作段及其長度、總長度的求解確定

5.1浮動平底工作段的求解確定

平底工作段指機構(gòu)整程中浮動平底與凸輪輪廓實際接觸的區(qū)段。

5.1.1凸輪順時針轉(zhuǎn)動

如圖2a所示,OBO2A為機構(gòu)處于任一瞬時的位置。P21G的方程為y-yP21=tanθ2(x-xP21)，xP21、yP21可據(jù)式(7)、式(8)算得。

將P21G的方程y-yP21=tanθ2(x-xP21)與式(18)聯(lián)立，解得凸輪、平底接觸點G在固定系Oxy中的坐標為

(65)

xB、yB可據(jù)式(11)算得。

根據(jù)坐標變換原理,得G在浮動系O2uv中的坐標:

(66)

xO2、yO2可據(jù)式(6)算得。

由式(66)可知,uG是θ1的一元函數(shù)，vG是常值。

綜合考慮推程、回程，一維搜索解得uG的最大和最小值分別為uGmax和uGmin，從而解得平底工作段uG∈[uGmin，uGmax]。

5.1.2凸輪逆時針轉(zhuǎn)動

同理，從略。

5.2浮動平底工作段長度、總長度的求解確定

5.2.1凸輪順時針轉(zhuǎn)動

平底工作段長度為l=uGmax-uGmin，平底總長度為L=l+(5～7)mm。

5.2.2凸輪逆時針轉(zhuǎn)動

同理，從略。

6　機構(gòu)綜合示例

解：

(1)據(jù)已知條件特別是第3、第4章求解理論方法,取p=2,通過編程搜索求解,解得凸輪軸心位置區(qū)域Πρ∩[α],如圖9所示。也就是說,圖9是據(jù)例題已知條件數(shù)據(jù)，通過計算機搜索求解自動生成的。

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(編輯蘇衛(wèi)國)

Class Ⅰ Synthesis of Cam Mechanism with Floating Flat Faced Pushrod

Chang YongLin RongfuLi Yanping

Jimei University,Xiamen,Fujian,361021

equidistant/grid/discretization;floating coordinate system;support function;instantaneous area set;economic searching area;ridge point/ridge line

2013-11-14

2015-04-15

國家自然科學(xué)基金資助項目(51175224);福建省自然科學(xué)基金資助項目(2010J01302,2006J0169)

TH112.2DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.12.004

常勇,男,1964年生。集美大學(xué)機械工程學(xué)院教授。研究方向為凸輪與連桿機構(gòu)學(xué)、機構(gòu)的起源與進化理論等。發(fā)表論文160篇。林榮富,男,1987年生。集美大學(xué)機械工程學(xué)院助教。李延平(通信作者),女,1963年生。集美大學(xué)機械工程學(xué)院教授。