原子核結團的非局域化運動

2015-10-31 00:40:49周波任中洲

物理學進展 2015年3期

關鍵詞：宇稱結團原子核

周波*，任中洲

1.北海道大學理學研究院，札幌060-0810 2.南京大學物理學院，南京210093

原子核結團的非局域化運動

周波1*，任中洲2?

1.北海道大學理學研究院，札幌060-0810 2.南京大學物理學院，南京210093

原子核中結團的形成是原子核多體動力學的一個重要表現(xiàn)方面，同時它也是核物理中最有趣的現(xiàn)象之一，對原子核中結團運動和結團結構的研究一直以來就是核物理研究的重要課題。本文中，我們介紹了原子核結團研究的歷史背景和一些重要的結團模型。同時，我們闡述了最近提出的一個結團物理中的新概念—非局域化結團。我們認為原子核中的結團是非局域化的，它們可以在整個原子核內(nèi)做自由的非局域化運動，只是由于泡利阻塞效應而不能靠的太近，這是與傳統(tǒng)的局域化結團概念截然不同的一種觀點。非局域化結團的概念使我們加深了對原子核中結團關聯(lián)的理解，同時也為探索更為復雜的原子核結團結構提供了一條新的途徑。

原子核結團模型；非局域化結團；THSR模型；宇稱反轉雙重轉動帶

I.引言

原子核是由Z個質(zhì)子和N個中子組成的量子多體系統(tǒng)?，F(xiàn)階段，對于這樣的A（A=N+Z）體問題來說，精確求解是極其困難的［1］，這主要是因為以下兩個原因。首先，核子—核子相互作用是非常復雜的，至今人們對它的性質(zhì)仍然不是完全清楚。當代研究初步表明，中心勢部分包含Wigner項，Majorana項，Bartlett項和Heisen-berg項，而核力的非中心勢中包含自旋軌道項和張量項［1］。其次，即使我們清楚的了解了核勢的所有性質(zhì)，甚至可以將其用數(shù)學表達式準確的寫出來，我們?nèi)匀缓茈y求解這樣的一般A體薛定諤方程，這源于多體問題本身的困難。在這樣一種背景下，為了探究原子核結構的秘密，許多反映原子核不同特征的物理模型相繼發(fā)展起來［2，3］。

原子核殼模型是影響最為深遠、應用最為廣泛的一種原子核模型［4-6］。殼模型的核心是平均場思想。我們知道，在原子中原子核外的電子存在著殼層結構，電子可以被看做是在一個中心力場作用下做單粒子運動，這些電子可以按不同的能級一層一層的填充其中。在原子核內(nèi)，雖然不存在與原子中相類似的不變的有心力場，但是由于泡利不相容原理，它限制了原子核中核子與核子的碰撞幾率，這就使得核子在核內(nèi)有較大的平均自由程，每個核子也可以近似的看做是在其它核子形成的平均場中做相對獨立的自由運動。對于接近球形的原子核，這個平均場就是一個有心力場，這樣以來原子核也應具有殼層結構，人們通常把這一模型稱為獨立粒子殼層模型。殼模型可以正確預言絕大多數(shù)核的基態(tài)角動量和宇稱，并且在殼層模型框架下，原子核的幻數(shù)、磁矩、β衰變和同質(zhì)異能素島等實驗事實都得到了成功的解釋。但是，50年代以后，隨著核物理研究的發(fā)展，人們陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了一些新的實驗事實，如大的電四極矩、磁矩、核激發(fā)能譜的振動譜、某些原子核的轉動帶和一些激發(fā)態(tài)等，這些實驗事實都不能在殼模型的理論框架下得到解釋。

實驗表明，原子核的運動形式，除了獨立粒子運動以外，還有振動和轉動等集體運動形式［7］。1952年丹麥物理學家Bohr和Mottelson提出了一種新的原子核模型—集體模型［8］。集體模型認為，原子核中的核子在平均場中獨立的運動并形成殼層結構，而原子核又可以發(fā)生形變，并產(chǎn)生轉動和振動等集體運動。具體而言，當原子核處于滿殼時，原子核趨于球形而無任何的形變。而當滿殼以外存在核子時，滿殼外的核子會對核心部分產(chǎn)生極化作用，進而使之產(chǎn)生形變，同時滿殼層內(nèi)核子的運動又有保持球?qū)ΨQ的趨勢，對極化作用有一種恢復力，在一定條件下，這兩種作用達到平衡，原子核就形成了穩(wěn)定的形變，這也是集體運動關聯(lián)的結果。這種集體運動的引入是集體模型對殼模型的重要發(fā)展。集體模型很好地解釋了遠離幻數(shù)的原子核磁矩，重核中變形核的轉動能級以及殼層模型無法解釋的大的電四極矩等實驗現(xiàn)象。

事實上，在較輕的原子核和一些中重核中，還普遍存在著另一類與單粒子運動和集體運動不同的運動形式，這稱之為結團運動［9-12］。如果說殼模型強化了對原子核中核子的單粒子運動形式的描述，而集體模型強調(diào)了多個核子在原子核內(nèi)的強關聯(lián)所導致的集體行為，那么結團模型則是為了描述介于兩者之間的某種結團運動形式。原子核中結團的形成與原子核中平均場的形成一樣，都是原子核多體動力學的一個重要表現(xiàn)方面。結團模型的主要思想是，在原子核內(nèi)，部分核子關聯(lián)較強可以形成一些結團單元，比如最常見的α結團，而這些結團之間的相對運動就構成了不同于單粒子運動和集體運動的一種新的運動模式?，F(xiàn)在人們已經(jīng)知道，與結團內(nèi)部的強關聯(lián)相比，結團間的相互作用往往比較弱。但是，由于人們現(xiàn)在對核相互作用還不是十分清楚，因此，對結團形成的物理機制也還不是完全清楚［13］。同時，結團間的核子交換作用也使得結團運動呈現(xiàn)出非常復雜的特點。原子核結團模型的主要任務就是能準確的揭示出結團間的這種復雜關聯(lián)，從而對結團結構進行精確的描述。

近來，由于原子核實驗技術和理論模型的提高和發(fā)展，輕核中的結團結構研究吸引了人們極大的興趣。本次工作中，我們應用一種新的微觀結團模型對具有典型的α+16O結團結構的20Ne進行了研究，并在此基礎上提出了一種全新的非局域化結團的概念來理解原子核結團之間的關聯(lián)。最近，我們基于這種全新的非局域化結團概念，進一步提出了一種新穎的容器結團圖像來理解原子核的結團運動，并應用這種圖像對12C的基態(tài)進行了初步的研究。

II.原子核中的結團現(xiàn)象

結團是物質(zhì)世界中普遍存在的一種特殊結構形式。比如在宇宙中，數(shù)目巨大的星系并不是孤立分散的，而是相互關聯(lián)的，有許多星系在引力作用下聚集在一起，形成了星系團［14］，這種較為穩(wěn)定的團系結構在宇宙中是極為常見的。作為一個典型的微觀量子系統(tǒng)，原子核中是否也存在著結團現(xiàn)象呢？盡管在中子發(fā)現(xiàn)以前，Gamow就提出了4n原子核可能是由n個α粒子組成的論斷［15，16］，但是由于早期原子核實驗條件的限制，在相當長的一段時間里，人們對原子核中尤其是輕核中是否存有α粒子或其它結團結構尚存疑問?，F(xiàn)在，隨著實驗的進步和各種理論模型的發(fā)展，人們已經(jīng)確切的知道，在一些輕核和中重核之中是普遍存在著結團結構的［12，17］。

圖1.輕核的比結合能。不同顏色的線表示不同的元素，對于某一個同位素鏈，具有最大的比結合能的原子核具有偶數(shù)的質(zhì)子數(shù)和中子數(shù)。本圖取自文獻［17］。

早期，在某些輕核中可能存在α結團結構的論斷實際上是通過對輕核的比結合能進行定性分析得到的。圖1展示了具有偶數(shù)的，并且質(zhì)子數(shù)和中子數(shù)相等的原子核具有較大的比結合能。與其它的原子核相比較，這些8Be、12C、16O、20Ne等nα核特別的穩(wěn)定。并且4n核的結合能隨著α-α節(jié)點的增加而呈線性增大的趨勢。這可以初步顯示，4n核可以近似的看做是由n個α組成的［20］。當然，現(xiàn)在看來，這個觀點過于粗糙，原因是通常情況下原子核的基態(tài)并不具有很好的結團結構。事實上，原子核結團態(tài)往往出現(xiàn)在結團閾值附近的激發(fā)態(tài)中，這一點是由Ikeda在1968年提出的［21］。圖2展示了隨著原子核激發(fā)能的增加，結團自由度的演化過程。它所揭示的最重要的概念是，原子核結團的自由度只有在結團的閾值附近才能得以釋放，這也被稱為結團物理中的閾值原則［22］。Ikeda圖結合了一部分實驗觀測的事實，同時對一些穩(wěn)定核可能出現(xiàn)的結團結構進行了預測，這對結團物理以后的發(fā)展具有非常重要的意義。

圖2.IKEDA閾值結團圖。原子核結團結構出現(xiàn)在相應的結團閾值附近。圖中標注的閾值單位為MeV。本圖取自文獻［18］。

原子核中存在結團結構的實驗證據(jù)有很多。最簡單的例子就是具有兩個α粒子結構的8Be系統(tǒng)，它的類剛體結構可以產(chǎn)生一個轉動帶，而它的轉動慣量是與2：1的軸形變相對應的［17］。最有名的結團態(tài)來自12C中Ex=7.6 MeV的Hoyle態(tài)，這個態(tài)是由Hoyle在1953年為了解釋宇宙中大量存在的碳元素而預測得到的［23］。Hoyle認為碳核素在恒星環(huán)境中可以通過3α過程進行合成。首先兩個α粒子聚變形成8Be，然后在衰變之前俘獲第三個α粒子，這樣就得到了12C的激發(fā)能為7.65 MeV的0+態(tài)。緊接著，這個態(tài)先衰變到4.43 MeV的2+態(tài)，并最終放射性衰變到12C的基態(tài)。不久，實驗上就觀測到了這樣一個類似的結團態(tài)［24］。由于Hoyle態(tài)在天體宇宙中占據(jù)重要地位，同時它又是極為典型的一個結團態(tài)，因此人們對它的探索從未停止過［25-35］。另外，一些中重原子核中的α衰變現(xiàn)象也表明了中重核中是存在一定的α結團結構的［36-42］。

1960年左右，重離子束技術在核物理加速器中取得了很大的進步［43，44］，它第一個系統(tǒng)的實驗是對24Mg中12C+12C共振態(tài)的實驗研究［45］。在12C+12C的反應中，入射粒子的能量和反應截面是不斷變化的。令人驚訝的是，實驗上并沒有觀測到一系列平滑變化的共振態(tài)，而是觀測到了一個寬度約為100 KeV的共振態(tài)，這表明形成24Mg中間系統(tǒng)的時間比原子核穿過的時間要長。這些共振態(tài)隨后就被解釋為12C+12C的結團態(tài)。之后，人們對12C+12C共振態(tài)進行了大量的探索，通過直接過程或間接過程進行了相關特征的測量［46］。間接法的實驗如12C（16O，24Mg［12C+12C］）4He。這里的24Mg是在核反應中形成的，然后衰變成為兩個12C核，本質(zhì)上是12C+12C散射實驗的時間反轉。使用這個方法能夠得到激發(fā)能譜的類型，如圖3（a）部分，激發(fā)能譜的峰值對應24Mg的共振態(tài)，它可以在20到60 MeV的激發(fā)能范圍內(nèi)被觀察到。24Mg的共振態(tài)衰變到12C+12C末態(tài)需要一個大的結團空間，實驗上通過測量衰變產(chǎn)物的釋放角度，能夠推導出24Mg激發(fā)態(tài)的自旋和角動量J，如圖3（b）部分，水平軸為J（J+1）。自旋為零時，12C+12C碎裂態(tài)位于線性中心，投影到激發(fā)能約為20 MeV的位置。這樣，通過實驗數(shù)據(jù)就能夠提取出對應的轉動慣量。理論上通過構造24Mg的12C+12C結團結構而計算得到的轉動慣量與實驗上得到的結果是完全一致的［19］。

圖3.（a）12C（16O，24Mg*）崩裂反應中觀測到的共振態(tài)；（b）崩裂反應的共振態(tài)中能量自旋的系統(tǒng)分類，小空心圓圈和實線顯示了24Mg暈線的變化趨勢。本圖取自文獻［19］。

現(xiàn)在，隨著實驗技術的進步，在輕核中發(fā)現(xiàn)了越來越多的結團結構［47，48］，文獻［18，48］詳細介紹了近來結團物理在實驗上的發(fā)展情況。

圖4.NCSM計算得到的12C正宇稱態(tài)能量值和實驗值的比較。本圖取自文獻［50］。

圖5.8Be在柱坐標系中的密度分布等勢圖。左邊對應的是實驗室坐標系，右邊對應的是內(nèi)稟坐標系。本圖取自文獻［51］。

理論方面，隨著各種結團模型的不斷發(fā)展，IKEDA圖中預測的很多結團結構都在結團模型的框架下得到了很好的描述。比如8Be的α+α結構、12C的3α結構、20Ne的α+16O結團結構等都通過結團模型而得到了驗證［10］，然而，真正從核相互作用出發(fā)來證實原子核中結團的存在卻是近幾年的事情。下面簡要介紹一下，無核殼模型和量子蒙特卡羅方法在結團物理中取得的幾個重要進展。

無核殼模型（NCSM）是一種采用從頭算法來研究核結構的殼模型理論［52］。它采用截斷的殼模型波函數(shù)作為多體波函數(shù)的基矢。由于這個模型中沒有引入唯象的參數(shù)，因此如果某些核的量子態(tài)能夠由NCSM得到，那么這些量子態(tài)具有的原子核結構是可以被一些截斷的殼模型空間所描述的。相反，如果某些量子態(tài)不能由NCSM在某個給定的截斷殼模型空間中得到，那么為了描述這些量子態(tài)，我們還需要更大的殼模型空間或者這個量子態(tài)不再具有殼模型的特征了。由于某些結團態(tài)是可以通過殼模型空間中的粒子—空穴關聯(lián)得到的，因此NCSM采用的截斷殼空間的大小在某種程度上可以反映出原子核中的結團結構顯著與否。

圖4展示了在NCSM框架下計算得到的12C的一些正宇稱態(tài)。需要注意的是，當殼空間取到6 ??時，激發(fā)能為10.3 MeV左右的四個態(tài)在18 MeV以下的能量區(qū)域內(nèi)是不能夠被得到的。這四個態(tài)分別是7.66 MeV的0+態(tài)、10.3 MeV左右的0+態(tài)和2+態(tài)、11.2 MeV的2+態(tài)。這樣，NCSM從平均場殼模型的角度間接的證明了這些態(tài)是具有結團結構的。人們已經(jīng)知道，這些結團態(tài)都可以通過結團模型得到很好的描述［53-56］。量子蒙特卡羅（QMC）是一種比NCSM更基礎的從頭算法［57］。它使用AV18兩體勢和UIX三體勢作為實際的核勢進行能量變分計算。圖5展示了由QMC計算得到的8Be的基態(tài)的內(nèi)稟密度分布，這個計算結果毫無疑問的證明了8Be中的α+α結團結構。

核結構中從頭算法的發(fā)展為原子核結團物理的研究提供了另外一種獨立于結團模型的強有力的工具［58，59］，它幾乎從第一性原理出發(fā)證明了結團結構的存在，這也為結團模型的研究提供了堅實的理論基礎。

III.原子核結團運動的微觀理解

A.原子核結團模型的發(fā)展歷史

1928年，Gamow首次對實驗上發(fā)現(xiàn)的α衰變進行了量子力學的解釋［60］。隨后，他又做了進一步的推斷，4n核如8Be、12C、16O等是由α粒子組成的，其余的原子核是由α粒子和“電子”組成的［15］。值得一提的是，這種極為樸素的α模型早在中子發(fā)現(xiàn)（1932年）之前就被提了出來，可見，原子核的結團研究實際上已經(jīng)有著相當長的歷史了。

1938年，Hafstad和Teller在分析了原子核可以看做是由α粒子組成的理論之后，又將這一理論做了進一步的推廣。他們提出了一個α結團模型來估計4n、4n-1和4n+1核的結合能［20］。在4n核中，n個α粒子緊密的結合在一起，鄰近的α粒子之間存在著相互作用。原子核的結合能，包括零點動能則可以認為粗略的正比于α的個數(shù)。4n+1核可以看作是由n個α粒子加上一個核子組成的，而4n-1核則被認為是由n個α粒子加一個空穴組成的，增加的核子或空穴處于相應的分子軌道上。經(jīng)過這些假設之后，計算得到的結合能數(shù)值與實驗數(shù)值符合的很好。1940年，Dennison提出了一個α結團模型來理解16O的能級結構［61］。16O被看做是由4個α粒子組成，它的平衡空間對應于一個正四面體。在當時，16O的處于6.06 MeV的0+態(tài)完全不能通過殼模型來理解，而在Dennison的模型理解下［62］，這個態(tài)被認為是一種呼吸模式。后來，實驗上觀測到這個0+態(tài)并非是一種呼吸態(tài)。這樣，這種過于簡化的4α結團結構也就被拋棄了。1960年，實驗上已經(jīng)積累了大量的α-α散射實驗數(shù)據(jù)［63，64］。Ali和Bodmer通過擬合散射的相移給出了一個唯象的α-α勢［65］。但是人們很快就發(fā)現(xiàn)，使用這個唯象的α勢很難對12C的基態(tài)和Hoyle態(tài)進行很好的描述。人們逐漸意識到了這種宏觀α結團模型的局限性，于是基于核子相互作用的微觀結團模型開始逐漸發(fā)展起來。共振群方法即RGM（Resonating Group Method），是第一種采用完全的微觀方式來理解和描述原子核結團結構的方法。1937年，Wheeler在描述原子核運動時引入了結團的概念［66，67］。在這個新圖像中，作為原子核基本組成單元的中子和質(zhì)子在某種情況下可以組成一類結團（如α粒子），結團中的核子像構成原子中的電子一樣呈共振現(xiàn)象，因此這種原子核模型被稱為共振群模型。一般形式的RGM波函數(shù)可以寫為［68］，

其中，A為反對稱化算符，χ（ξ1，···，ξn-1）表示結團的相對運動波函數(shù)，參數(shù)ξi表示結團質(zhì)心間距離的雅克比坐標。φi表示第i個結團的內(nèi)稟波函數(shù)。通過能量變分原理，或者將該波函數(shù)代入一定形式的薛定諤方程，我們可以求得相對運動波函數(shù)的精確解。原則上，我們就可以對結團結構進行很好的描述了。RGM方法的主要優(yōu)點就是它完全去除了質(zhì)心的運動部分，同時也完全考慮了結團間核子的反對稱效應。波函數(shù)的反對稱化在描述結團相對運動中是不可或缺的，它促使人們開始意識到泡利不相容原理在結團關聯(lián)中的重要作用。但是，在RGM模型剛提出的一段時間里，人們并沒有意識到這個模型是極其有用的，并且由于RGM模型計算的繁瑣和復雜，最初的十幾年里RGM的發(fā)展十分緩慢。從1958年開始，Wildermuth、Kanellopolis、Tang等在原子核結團物理中進一步發(fā)展了這個共振群方法［69，70］。他們展開了一系列的研究，在共振群的理論框架下建立了統(tǒng)一處理原子核結構和反應的理論和方法［9］。他們最早指出，當結團間距變得很小的情況下，RGM和殼模型波函數(shù)在反對稱算符的作用下就會變得十分相似，而當結團間距變得相對較大時，RGM波函數(shù)能夠包含一些不能通過殼模型波函數(shù)來描述的結團關聯(lián)。Wildermuth和Kanellopolis通過RGM的計算還認識到，相同的原子核中由于能級的不同，有時結團結構會有所不同。比如簡單的5He核，它的基態(tài)具有α+n的結構，而3/2+態(tài)則具有較強的3H+2H結團結構。同時，他們還借助RGM模型，闡述了由波函數(shù)的反對稱化帶來的可觀測效應。

1966年，為了克服RGM在實際計算中的困難，Brink將生成坐標方法即GCM（Generator Coordinate Method），引入到結團模型中［68，71，72］。GCM是一個非常強大的用來處理各種集體運動的微觀方法［1，73］。它的主要思想是，在一個有生成波函數(shù)構成的子空間里進行哈密頓量的對角化，這個生成波函數(shù)依賴于一個或幾個可以表征集體運動的連續(xù)參數(shù)。GCM的生成波函數(shù)部分，Brink采用了Margenau早期使用的多質(zhì)心結團波函數(shù)［74］，后來人們也通常稱這個多質(zhì)心結團波函數(shù)為Bloch-Brink波函數(shù)或者Brink波函數(shù)。Brink波函數(shù)中采用結團間距作為參數(shù)來描述結團間的相對運動，如果將結團間距作為生成坐標，我們可以將Brink波函數(shù)線性疊加起來，這就得到了Brink GCM波函數(shù)。需要注意的是，Horiuchi給出了證明，RGM與GCM在數(shù)學上是等價的［75］。由于Brink波函數(shù)往往可以寫為一個Slater行列式的形式，因此在矩陣元的計算中要比RGM簡單許多。這樣，GCM方法使得人們可以用微觀的方式來處理一些原子核中更為復雜的結團結構了［76］。

1969年，Saito提出了正交條件模型，即OCM（Orthogonality Condition Model）［77］。在RGM方程中，泡利不相容原理的效應完全精確的體現(xiàn)在復雜的非局域相互作用中，這個相互作用自動保證了相對運動波函數(shù)與禁閉態(tài)的正交條件。OCM采用近似的方法來處理RGM中的非局域勢，它引入了一個有效的局域勢來保證相對運動波函數(shù)部分可以與禁閉態(tài)完全正交［68］。由于OCM采用了這樣一種簡化，所以它的計算較之RGM簡單了很多。事實上，這種半經(jīng)典半微觀的模型在描述復雜的原子核結團系統(tǒng)，甚至是包含不同耦合道結團結構的系統(tǒng)中都取得了很大的成功［78，79］。

RGM、GCM和OCM通常被稱為傳統(tǒng)的結團模型。近些年來，一些新的結團模型也發(fā)展起來，比如由Horiuchi和Kanada-En'yo發(fā)展的AMD（Antisymmetrized Molecular Dynamics）模型在原子核結團物理中得到了廣泛的應用［80-83］。AMD不預先假設原子核中結團的存在，因此它對發(fā)現(xiàn)原子核中可能存在的結團結構有重要的意義。還有與之相似的FMD（Fermionic Molecular Dynamics）模型［84-86］以及一些更為高級的基于從頭算法的模型也開始展開了對原子核中結團結構的研究。

B.α-α有效相互作用與泡利不相容原理

60年代，Ali和Bodmer通過擬合散射相移給出了一個唯象的表征α-α相互作用的公式［65］，

其中，相互作用Vαα（r）由一個強度為V0l且依賴于角動量的排斥勢和一個強度為Vl的吸引勢組成。αα有效勢具有和分子勢相似的形式，但是它的特點并非和分子勢完全一致，而是介于分子的束縛勢與核相互作用之間。圖6比較了這三種勢能的不同特點，它包含了基態(tài)的H2分子的勢能，8Be基態(tài)的α-α勢能和氘核的有效的兩核子中心勢。從圖中可以看出，α-α相互作用可以近似看做另外兩種相互作用的中間情況。

由以上的分析可以看出，α-α相互作用最重要的特點就是存在排斥芯和表面的吸引作用。這兩個特點對于結團結構的形成是至關重要的。事實上，如果缺少這兩點中的任何一點，那么8Be的α-α結構就不會存在了。例如，如果缺少了結團間的排斥作用，那么結團的重疊加強，整個結團結構就趨向于平均場中的獨立粒子運動了。我們可以將α-α相互作用做一個簡單的推廣，那么在典型的結團系統(tǒng)中，結團之間的相互作用也應該具有這樣的特點，比如20Ne中的α+16O間的相互作用。

圖6.三種勢能的比較。H2分子基態(tài)的勢能，8Be基態(tài)的α-α勢能和氘核的有效的兩核子中心勢。粒子的相對間距以短程排斥距離Rc為單位，能量的單位為?2/，其中M0為質(zhì)量的單位，?2表示概率密度。具體細節(jié)參考文獻［8，87］。

圖7.由RGM計算得到的20Ne的Jπ=0+，1-態(tài)的約化寬度。本圖取自文獻［88］。

如果從微觀的角度來理解結團間的有效相互作用，那么我們可以說結團間有效的排斥芯起源于泡利不相容原理。在RGM模型中，如果8Be的兩個α結團波函數(shù)用諧振子波函數(shù)來表示，那么經(jīng)過反對稱后，相對運動波函數(shù)χ（r1-r2）（r1，r2分別為兩個α粒子的質(zhì)心坐標）的主量子數(shù)N＜4的部分將會消失。這些消失了的態(tài)被稱為泡利阻塞態(tài)。非阻塞態(tài)的相對運動波函數(shù)是簡并的，并且具有的角動量量子數(shù)為L=0，2，4等。泡利阻塞效應在結團系統(tǒng)中是普遍存在的。比如對于具有α+16O結構的20Ne，如果它的結團同樣采用諧振子波函數(shù)來描述，那么α粒子和16O結團間相對運動波函數(shù)的量子數(shù)N＜16的態(tài)是被禁止的。最低的允許的態(tài)對應的主量子數(shù)為N=16并且角動量L=0，2，4，6，8等。

我們還可以這樣定性的理解結團間存在的排斥作用。由于相對運動波函數(shù)的震蕩是與較大的動能相伴的，當結團間的吸引作用不足以抵償動能增加的時候，系統(tǒng)為了避免能量的過大必然就會在內(nèi)部區(qū)域抑制波函數(shù)的振幅。圖7展示了通過RGM計算得到的20Ne的Jπ=0+，1-的約化寬度?？梢钥吹?，在內(nèi)部區(qū)域，即R很小時，波函數(shù)的振幅得到了抑制。當這種結團間距很小時，相對運動波函數(shù)得到抑制的效應正對應于實驗上得到的結團間存在排斥芯的事實，人們也通常稱這種排斥芯為結構性的排斥芯［89］。

C.原子核中的局域化結團運動

原子核中結團結構的形成，與原子核中平均場的形成類似，是多體動力學的一個基本特征。原子核結團物理中面臨的一個根本問題是，如何正確的理解和描述結團間的關聯(lián)。局域化結團運動的概念是對原子核結團運動的一種傳統(tǒng)理解方式，它已經(jīng)有很長的歷史了。早在1937年，Wefelmeier就提出了一個簡單的結團模型［92］，他認為原子核可以由無內(nèi)部結構的α粒子組成，并且這些α粒子被固定于空間某個位置中，它們做局域化的相對運動。這種局域化結團運動的概念對以后的結團物理產(chǎn)生了深遠的影響。

16O中的α+12C結團結構與20Ne中的α+16O結團結構一直被人們看做是證明局域化結團這一概念的典型代表［90］。16O是一個雙幻核，它的基態(tài)可以用殼模型來進行很好的描述。然而，實驗上發(fā)現(xiàn)它的第一激發(fā)態(tài)位于Ex=6.05 MeV并且對應的自旋和宇稱為Jπ=0+，這是殼模型所不能解釋的［93］。1960年左右，Wildermuth和他的合作者提出可以使用結團模型的圖像來理解這個態(tài)［94］。如果假定16O的第一激發(fā)態(tài)具有α+12C的結團結構，那么較小的激發(fā)能Ex=6.05 MeV就可以理解了，它正好是處在結團α+12C閾值能量Ex=7.16 MeV附近的。1968年Horiuchi和Ikeda首次提出了16O中存在由α+12C的局域化結團構成的宇稱反轉雙重轉動帶［90］。首先，他們注意到了16O中存在負宇稱轉動帶Jπ=1-，3-，5-，7-等。其中能普帶頭Jπ=1-態(tài)的激發(fā)能量Ex=9.63 MeV。通過分析轉動帶的α衰變寬度和轉動慣量等特征量，他們認為這個轉動帶可以看做是α粒子繞著12C核旋轉產(chǎn)生的。Horiuchi和Ikeda進一步指出，如果這個內(nèi)稟的負宇稱轉動帶具有α+12C局域化結團的結構，考慮到α結團和12C結團是不對稱的，因此這個負宇稱轉動帶應該對應于一個宇稱反轉的轉動帶，即存在一個正宇稱轉動帶和這個負宇稱轉動帶共同組成宇稱反轉雙重轉動帶。而這個正宇稱轉動帶的譜帶頭正是位于Ex=6.05 MeV的0+態(tài)。與16O的α+12C結構類似，20Ne同樣由于α+16O的結團結構而產(chǎn)生了一組宇稱反轉雙重轉動帶。16O和20Ne的反轉雙重轉動帶表明，原子核中的結團是一種類剛體的局域化結團結構，類比經(jīng)典力學中的轉動能譜，這種剛性的局域化結團結構的轉動就導致了宇稱反轉雙重轉動帶的產(chǎn)生。不得不承認，通過這種簡單的局域化結團圖像，人們可以很容易解釋結團結構中存在的轉動能譜。

圖8.16O?和20Ne的宇稱反轉雙重轉動帶。本圖取自文獻［90］。

圖9.由Brink波函數(shù)計算得到的α+16O系統(tǒng)的能級圖。本圖取自文獻［91］。

60年代以后發(fā)展起來的傳統(tǒng)的結團模型實際上也是體現(xiàn)了這種局域化結團運動的思想。對于一些典型的兩結團系統(tǒng)，比如，α+α、α+12C、α+16O等系統(tǒng)，由能量變分得到的RGM波函數(shù)可以很好的描述它們的轉動帶［10，95］，這歸因于RGM方程中的局域勢和非局域勢的性質(zhì)。一方面，根據(jù)Bayman-Bohr理論［96］，對于通常的緊致的原子核基態(tài)而言，RGM描述的態(tài)是與SU（3）殼模型態(tài)基本一致的。另一方面，RGM的本質(zhì)特征在它的近似模型OCM中得到了很好的體現(xiàn)。而OCM由于采用了不包含交換作用的有效局域勢來描述結團系統(tǒng)也取得了很大的成功，這進一步使人們相信結團局域運動的正確性。事實上，Brink GCM模型，尤其是Brink模型，是對結團間的局域化運動更為強有力的支持。同樣對于兩體結團而言，在Brink波函數(shù)中，通常取結團間距作為變分參量或者生成坐標，經(jīng)過能量變分之后，求得的結團間距參數(shù)是一個非零數(shù)值。圖9展示了由Brink波函數(shù)計算得到的α+16O系統(tǒng)的能級圖，其中D為α結團與16O結團的間距參數(shù)。對于其中的束縛態(tài)，我們可以找到對應于不同D的極值點。比如對于20Ne的基態(tài)而言，D≈3 fm為此結團系統(tǒng)的最優(yōu)距離，此時，系統(tǒng)的能量最低。這樣，α結團和16O結團被認為在相距3 fm左右的區(qū)域內(nèi)做局域化的結團運動。這些在當時都被看作是局域化結團強有力的證明。

IV.原子核微觀結團模型

A.共振群模型

共振群方法（RGM）是一種非常古老的描述原子核結團結構的微觀方法，它最早是由Wheeler在1937年提出來的［66］。這種通過求解多體薛定諤方程來確定結團相對運動波函數(shù)的方法，至今仍然是處理結團結構最為精確的一種方式［68，97］。以兩結團系統(tǒng)為例，我們來介紹一下這個核物理中的微觀模型。如果一個原子核系統(tǒng)是具有兩個結團C1和C2的結團結構，那么這個原子核系統(tǒng)的RGM波函數(shù)可以寫為，

其中r=X2-X1、φ1和φ2分別是結團C1和C2的內(nèi)稟波函數(shù)，X1和X2分別表示兩個結團的質(zhì)心坐標，χ（r）是描述兩個結團相對運動的波函數(shù)。這個波函數(shù)的完全反對稱化是通過反對稱算符A來完成的。反對稱作用是結團間具有復雜關聯(lián)的主要原因之一，反對稱因子交換屬于不同結團的核子，并疊加各種可能的核子交換后的波函數(shù)。因此，經(jīng)過反對稱化后，我們是不能辨別出哪些核子處于哪一個結團中的。這樣，在原子核中，結團其實是由所有的核子導致的一種集體關聯(lián)。如果兩個結團距離相對較遠，那么它們的關聯(lián)就會變的很弱，這樣，不同結團間就幾乎無核子的交換作用了。這種情況下，這兩個結團實際上就再無任何的關聯(lián)了，它們幾乎已經(jīng)變?yōu)榱藘蓚€獨立的原子核了。

兩結團A核子系統(tǒng)的哈密頓量為，

其中，ti表示單個核子的動能算符，TG是質(zhì)心的動能算符，vij表示兩體的核子勢和庫侖勢。RGM的主要目標就是求解如下的多體薛定諤方程，

為了便于解釋，我們使用τi表示結團的內(nèi)部坐標，這樣，方程（3）可以寫為，

將上述方程帶入方程（5），并且做適當?shù)淖儞Q，就可以得到一個關于相對運動波函數(shù)χ（r）的積分方程，

其中，

上面積分中出現(xiàn)的內(nèi)積核（Norm Kernel）與哈密頓量核（Hamiliton Kernel）可以寫為以下矩陣元的形式，

其中，r＇＇為結團的相對坐標，r和r＇為積分參數(shù)。方程（7）中的EA是系統(tǒng)的總能量，包含結團內(nèi)部的能量和結團相對運動的能量。而χ（r）是結團的相對運動波函數(shù)，因此，為了得到它對應的相對運動的能量，我們需要設法對方程（7）做進一步的化簡。

假定φ1和φ2表示結團的精確波函數(shù)，那么相應的結團內(nèi)部能量可以由下面的薛定諤方程得到，

其中，hC1和hC2分別表示結團C1和C2的哈密頓量。由此我們可以寫出兩個結團相對運動的哈密頓量h12，

進一步，我們定義一個表征相對運動的哈密頓量算符H，這個算符的核（Kernel）可以寫為，

并且，

最終，我們可以得到下面的RGM方程，

其中，ε=EA-E1-E2表示結團的相對運動能量。

現(xiàn)在我們來討論一下方程（18）的一些重要的特點。首先，算符N和H都包含有一個局域項和一個非局域項。我們先將內(nèi)積核N（r，r＇）和哈密頓量核H（r，r＇）改寫為如下的形式，

在上面的方程中，μ是兩結團的約化質(zhì)量，Δ是拉普拉斯算符，δ（r-r＇）表示局域項，它來自反對稱效應，但是不包括結團間的核子交換作用，KN（r，r＇）和KH（r，r＇）表示由于反對稱效應而導致的非局域項，它們是束縛的短程函數(shù)。如果定義下面的函數(shù)，

那么RGM方程（18）就可以化簡為如下的形式［68］，

形式上，這個方程非常類似于求解兩體問題的薛定諤方程。-?2/2μΔ表示相對運動的動能，ε表示相對運動的總能量。需要注意的是，VD（r）可以看做核子間的勢能，而積分項中的K（ε，r，r＇）可以看做結團間的一種非局域相互作用。因此，如果將方程（22）解釋為一個薛定諤方程，那么它就是采用了一個有效的結團相互作用，這個有效的相互作用包括由核子勢直接產(chǎn)生的局域勢和由核K（ε，r，r＇）決定的非局域勢，這個非局域勢是通過RGM方程得到的，它是核子相互作用與泡利不相容原理共同作用的結果。非局域項中的能量依賴性也是結團間核子交換效應的一種體現(xiàn)。

在方程（18）的所有解中，存在這樣一種特殊的情形，即某一些相對運動波函數(shù)χ0滿足下面的條件，

在這種情形下，它會導致對應的反對稱波函數(shù)的完全消失，A（χ0（r）φ1φ2）=0，即H χ0=0，顯然，這樣的相對運動波函數(shù)χ0是完全沒有物理意義的。人們稱這樣的相對運動波函數(shù)對應的態(tài)為泡利阻塞態(tài)或禁閉態(tài)。泡利阻塞態(tài)是結團物理中的一個重要概念，它對深刻理解結團間的運動關聯(lián)具有重要意義。

B.生成坐標法

生成坐標法即GCM（Generator Coordinate Method）是一種常用的處理原子核集體運動的微觀方法［1］。對于一個多體系統(tǒng)，如果我們有一個試探波函數(shù)為Φ（a），其中參數(shù)a=（a1，a2，...），那么根據(jù)生成坐標理論，我們可以通過疊加這個試探波函數(shù)來構造一個更精確的波函數(shù)，

其中，參數(shù)a為生成坐標，f（a）被稱為權重波函數(shù)。試探波函數(shù)Φ（a）的選取是關鍵，它要基于物理系統(tǒng)特定的運動形態(tài)。通過對波函數(shù)Ψ進行能量變分計算后，我們可以得到關于權重因子f（a）的方程，

這個積分形式的方程被稱為Hill-Wheeler方程。形式上，這個方程與在非正交基空間中的哈密頓量對角化問題極為相似。尤其是當生成坐標a取一系列離散數(shù)值時，對應的波函數(shù)Φi=Φ（ai）就變?yōu)榱司€性依賴且不完全的基矢。實際的數(shù)值計算中，我們往往將上面的Hill-Wheeler方程進行離散化求解。

C.Brink結團模型

Brink結團模型是一種非常重要的處理原子核結團結構的微觀理論方法，由于在實際計算中，它比RGM要簡單很多，因此在結團物理的研究中得到了更為廣泛的應用。Brink提出的結團模型中，有兩個基本的假設條件［71］。首先，假定原子核相互作用只包含兩體相互作用，這樣，原子核系統(tǒng)的哈密頓量可以寫為，

其次，這個哈密頓量作用的子空間是由可以寫為Slater行列式的結團波函數(shù)生成的，它包含了不同的結團關聯(lián)。這些波函數(shù)組成的空間盡管并不完備，但是對于描述總的同位旋T=0和結團的自旋S=0的結團系統(tǒng)是完全可以的。

描述n個結團系統(tǒng)的Brink波函數(shù)可以寫為如下的形式［98］，其中，A是反對稱化算符，它交換屬于不同結團的核子。n0是歸一化常量。ψ（Ci，Ri）表示結團Ci的波函數(shù)，一般采用諧振子殼模型波函數(shù)來表示。Ri是生成坐標，它表示第i個結團的質(zhì)心位置，這樣，原子核體系的結團結構可以由坐標參數(shù)｛R1，R2，···，Rn｝來表征，原則上，這些生成坐標的數(shù)值都可以通過能量變分來確定，但是在實際計算過程中，為了簡化計算，我們常常假定結團具有良好的對稱性，這樣也就減少了作為變分參數(shù)的生成坐標的數(shù)量［76，99，100］。

其中，方程中的雅克比坐標為，

結團的相對運動波函數(shù)為，

由方程（28）可以看出，當取RG=0（RG=（R1+···+Rn）/n）時，Brink波函數(shù)的質(zhì)心部分便可以輕易的與內(nèi)稟波函數(shù)分離開來了，這給計算帶來了很大的方便。另外，為了描述系統(tǒng)所具有的確定的角動量的態(tài)，我們可以方便的使用角動量投影技術來構造角動量的本征波函數(shù)。

D.其它微觀結團模型

OCM是一種通過近似使用有效的局域勢來代替RGM中的非局域勢，并同時考慮結團間泡利阻塞效應的半微觀半宏觀的結團模型［68］。在RGM方程（18）中，我們知道內(nèi)積核N（r，r＇）必須有非零的本征值。這樣，我們可以定義算符N-1/2（r，r＇），那么方程（18）可以寫為，

為了排除禁閉態(tài)（F），定義下面的算符，

OCM采用的近似條件就是假定RGM中復雜的、非局域的哈密頓量（N-1/2H N-1/2）可以被一個簡單的哈密頓量來代替。它僅僅包括一個動能算符和一個有效的局域勢。

這樣我們就得到了下面的OCM方程，

AMD模型是一種可以兼顧核內(nèi)結團結構特點和平均場特點的模型，在AMD模型的框架下，A核子系統(tǒng)的基函數(shù)可以通過一個高斯波包的行列式來表示，

這里，第i個單粒子波函數(shù)可以寫為空間內(nèi)稟波函數(shù)φ，同位旋波函數(shù)χ和自旋波函數(shù)τ的乘積，

第i個核子波函數(shù)的空間部分是由一個復變量參數(shù)Ziσ（σ=x，y，z）來表征的，并且它代表著高斯波包的中心位置。自旋部分χi由復變量參數(shù)ξi來表示。同位旋波函數(shù)τi被固定為上（質(zhì)子）或者下（中子）。這樣AMD波函數(shù)就通過一系列的變分參數(shù)Z≡（Z1，Z2，···，ZA，ξ1，ξ2，···，ξA）表達了出來。

在AMD波函數(shù)中，所有的單粒子波函數(shù)都被寫為局域的高斯函數(shù)的形式，雖然AMD并沒有提前假定系統(tǒng)中存在結團結構，但是結團卻可以通過單粒子高斯波包在空間的集聚來描述。另一方面，如果所有的高斯波函數(shù)都集聚在某一個位置，那么由于反對稱作用，AMD波函數(shù)就變?yōu)榱藢臍つＰ椭C振子波函數(shù)，因此，AMD波函數(shù)涵蓋的空間既包含了平均場又包含了結團空間。如果一個系統(tǒng)具有結團結構，那么通過對AMD波函數(shù)進行變分計算，這種結團結構將會自動得到。

FMD模型與AMD模型較為相似，只不過FMD采用了一種更為廣泛的核子波函數(shù)作為基矢來描述原子核結構。另外，一些更為高級的基于從頭算法的核理論，比如蒙特卡羅方法、無核殼模型等，也開始通過大規(guī)模計算來研究輕核中的結團現(xiàn)象。

V.新的微觀結團波函數(shù)

A.4n核中的α凝聚現(xiàn)象

近十幾年以來，隨著原子核結團理論的發(fā)展和實驗上的進步，原子核結團研究在各個分支方向上都取得了重要的進展，參考綜述文獻［101］。下面我們首先介紹一下與本文工作密切相關的α凝聚方面的研究進展，然后再介紹一下當今結團物理的一個熱點問題—豐中子輕核的類分子結團結構研究。

原子核體系中存在四類費米子，它們具有不完全相同的自旋和同位旋。因此在不違背量子力學中的泡利不相容原理的情況下，四種具有不同量子數(shù)的費米子有可能靠相互的核勢吸引而組成一種能量更低、更穩(wěn)定的玻色子。在實際的多體問題中，情況要復雜的多，我們也不可能找到這種真正意義上的理想玻色子。然而核物理中確實有一種粒子和這種理想的玻色子相對應，這便是α粒子。α粒子由兩個中子和兩個質(zhì)子組成，它們被核勢緊緊的束縛在一起。實驗證明，α粒子具有非常穩(wěn)定的特點，它的比結合能約為7 MeV，同時，它的第一激發(fā)能高達20 MeV，遠遠高于其他的原子核。玻色子與費米子是具有截然不同的物理性質(zhì)的兩類粒子，因此原子核中α結團的存在將會導致原子核具有更為豐富的結構。

其中，Xi=（ri，1+···+ri，4）/4表示第i個α粒子的質(zhì)心坐標，XG表示nα系統(tǒng)總的質(zhì)心坐標，φ0（B；X）表示以參數(shù)B表征的，具有較大寬度的高斯波函數(shù)。經(jīng)過雅克比坐標｛ξi｝變換后，THSR波函數(shù)的相對運動部分變?yōu)椋?/p>

其中，μi=i/（i+1）。最終，THSR波函數(shù)可以寫為如下的形式，

這樣，為了反映費米子體系中玻色子運動的特點，作者用n個相同的，代表α粒子的0S波函數(shù)的乘積來作為系統(tǒng)總的波函數(shù)。事實上，這個波函數(shù)可以看做是類比以下的投影BCS波函數(shù)得到的，

其中，φpair（ri，1，ri，2）表示庫伯對波函數(shù)。

利用THSR波函數(shù)對12C和16O進行計算的結果表明，在12C和16O的3α和4α閾值附近存在著一種較弱的0+束縛態(tài)。其中α波函數(shù)之間不會有太大的重疊，它們以一種近似為自由的狀態(tài)存在于這種稀疏的結構中。而這種特殊的稀疏結團結構正是α凝聚態(tài)。文獻［26］進一步推斷，這種存在于nα閾值附近的凝聚態(tài)在其它較重的4n核激發(fā)態(tài)中也會存在。十幾年過去了，α凝聚的研究無論是在實驗上還是理論上都取得了極大的發(fā)展［104-109］。

圖10.12C基態(tài)與Hoyle態(tài)的單α軌道占有率比較。本圖取自文獻［110］。

首先來看12C的Hoyle態(tài)。由于結構的特殊性，12C的Hoyle態(tài)在核物理中得到了極其廣泛的研究。計算表明，在THSR模型下得到的12C的波函數(shù)與通過精確求解三體問題得到的微觀3α波函數(shù)是完全一致的［111］。這為證明12C的Hoyle態(tài)是一個α凝聚態(tài)提供了有力的支持。根據(jù)THSR波函數(shù)計算Hoyle態(tài)的半徑為4.3 fm，這與實驗上從形成因子中得出的結果是一致的。由此可見，在這種低密度的情況下，類似于玻色愛因斯坦凝聚的α凝聚確實在原子核系統(tǒng)中發(fā)生了。進一步來看，通過對α密度矩陣ρ（r，r＇）的對角化計算，可以對單個α軌道和占有幾率進行研究。圖10展示了12C的Hoyle態(tài)和基態(tài)處于不同的軌道的占有幾率。其中，Hoyle態(tài)中α粒子處于0S軌道上的占有幾率超過了70%，剩下的部分是由于核子間的完全反對稱化導致的，考慮到原子核體積的有限性，這個70%的高占有率說明，Hoyle態(tài)幾乎可以看做是一個理想的α凝聚態(tài)。

16O的情形要比12C復雜的多。16O的激發(fā)態(tài)中包含了多個結團空間，人們很難鑒別出哪一個0+態(tài)是α凝聚態(tài)。與12C的OCM計算相似［110］。最近16O的OCM計算也已經(jīng)完成，并且在理論上得出了16O的所有可觀測的0+態(tài)能譜［79］。在此基礎上，通過對密度矩陣ρ（r，r＇）的對角化計算發(fā)現(xiàn)，激發(fā)態(tài)為13.6 MeV的0+態(tài)和激發(fā)態(tài)為14.1 MeV的0+態(tài)只有很少的0S軌道成分。另一方面，激發(fā)態(tài)為16.5 MeV的態(tài)（實驗值為15.1 MeV），處于0S軌道上的α的幾率超過了60%。16O的基態(tài)和態(tài)的徑向波函數(shù)如圖11所示?？梢钥闯?，態(tài)有較大的空間延展性并且波函數(shù)在內(nèi)部區(qū)域無節(jié)點，這表明屬于不同α結團間的核子交換作用不顯著，或者沒有受到泡利不相容原理太大的影響。這樣，由于態(tài)具有明顯的α凝聚的特征，它可以看做是實驗上要尋找的α凝聚態(tài)。

圖11.16O的基態(tài)和態(tài)的徑向波函數(shù)。本圖取自文獻［79］。

現(xiàn)在，關于α凝聚的研究進入了新的階段。在THSR波函數(shù)的基礎上，我們提出了一個混合型的Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)。應用這個新的理論框架，我們對20Ne中宇稱反轉雙重轉動帶進行了研究并最終提出了結團物理中的非局域化結團的概念［112，113］。

B.推廣的THSR結團波函數(shù)

在描述4n核的nα類氣態(tài)（gas-like state）結構上，THSR波函數(shù)取得了很大的成功，它進一步加深了人們對12C的Hoyle態(tài)的理解，并且在此基礎上一種新的結團態(tài)也被提了出來，即α凝聚態(tài)。如今，α凝聚態(tài)的概念已經(jīng)在原子核物理領域得到了極大的發(fā)展。THSR波函數(shù)或者說形變的nα凝聚態(tài)波函數(shù)可以表達為下面的形式［114］，

在Brink波函數(shù)中，我們采用結團間的距離作為變分參數(shù)，而在THSR波函數(shù)中，引入了表征新的運動維度的變分參量β。對于nα系統(tǒng)而言，β可以看做是表征原子核“體積”大小的參數(shù)，n個α粒子在其中做自由運動。這個圖像與Brink中nα的局域化結團運動的圖像是截然不同的。為了使這個波函數(shù)可以描述更廣泛的原子核結團結構，我們在形變THSR波函數(shù)（44）的基礎上做了一個自然而直接的推廣，

其中，

在上面的方程中，βi≡（βix，βiy，βiz），Xi是結團Ci的質(zhì)心坐標，不同的結團Ci可以具有不同的質(zhì)量數(shù)Ai和不同的變分參量βi。）是描述n個結團的Brink波函數(shù)的一般形式［71］。需要注意的是，在推廣的THSR波函數(shù)中同樣會出現(xiàn)兩個重要的極限。當βi→0的時候，歸一化的波函數(shù)（47）是與殼模型波函數(shù)相對應的。當βi→+∞的極限情況下，這個波函數(shù)對應于描述n個自由態(tài)的結團態(tài)。另外，從數(shù)學形式上看，在推廣的THSR波函數(shù)框架下，結團的單元不再限制為α粒子，比如，6Li中的d+α結構同樣可以使用這個波函數(shù)進行描述。

另外，方程（46）可以看做是GCM的一種特殊情況。其中，為基矢波函數(shù)，權重函數(shù)取為限制型的高斯函數(shù)形式，對生成坐標（R1，...，Rn）進行積分之后，我們就可以得到物理意義比較明顯的方程（47）了。

這個推廣的THSR波函數(shù)與Brink波函數(shù)最大的區(qū)別在于，推廣的THSR波函數(shù)是一種非局域化結團波函數(shù)，而Brink波函數(shù)是一種局域結團波函數(shù)。具體而言，推廣的THSR波函數(shù)中結團的運動被表征原子核“體積”的參數(shù)β確定，而Brink模型框架下結團的運動被表征結團質(zhì)心的生成坐標所描述，從這個意義上而言，Brink模型更適合描述類剛體結構的結團運動，而推廣的THSR波函數(shù)則更適合描述弱束縛或者沒有固定的幾何結構的結團，比如12C的Hoyle態(tài)就是一個典型的例子。當然，如果一個系統(tǒng)中的結團呈現(xiàn)很強的類剛體特征，那么推廣的THSR波函數(shù)很有可能對其不會有太好的描述，因為在原子核系統(tǒng)中，這種明顯的幾何結團結構是很難通過參數(shù)β的限制而達到的。

C.Hybrid-Brink-THSR結團波函數(shù)

推廣的THSR波函數(shù)可以描述非nα結團的結構，但是它本身具有正宇稱態(tài)。因此，這個波函數(shù)是無法通過宇稱投影的方式描述負宇稱態(tài)的。為了描述結團中的負宇稱結構，我們提出了一個新的結團波函數(shù)—Hybrid-Brink-THSR結團波函數(shù)，其形式如下，

其中，

這里的Xi、Ai和φ（Ci）分別是質(zhì)心坐標、質(zhì)量數(shù)和結團Ci的內(nèi)部波函數(shù)，是Brink波函數(shù)［71］。

與推廣的THSR波函數(shù)相比，新波函數(shù)（49）引入了另一個生成坐標Si，通過這種簡單的方式，這個Hybrid-Brink-THSR模型很自然的包含了Brink模型和THSR模型的重要特征。當S=0時，方程（50）正是對應的THSR波函數(shù)，其中β是表征整個原子核大小的參數(shù)，而當β=0時，這個Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)就變?yōu)榱薆rink波函數(shù)，S表示原子核中結團的相對距離參數(shù)。

需要注意的是，在Hybrid-Brink-THSR模型中的兩個變分參數(shù)β和S，不能再簡單的理解為對應的THSR波函數(shù)和Brink波函數(shù)中原有的物理意義。原因是這兩個參數(shù)實際上構造了一個全新的相對運動波函數(shù)，不同于THSR波函數(shù)或Brink波函數(shù)中的相對運動部分。當然，如果對這兩個參數(shù)做變分計算，當其中一個參數(shù)變?yōu)榱慊蛘呤菢O小的值時，我們就可以認為另一個參數(shù)仍然保持原來的物理意義。提出這個Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)的初衷是為了能夠?qū)Y團結構中的負宇稱進行描述，但是后來發(fā)現(xiàn)，這個波函數(shù)對于證明原子核結團的非局域運動具有重要的意義。

VI.20Ne（α-16O）的非局域化結團運動

A.20Ne的基態(tài)轉動帶描述

THSR波函數(shù)的一個重要特點是具有很好的空間延展性［115］，這一點與原子核內(nèi)結團的非局域化運動緊密相連。基于這樣一種特征，THSR波函數(shù)成功的描述了輕核中的類氣態(tài)結團結構［109］。除此之外，因為THSR波函數(shù)包含有兩個極限，即殼模型極限和完全自由的結團態(tài)極限，于是我們猜想，THSR波函數(shù)很有可能也適合描述原子核中的一些非類氣態(tài)結團結構，或者說我們可以將THSR精神進行推廣，用它來描述更為一般的結團結構。事實上，12C和16O具有類殼結構的基態(tài)已經(jīng)在THSR波函數(shù)的框架下得到了成功的描述［26］。接下來我們就嘗試著使用推廣的THSR波函數(shù)來描述一類具有非類氣態(tài)或者說是緊致的結團結構，這或許能給我們提供一個新的圖像來理解原子核中的結團結構。

20Ne基態(tài)轉動帶的內(nèi)稟結構常常被稱為是一種“過渡”結構，原因是殼結構和這種α+16O的結團結構在基態(tài)轉動帶中都起著非常重要的作用［10，87，116-118］。早期的時候，在sd殼模型的框架下，人們將20Ne中的16O看做具有堅實的殼結構而對20Ne的基態(tài)轉動帶進行描述。結果發(fā)現(xiàn)，有一些重要的關聯(lián)沒有得到很好的處理。緊接著，考慮到20Ne的α結團關聯(lián)之后，Horiuchi和Ikeda提出，基態(tài)轉動帶與帶可以看做是α+16O結團結構的宇稱反轉雙重轉動帶［90］。他們進一步指出，20Ne基態(tài)轉動帶不同于具有良好結團結構的帶，它具有一種從殼模型結構到結團模型結構過渡的特點。這個重要的推論被隨后的RGM模型［88］和Brink模型［119］所證實?，F(xiàn)在，AMD計算進一步表明，α+16O是20Ne基態(tài)轉動帶的一個主要空間，隨著角動量的增加，20Ne的結團結構逐漸向殼模型結構轉變［82］。由此可見，為了更好的處理20Ne這種特殊的基態(tài)轉動帶結構，所使用的模型就必須同時可以描述殼模型結構和完全自由結團結構這兩類極限結構［87］。

B.20Ne推廣的THSR波函數(shù)

20Ne是一個典型的具有α+16O結團結構的原子核，它的宇稱反轉雙重轉動帶Kπ=0±1正是起源于這種α+16O的結團結構。我們首先使用推廣的THSR模型對它的基態(tài)轉動帶進行研究。根據(jù)前面提出的推廣的THSR波函數(shù)（46），我們可以直接寫出20Ne的波函數(shù)，

這里，r=X1-X2，R=R1-R2，XG=（4X1+ 16X2）/20，RG=（4R1+16R2）/20。X1和X2分別表示α結團和16O結團的質(zhì)心坐標。ψα（R1，r1，...，r4）和ψ16O（R2，r5，...，r20）分別是α結團和16O結團的殼模型諧振子波函數(shù)，并且他們的質(zhì)心位置可以看做由生成坐標R1和R2進行調(diào)節(jié)。φ（α）和φ（16O）表示α和16O結團的內(nèi)稟波函數(shù)，具體形式參考文獻［120］。需要注意的是，為了簡化計算，在描述α+16O系統(tǒng)時，我們使用了相同的諧振子參數(shù)b。

此外，在方程（52）中，為了減少變分參數(shù)，我們采用這樣的關系式，1/（β1k）2=1/（βk）2和1/（β2k）2= 4/（βk）2（k=x，y，z）。由此我們就可以比較方便的將方程（52）中的兩個參數(shù)β1、β2轉化為一個參數(shù)β了，

為了簡化矩陣元計算，我們進行坐標變換，將生成坐標的矢量R1和R2變換為質(zhì)心矢量RG和相對矢量R，

本文中所有的計算都是限制于軸對稱形變，即βx=βy≠βz。對于像20Ne這樣的兩結團系統(tǒng)，我們可以得到如下矩陣元的計算關系式，

經(jīng)過角動量投影后的波函數(shù)為，

C.20Ne系統(tǒng)的哈密頓量

在本文中，20Ne系統(tǒng)的哈密頓量可以寫為，

這里，T是總的動能算符，TG表示質(zhì)心動能算符，VN和VC分別表示有效的兩體核相互作用和庫侖相互作用。動能算符表示如下，

質(zhì)心動能算符為，

庫侖相互作用可以寫為，

核勢部分我們采用Volkov no.1相互作用［122］，它的數(shù)學表達式采取的是高斯的形式，

其中，M為Majorana交換參數(shù)。

D.Hill-Wheeler方程

在THSR模型的框架下，我們可以結合GCM方法來進一步求解更為精確的波函數(shù)。首先，我們通過疊加變分參數(shù)β不同的角動量投影波函數(shù)來構造如下的波函數(shù)，

這里，β≡（βx，βy，βz）。表示第k個由基矢（β）展開的歸一化本征波函數(shù)。為了確定權重函數(shù)（β），我們需要求解下面的Hill-Wheeler方程［67，72，73］，

我們可以通過使離散化參數(shù)β取不同的節(jié)點來求解以上的方程。這樣，Hill-Wheeler方程的求解問題本質(zhì)上就轉化為在非正交基矢（β）空間的哈密頓量的數(shù)值對角化問題了［1］。

E.結果與討論

圖12.20Ne在兩參數(shù)空間b和βx=βy=βz的能量等勢圖。

在不考慮形變參數(shù)的情況下，20Ne波函數(shù)中有兩個參數(shù)b和β，我們可以通過完全的能量變分方法在這個兩參數(shù)空間中找到一個最低能量。對于核相互作用，我們采用Volkov no.1 force［122］，其中Majorana參數(shù)M=0.6。在圖12中，我們展示了20Ne在兩參數(shù)空間中的能級等勢圖［122］，等勢圖的特點與先前別的作者計算得到的8Be，12C和16O的等勢圖特征極為相似［114，123］。在等勢圖中，最低能量出現(xiàn)在βx=βy=βz=1.85 fm和b=1.46 fm處，這可以看做是諧振子參數(shù)b和表征整個原子核大小的參數(shù)β競爭的結果。在以后的計算中，我們把諧振子參數(shù)固定為b=1.46 fm。

我們知道，當β→+∞時，20Ne就由一個束縛的結團系統(tǒng)變成了由兩個自由結團組成的非束縛系統(tǒng)，在這種情況下，α結團和16O結團將不會存在任何的關聯(lián)，即ENe（b，β→+∞）=Eα（b）+E16O（b）。這個簡單的關系式可以幫助我們很容易求得單個16O粒子的最低能量。計算表明，在采用Volkov no.1 force的情況下，單個α粒子在參數(shù)b=1.37 fm時取得能量最小值。對于16O粒子，最低能量對應著b=1.49 fm，即（b=1.37）=-27.08 MeV，（b=1.49）= -127.84 MeV。這些參數(shù)的數(shù)值與我們通過變分得到的b=1.46 fm的數(shù)值有稍許不同。這樣，我們可以計算求得20Ne的α+16O結團的閾值為4.7 MeV左右，這與實驗數(shù)值是一致的。

圖13.20Ne在兩形變參數(shù)空間βx=βy和βz的能量等勢圖。

圖14.20Ne的Jπ=0+態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy和βz的能量等勢圖。

圖15.20Ne的Jπ=0+態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy和βz的峽谷區(qū)域的能量等勢圖。

圖16.20Ne的Jπ=0+波函數(shù)（βx=βy=0.9 fm，βz=2.5 fm）與具有變量βx=βy和βz的0+態(tài)波函數(shù)重疊積分的平方的等勢圖。

在圖12的狹長區(qū)域有一個鞍點出現(xiàn)在βx=βy= βz≈11.4 fm且b≈1.47 fm的位置上，鞍點的高度相對于閾值來說大約是2.42 MeV，它可以看做是庫侖勢壘，庫侖勢壘對于束縛態(tài)結團結構的形成至關重要。另外，在等勢圖中，對應于最低能量的態(tài)可以近似看做是20Ne的基態(tài)，計算的結果-159.66 MeV也是與實驗觀測數(shù)值-160.64 MeV相符合的。這說明，單個推廣的THSR波函數(shù)是可以用來描述20Ne基態(tài)的。在下面的計算中，我們將通過與Brink模型的比較來進一步證實這一點。

圖13展示了20Ne在形變參數(shù)空間βx= βy和βz的能量等勢圖。結果顯示，最低能量落在了βx=βy=βz的線上，因此，這個最低能量-159.66 MeV實際上對應于一個球形的波函數(shù)。需要注意的是，這個結果來自非角動量投影波函數(shù)的變分計算。

接下來，我們使用投影的THSR波函數(shù)計算在兩參數(shù)空間βx=βy和βz的能量等勢圖。我們使用基本的能量變分方法，并且不使用任何一個可調(diào)的參數(shù)。圖14展示了20Ne的Jπ=0+態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy和βz的能量等勢圖。我們可以看到能量的最小值不再位于βx=βy=βz的線上了，而是出現(xiàn)在βx=βy=0.9 fm且βz=2.5 fm的點上。第二個能量最小值是-159.74 MeV，出現(xiàn)在βx=βy=2.1 fm且βz=0.0 fm的點上，有一個狹長的峽谷將這兩個最小值點連接了起來。而且我們注意到形變波函數(shù)對應的極值能量僅僅是略微低于球形空間對應的能量。比如，對波函數(shù)進行角動量投影后，我們得到了一個最低能量-159.85 MeV，它僅僅比通過非投影波函數(shù)獲得的能量大約低0.19 MeV。

圖17.20Ne的Jπ=2+態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy和βz的能量等勢圖。

圖18.20Ne的Jπ=2+態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy和βz的峽谷區(qū)域的能量等勢圖。

圖19.20Ne的Jπ=2+波函數(shù)（βx=βy=0.0 fm，βz=2.2 fm）與具有變量βx=βy和βz的2+態(tài)波函數(shù)重疊積分的平方的等勢圖。

圖20.20Ne的Jπ=4+態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy和βz的能量等勢圖。

表I.在Brink模型中，不同角動量投影態(tài)的能量極值點和對應的α結團和16O結團之間的距離。由THSR模型得到的等勢圖中的極值點和相應的位置，以及計算的20Ne的激發(fā)能和實驗數(shù)值也列在了表中。對于低能態(tài)的情況，我們還列出了THSR GCM的計算結果和單個THSR波函數(shù)與對應的Brink波函數(shù)的重疊積分的平方。能量的單位為MeV。

圖21.20Ne的Jπ=4+態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy和βz的峽谷區(qū)域的能量等勢圖。

圖22.20Ne的Jπ=6+態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy和βz的能量等勢圖。

圖16展示了Jπ=0+態(tài)波函數(shù)（βx=βy=0.9 fm，βz=2.5 fm）與具有變量βx=βy和βz的0+態(tài)波函數(shù)的重疊積分平方的等勢圖?？梢钥吹?，雖然長橢球區(qū)域和扁橢球區(qū)域?qū)男巫儜B(tài)完全不同，但是它們對應的波函數(shù)卻極為相似，特別是，兩個能量極值點對應的波函數(shù)的重疊積分的平方高達0.999。這說明盡管形變參數(shù)差異巨大，但這兩個波函數(shù)卻是幾乎相等的。在THSR波函數(shù)對8Be的描述中，我們也可以得出相似的結論［114］。

圖17展示了Jπ=2+態(tài)的能量等勢圖。我們可以在βx=βy=βz≈6 fm的區(qū)域中找到一個能量最大值，大約在-151 MeV左右，這個能量區(qū)域?qū)嶋H上對應著20Ne結團系統(tǒng)的庫侖勢壘。隨著β的減小，我們依然可以在等勢圖中找到一個峽谷，它的區(qū)域大約出現(xiàn)在βx（βy）+βz-2＞0且βx（βy）+βz-3.5＜0限制的范圍內(nèi)，它連接起了兩個能量最低點，一個能量最小值是-158.53 MeV，位于βx=βy=0.0且βz=2.2 fm的點上，另一個是-158.44 MeV，出現(xiàn)在βx=βy=1.9 fm且βz=0.0的點上。這兩個最小能量的數(shù)值非常接近。圖18展示了這個峽谷的能量等勢線的細節(jié)。我們再次看到了這樣的事實，盡管投影之前的波函數(shù)具有完全不同的形狀，但是投影之后，求得的能量數(shù)值或者說投影波函數(shù)卻變得極為相似的了。圖19展示的重疊積分平方的等勢圖進一步證明了這一點。

圖20和圖21展示了在兩參數(shù)空間，βx= βy和βz，Jπ=4+態(tài)的能量等勢線及其峽谷區(qū)域的等勢線細節(jié)。與圖17相似，我們同樣可以找到一個對應于庫侖勢壘的能量最大值點和一個連接兩個能量最小值點的狹長峽谷。同時，計算表明，對應于扁橢球形和長橢球形的內(nèi)稟波函數(shù)經(jīng)過角動量投影之后，也變?yōu)榱藰O為相似的波函數(shù)。

圖23.20Ne的Jπ=6+態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy和βz的峽谷區(qū)域的能量等勢圖。

圖24.20Ne的Jπ=8+態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy和βz的能量等勢圖。

圖25.20Ne的Jπ=8+態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy和βz的峽谷區(qū)域的能量等勢圖。

圖22和圖24分別展示了Jπ=6+和Jπ=8+態(tài)對應的能量等勢線，它們都反映了共振態(tài)的特點，它們的能量都隨著βx或者βz的增大而逐漸降低，即在兩參數(shù)空間βx=βy和βz中，我們找不到能量的極值點。盡管如此，我們還是可以在一個小的區(qū)域內(nèi)發(fā)現(xiàn)它們的局域極小值點，如圖23和圖25所示。對于20Ne的8+態(tài)，在它的等勢圖中，我們可以找到兩個大約相等的局域極值點，極值能量為-144.48 MeV，它們出現(xiàn)在幾乎對稱的等勢圖位置上，一個點在βx=βy=0.0 fm且βz=0.7 fm，另一個點在出現(xiàn)在βx=βy=0.7 fm且βz=0.0 fm。如此小的β數(shù)值說明，在高自旋態(tài)，殼模型結構變得更為重要了。

根據(jù)前面所述，長橢球角動量投影態(tài)與扁橢球角動量投影態(tài)是非常相似的，這個特點可以從角動量投影波函數(shù)的數(shù)學表達式得出［114］。鑒于這種相似性，在GCM計算中，我們只需要疊加長橢球形變的波函數(shù)就可以了。同時，這樣也可以避免因為疊加相似波函數(shù)而導致的過飽和問題。

表I中給出了20Ne基態(tài)轉動帶中不同量子態(tài)能量的極值點，GCM計算結果以及相應的實驗數(shù)值。可以看出，除了Jπ=8+態(tài)對應的能量與實驗值偏差較大外，GCM結果與計算的激發(fā)能和實驗數(shù)值符合的較好。這證明了我們的THSR波函數(shù)對具有緊湊結團結構的20Ne的基態(tài)轉動帶進行了成功的描述。

進一步分析，我們注意到，在等勢圖中對應于極值點或者局域極值點的參數(shù)βx或者βz隨著20Ne角動量的增加而逐漸變小，表I更清晰的顯示了這一點?？紤]到β參數(shù)的物理意義，我們認為隨著角動量的增加，20Ne的結團結構正在逐步被殼結構所取代，在原子核物理中，這被稱為反伸展效應［124］。換一種說法就是，由α+16O空間描述的20Ne的集體效應隨著20Ne自旋的增加，逐漸轉變?yōu)榱似骄鶊鲂鲗У臍そY構。在AMD關于20Ne的計算中，這一效應同樣被提及［82］。許多計算還表明，20Ne的基態(tài)轉動帶終結在Jπ=8+的態(tài)上［125］。這樣，Jπ=8+態(tài)中殼空間的盛行也解釋了為何我們使用結團模型來描述這個態(tài)時產(chǎn)生了較大的誤差。能夠正確的反映20Ne轉動帶的反伸展效應，表明了THSR波函數(shù)在描述結團結構時具有較強的靈活性。

為了更好的理解THSR波函數(shù)，同時進一步闡述20Ne的結團結構特征，我們將THSR波函數(shù)與Brink波函數(shù)進行了比較。首先，我們給出Brink模型的相關計算公式，其中，是角動量投影后的Brink波函數(shù)。EJ（R）是波函數(shù)的能量期望值，它是表征結團距離參數(shù)R的函數(shù)。

在Brink模型下，對于不同的角動量投影態(tài)，我們在表I中列出了能量的極值點及其對應的α結團和16O結團距離參數(shù)的數(shù)值。例如，對于20Ne的基態(tài)，當R=3.0 fm時，E0（R）取得能量最小值-158.42 MeV。需要注意的是，這個能量值比通過THSR波函數(shù)計算得到的能量值-159.85 MeV要高1.43 MeV。在Brink GCM計算中，我們選擇如下的節(jié)點，Rj= 0.6×j fm且j=1～20。通過求解Hill-Wheeler方程，我們得到的最低能量為-160.05 MeV。這也是與THSR GCM結果一致的。另外，我們通過計算重疊積分的平方，比較了單個THSR波函數(shù)與疊加的Brink波函數(shù)的相似性。

對于Jπ=0+，2+，4+態(tài)，Brink GCM的計算結果與表I中的是基本一致的，這說明，疊加的THSR波函數(shù)與疊加的Brink波函數(shù)幾乎是相同的。低激發(fā)態(tài)下，對比單個Brink或THSR波函數(shù)與GCM的計算結果，我們發(fā)現(xiàn)，由單個THSR波函數(shù)得到的能量更接近精確的GCM結果。

對于Jπ=6+，8+的量子態(tài)，無論是用單個THSR波函數(shù)還是單個Brink波函數(shù)，計算的最低能量是相似的。另外，它們的重疊波函數(shù)積分的平方也高達0.9870和0.9996。這進一步揭示了，描述這兩個高激發(fā)態(tài)的這兩類波函數(shù)幾乎是相同的，這是因為THSR波函數(shù)和Brink波函數(shù)在殼模型的極限下（β→0或R→0）都會變?yōu)橄嗤腟U（3）殼模型波函數(shù)。

通過與Brink GCM波函數(shù)的比較，我們進一步證明了緊致的20Ne結團結構是可以在THSR框架下得到很好的描述的。事實上，我們已經(jīng)使用THSR波函數(shù)描述過非類氣態(tài)的結團態(tài)。例如，歸一化的12C的THSR基態(tài)波函數(shù)與GCM精確的基態(tài)波函數(shù)的重疊積分的平方大約為0.93［115］?？紤]到12C的基態(tài)中，殼模型起了很重要的作用，同時還具有較強的2α關聯(lián)，所以，0.93這一結果表明，在THSR模型的框架下對一般的結團結構進行描述還是很有希望的?，F(xiàn)在我們使用單個的THSR波函數(shù)成功的對緊致的20Ne的基態(tài)轉動帶進行了描述。這表明，THSR作為一種凝聚波函數(shù)，不僅可以描述弱束縛的類氣態(tài)nα結構，同樣也可以很好的描述一般的結團結構。

在本節(jié)中，我們使用了一個推廣的THSR波函數(shù)來描述20Ne的基態(tài)轉動帶。這一推廣的THSR波函數(shù)繼承了原THSR波函數(shù)的精神，用一個表征原子核大小維度的參數(shù)來描述結團間的相互運動，與傳統(tǒng)模型以結團間距作為參數(shù)截然不同。首先，20Ne基態(tài)轉動帶能譜在推廣的THSR模型下得到了很好的描述，并且20Ne的反伸展效應也得到了反映，這加深了我們對20Ne的基態(tài)轉動帶隨著角動量的增大從類結團結構到類殼結構過渡的理解。更為重要的是，在描述20Ne基態(tài)轉動帶中，我們將單個推廣的THSR波函數(shù)與Brink GCM波函數(shù)進行了對比，結果顯示，兩者幾乎是100%相等的。由于THSR波函數(shù)在描述結團運動的時候，采用的是一種非局域化結團運動的圖像，于是，我們意識到在描述20Ne基態(tài)轉動帶中的低激發(fā)態(tài)時，非局域化的結團概念比傳統(tǒng)的局域化結團概念更為恰當。

VII.20Ne的宇稱反轉雙重轉動帶描述

基于非局域化特點的THSR波函數(shù)讓我們對12C的Hoyle態(tài)有了新的理解［26，111］，Hoyle態(tài)現(xiàn)在已經(jīng)被確認為是一種α凝聚態(tài)，其中三個α粒子占據(jù)0S軌道做非局域化運動［109，115］。另外，12C基態(tài)的3α RGM/GCM波函數(shù)與對應的單個THSR波函數(shù)的重疊積分的平方達到了93%。因此，我們很自然的會有這樣一個問題：非局域化運動是結團運動的本質(zhì)特征嗎？我們已經(jīng)證明了非局域化的概念可以推廣到描述具有緊致結構的20Ne基態(tài)轉動帶［112］，然而，由于推廣的THSR波函數(shù)本身是正宇稱的，因此20Ne中的負宇稱態(tài)并不能被很好的包含到這個框架中來。而我們知道，20Ne中的宇稱反轉雙重轉動帶一直被認為是局域化結團運動的一個典型代表［90］，于是我們就有必要尋找一種更廣泛的，同時還可以繼承THSR精神的波函數(shù)來對負宇稱態(tài)進行描述。Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)正是我們需要尋找的這種波函數(shù)。它具有混合的宇稱態(tài)，同時兼顧Brink波函數(shù)與THSR波函數(shù)的特點。接下來，我們就使用Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)來描述20Ne中的宇稱反轉雙重轉動帶，尤其是負宇稱結團態(tài)。

A.20Ne的Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)

根據(jù)前面提出的Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)（49）和方程（52），我們可以得到下面的20Ne結團波函數(shù)，

這樣，通過引進另一個生成坐標參數(shù)S，波函數(shù)ΨNe（β，S）就以非常簡單的方式同時包含了20Ne的Brink波函數(shù)和20Ne的THSR波函數(shù)。當參數(shù)β→0時，我們就得到了Brink波函數(shù)，而當引入的生成坐標S→0時，我們得到了對應的THSR波函數(shù)。更為重要的是，這個新的波函數(shù)本身是宇稱的混合態(tài)，因此，我們可以通過宇稱投影的方式來處理負宇稱的問題。內(nèi)稟波函數(shù)的角動量投影技術，參考文獻［112］。

B.結果與討論

Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)中包含兩個參數(shù)β和Sz，通過對這兩個參數(shù)做變分計算，我們可以求得相應的極值能量。在下面的計算中，我們使用與前面相同的參數(shù)，即b=1.46 fm，核相互作用采用Volkov no.1 force［112］。

圖26展示了非投影的Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)在兩參數(shù)空間βx=βy=βz和Sz的變分結果?？梢钥吹阶畹湍芰?159.66 MeV出現(xiàn)在了Sz=0且βx= βy=βz=1.8 fm的位置上。由于變分參數(shù)Sz=0，于是，這個點對應的Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)就成為了對應的THSR波函數(shù)。另外，通過負宇稱投影的方法，我們還可以構造一個具有負宇稱的Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)。圖27展示了負宇稱的Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)在兩參數(shù)空間，βx=βy=βz和Sz的能量等勢圖?？梢钥吹?，能量的最低點同樣落在了Sz≈0的位置上。需要注意的是，這里的Sz不能精確為零而只能取一個極小的數(shù)值。

事實上，我們更關心對Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)進行角動量投影之后的變分結果。圖28展示了20Ne的Jπ=0+態(tài)在兩參數(shù)空間，βx=βy= βz和Sz，的能量等勢圖，基態(tài)的最低能量-159.66 MeV位于Sz=0且βx=βy=βz=1.8 fm的點上。圖30展示了20Ne的Jπ=2+態(tài)的能量等勢圖，我們得到的最低能量-158.21 MeV位于Sz=0且βx= βy=βz=1.5 fm的點上。圖32展示了20Ne的Jπ= 4+態(tài)的能量等勢圖，最低能量-155.09 MeV出現(xiàn)在了Sz=0且βx=βy=βz=1.1 fm的點上。這樣看來，對于20Ne基態(tài)轉動帶中的正宇稱態(tài)而言，能量的極值點同樣落在了Sz=0的點上，這表明投影之后的Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)與THSR波函數(shù)是完全一致的。

圖26.20Ne的非投影Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)在兩參數(shù)空間βx=βy=βz和Sz的能量等勢圖。

圖27.20Ne的負宇稱Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)在兩參數(shù)空間βx=βy=βz和Sz的能量等勢圖。

圖28.20Ne的Jπ=0+態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy=βz和Sz的能量等勢圖。

圖29.20Ne的Jπ=1-態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy=βz和Sz的能量等勢圖。

現(xiàn)在我們來看一下角動量投影后，負宇稱能級的變分結果。圖29展示了20Ne的Jπ=1-態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy=βz和Sz的能量等勢圖。我們可以看到最低能量-155.33 MeV出現(xiàn)在了βx=βy=βz=2.4 fm且Sz=0的點上。圖31展示了20Ne的Jπ=3-態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy=βz和Sz的能量等勢圖，最低能量-152.83 MeV出現(xiàn)在了βx=βy=βz=1.9fm且Sz=0的點上。圖33展示了20Ne的Jπ= 5-態(tài)的能量等勢圖，最低能量-148.17 MeV出現(xiàn)在了βx=βy=βz=1.6 fm且Sz=0的點上。由此可見，對于Jπ=1-，3-，5-這些負宇稱態(tài)，最低能量同樣出現(xiàn)在Sz=0的位置上，差異僅僅是參數(shù)β有所不同。

圖30.20Ne的Jπ=2+態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy=βz和Sz的能量等勢圖。

圖31.20Ne的Jπ=3-態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy=βz和Sz的能量等勢圖。

圖32.20Ne的Jπ=4+態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy=βz和Sz的能量等勢圖。

圖33.20Ne的Jπ=5-態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy=βz和Sz的能量等勢圖。

我們在前面已經(jīng)提到，非角動量投影的Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)在Sz=0的情況下是與正宇稱的THSR波函數(shù)完全一致的。需要注意的是，歸一化的角動量投影后的Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)在極限Sz=0的情況下仍可以保持它的宇稱。這一點證明如下：對內(nèi)稟波函數(shù)進行角動量投影后可得，在方程（74）中，如果我們進行了歸一化處理，就可以得到極限Sz=0下的解析的數(shù)學形式，得到的波函數(shù)具有明確的自旋和宇稱。

圖34.20Ne的Jπ=1-態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy和βz的能量等勢圖。

圖35.20Ne的Jπ=3-態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy和βz的能量等勢圖。

圖36.20Ne的Jπ=5-態(tài)在兩參數(shù)空間βx=βy和βz的能量等勢圖。

圖37.Jπ=1-態(tài)波函數(shù)（βx=βy=3.7 fm，βz=1.4 fm）與具有變量βx=βy和βz的1-態(tài)波函數(shù)的重疊積分的平方的等勢圖。

在實際的數(shù)值計算中，我們只需要將Sz取一個非常小的，滿足精度要求的數(shù)值即可，因此可以看到，參數(shù)Sz的引入是一種非常有效的處理投影THSR波函數(shù)的方法。圖34，35和圖36分別展示了20Ne的Jπ=1-，3-，5-態(tài)在兩參數(shù)空間βx= βy和βz的能量等勢圖。我們在等勢圖上可以找到兩個極小值點，這兩個點被一峽谷連接起來。由此可見，盡管對應的內(nèi)稟波函數(shù)形狀差別巨大，但經(jīng)過角動量投影之后，它們又變得極為相似了。為了進一步說明這種投影波函數(shù)的相似性，圖37、圖38和圖39展示了它們能量最低點對應的波函數(shù)與具有變量βx=βy和βz的波函數(shù)的重疊積分平方的等勢圖，得到的結果與前面對20Ne基態(tài)轉動帶的描述是一致的。

表II.（R）表示在Brink模型中計算求得的最低能量。其中α結團和16O結團的距離參數(shù)為R。表示在混合模型中求得的能量極值。表示由混合模型得到的GCM能量。我們也列出了對應于能量極值的單個歸一化的Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)與Brink GCM波函數(shù)的重疊積分的平方。Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)與單個歸一化的對應于能量極值的Brink波函數(shù)的重疊積分的平方也同樣列了出來。對于共振態(tài)Jπ=5-，我們沒有列出相應的GCM結果。能量的單位為MeV。

圖38.Jπ=3-態(tài)波函數(shù)（βx=βy=3.7 fm，βz=0.0 fm）與具有變量βx=βy和βz的3-態(tài)波函數(shù)的重疊積分的平方的等勢圖。

圖39.Jπ=5-態(tài)波函數(shù)（βx=βy=3.3 fm，βz=0.0 fm）與具有變量βx=βy和βz的5-態(tài)波函數(shù)的重疊積分的平方的等勢圖。

更為重要的是，參數(shù)Sz的引入使我們可以更進一步討論結團的局域化運動和非局域化運動問題。變分計算中，兩個參數(shù)β和Sz的競爭最終導致了Sz=0，這個結果非常有助于我們闡釋清楚20Ne的非局域化結團運動特點。圖40展示了20Ne的Jπ=0+，1-，2+，3-的能量曲線。其中混合模型中使用了不同的高斯半寬作為相對運動波函數(shù)。如果β被固定為0，那么Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)將變?yōu)锽rink波函數(shù)。在這種情形下，Sz表示20Ne的內(nèi)部結團之間的距離參數(shù)。對于20Ne的基態(tài)，最低能量出現(xiàn)在Sz=3.0 fm。對于Jπ=1-態(tài)，最低能量出現(xiàn)在Sz=3.9 fm。這些非零Sz數(shù)值看起來好像20Ne的α+16O結團結構更傾向于局域化的結團特點。這正是傳統(tǒng)的結團物理中的局域化概念。然而，我們發(fā)現(xiàn)這種觀點存在著一定的誤導。非零Sz的出現(xiàn)僅僅是因為相對運動波函數(shù)中的高斯寬度被限制在一個過于狹小的范圍之內(nèi)。對于Jπ=0+，1-態(tài)而言，如果β分別取1.8 fm和2.4 fm，即圖28和29中能量極值點的位置，換一種說法就是，我們采用一個具有較大半寬的高斯函數(shù)來描述結團的相對運動，那么我們發(fā)現(xiàn)，這些極值點將出現(xiàn)在Sz=0的位置上，如圖40所示。這意味著，并不存在局域化的結團運動。上一章，我們已經(jīng)證明了，對于20Ne的基態(tài)轉動帶，單個THSR波函數(shù)與疊加的Brink波函數(shù)幾乎是100%一致的。

圖40.20Ne的Jπ=0+，1-，2+，3-態(tài)能量曲線。其中Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)中使用了不同的高斯半寬作為相對運動的波函數(shù)。

圖41.20Ne的宇稱反轉雙重轉動帶的理論計算值和實驗值比較。

圖42.20Ne在Hybrid-Brink-THSR模型下的核子密度分布，其中Sz=0.6 fm且（βx，βy，βz）=（0.9fm，0.9fm，2.5fm）。

為了進一步闡述角動量投影的THSR波函數(shù)在描述20Ne負宇稱態(tài)上同樣是極為精確的，我們計算了單個描述轉動帶的Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)與Brink GCM波函數(shù)的重疊積分的平方。通過表II，我們可以看到這些數(shù)值也是接近100%的。

圖41給出了在THSR模型框架下，計算求得的20Ne的兩條轉動帶能級。我們同時給出了實驗值進行比較。由于Brink GCM波函數(shù)可以描述這兩條轉動帶，所以我們的角動量投影波函數(shù)自然也可以生成相應的能級。需要注意的是，我們在計算過程中沒有使用任何的可調(diào)參數(shù)。在20Ne轉動帶的描述上，理論值與實驗值符合的很好，這表明THSR波函數(shù)很好的抓住了結團相對運動的特征。

但是，如何在非局域化結團的概念下理解20Ne的宇稱反轉雙重轉動帶呢？在Brink模型中，我們通常選取結團間的距離作為變分參數(shù)來描述α結團與16O結團之間的相對運動，這樣的Brink波函數(shù)是一個形變的，宇稱殘缺的波函數(shù)，它使人們相信20Ne的轉動帶是由α結團與16O結團的局域化運動而產(chǎn)生的。而在THSR圖像下，兩個結團被束縛在一起做非局域化運動，并沒有明顯的參數(shù)來限制這兩個結團形成一定的形變，因此，投影的THSR-type波函數(shù)（Sz=0）看起來似乎很難與20Ne的宇稱反轉雙重轉動帶有直接的聯(lián)系。現(xiàn)在我們認為，原子核中的結團動力學是傾向于非局域化結團的，但是結團間的泡利阻塞效應可以使α+16O兩結團系統(tǒng)產(chǎn)生一種有效的空間局域化結團結構，即原子核內(nèi)的類分子狀結團結構，正是由于這種α+16O的類分子結團結構導致了20Ne宇稱反轉雙重轉動帶的產(chǎn)生［126］。

首先，20Ne具有長橢球形的內(nèi)稟波函數(shù)。在前面的章節(jié)中，我們得到的20Ne基態(tài)轉動帶的投影波函數(shù)是長橢球形的，而負宇稱轉動帶的投影波函數(shù)是扁橢球的。同時，我們還注意到，在描述兩個轉動帶的過程中，對于同一個角動量投影態(tài)而言，投影后的扁橢球波函數(shù)與投影后的長橢球波函數(shù)是極為相似的，甚至在某些點上它們幾乎是100%相等的。那么，我們?nèi)绾闻袛?0Ne轉動帶的內(nèi)稟波函數(shù)的形狀呢？通過求解20Ne的電四極矩，我們可以得到負的數(shù)值，這表明20Ne的α+16O系統(tǒng)是具有長橢球形狀的。同時，扁橢球的內(nèi)稟波函數(shù)是沒有實際物理意義的，它可以看做是長橢球的波函數(shù)繞著垂直于它自身對稱軸的某一個軸旋轉的平均結果。

其次，20Ne的α+16O結團系統(tǒng)在泡利泡利阻塞效應下形成了類分子的結團結構。盡管我們證明了在20Ne中，α結團和16O結團是做非局域化的結團運動的，但是由于結團間的泡利阻塞效應，這兩個結團是不能靠的太近的，這就形成了一定的形變，它可以看做是一種有效的局域化結團結構。下面，我們通過單核子的密度分布來說明這種有效的局域化結團效應。

定義密度算符，

其中ri表示核子坐標，r是密度參數(shù)。根據(jù)前文可知，20Ne的Hybrid-Brink-THSR內(nèi)稟波函數(shù)可以寫為如下形式，

由于THSR波函數(shù)本身是正宇稱的，它是無法表達出α+16O結團系統(tǒng)宇稱殘缺的密度分布情況的，因此我們使用具有較小數(shù)值Sz的Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)來求解核子的密度分布。這個Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)是與對應的長橢球THSR波函數(shù)非常相似的。圖42展示了Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)的密度分布，其中Sz=0.6 fm，（βx，βy，βz）=（0.9 fm，0.9 fm，2.5 fm）。可以看到，盡管Sz只取了0.6 fm這樣一個很小的數(shù)值，但是α結團和16O結團之間的距離卻大約為3.6 fm，這表明，這個大的結團距離3.6 fm并非來自于參數(shù)Sz，而是由于結團間的泡利阻塞效應形成的。這樣，20Ne中的α結團和16O結團的類分子結團結構在非局域化結團的圖像下得到了證實。

本節(jié)中，我們通過使用一個混合型的Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)研究了20Ne的宇稱反轉雙重轉動帶，并成功的澄清了原子核結團在原子核中是做局域化的結團運動還是非局域化的結團運動這一重要問題。20Ne的宇稱反轉雙重轉動帶在過去一直被認為是α+16O局域化結團結構的有力證明。因此，為了能夠證明非局域化結團的概念，我們就必須使用基于非局域化結團概念的波函數(shù)對20Ne的Kπ=0±1雙重轉動帶進行正確的描述。這樣，通過使用混合型的Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)對20Ne進行計算，我們最終得到的與極值能量對應的波函數(shù)正是具有非局域特征的THSR-type波函數(shù)，這同時表明，Brink波函數(shù)中變分計算得到的非零Sz并不能證明局域化結團這一概念。我們進一步發(fā)現(xiàn)，對應于能量極值點的單個THSR-type波函數(shù)幾乎100%與疊加的Brink波函數(shù)即20Ne中α+16O系統(tǒng)的RGM精確解相等。這表明，由THSR-type波函數(shù)揭示的非局域化結團概念非常有助于我們正確理解原子核中的結團運動關聯(lián)。

VIII.原子核容器圖像下12C基態(tài)的2α關聯(lián)效應

A.原子核結團容器圖像

前面我們提到，由新型的結團波函數(shù)得到的能量曲線揭示了，傳統(tǒng)的局域化的結團圖像對結團運動的理解是不恰當?shù)?。長久以來，人們一直認為通過對Brink波函數(shù)進行變分計算后得到的非零結團間距是對局域化結團的有力證明。對于一個質(zhì)量數(shù)為A1和A2的兩結團系統(tǒng)而言，Brink波函數(shù)的結團相對運動部分是一個具有如下形式的高斯型波包［126］，

其中參數(shù)b表示諧振子寬度參數(shù)。而Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)的相對運動波函數(shù)部分可以寫為，

當參數(shù)B=b時，由Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)得到的能量曲線在非零Sz處有極值點，它對應于Brink波函數(shù)的情形。隨著參數(shù)B的增大，極值點對應的變分參數(shù)Sz變的越來越小，最終變?yōu)镾z=0，這時的Hybrid-Brink-THSR波函數(shù)也變?yōu)榱薚HSR波函數(shù)?？梢?，如果Brink波函數(shù)中的固定的寬度參數(shù)被取為一個變分參數(shù)，那么在能量極值點，變分后表示結團間距的參數(shù)的值將變?yōu)?。需要注意的是，經(jīng)過變分計算得到的THSR波函數(shù)與Brink波函數(shù)具有完全不同的特點，單個THSR波函數(shù)幾乎100 %與相應的RGM波函數(shù)相等，而相應的Brink波函數(shù)只是可以看做精確解RGM波函數(shù)的一個主要部分。對于兩結團系統(tǒng)而言，單個THSR波函數(shù)的這種高度精確性相繼在8Be的基態(tài)轉動帶和20Ne的宇稱反轉雙重轉動帶中得到了證實。在三結團系統(tǒng)中，我們知道對于12C的基態(tài)而言，單個THSR波函數(shù)與相應的3α RGM波函數(shù)的重疊積分的平方達到了93%。（后面我們可以看到，如果考慮了2α關聯(lián)，重疊積分的平方將高達98%［127］。）對于Hoyle態(tài)而言，單個THSR波函數(shù)幾乎100%與3α RGM波函數(shù)相等。以后的工作，我們將要研究更為復雜的結團系統(tǒng)，比如四結團甚至五結團系統(tǒng)中，單個THSR波函數(shù)是否還能有如此好的表現(xiàn)。

THSR波函數(shù)最初提出是為了描述α凝聚態(tài)或者類氣態(tài)結團態(tài)。后來發(fā)現(xiàn)，THSR波函數(shù)同樣可以對非類氣態(tài)結團結構，甚至是緊致的基態(tài)結構進行很好的描述。比如，12C的基態(tài)和20Ne的基態(tài)轉動帶，它們雖然都是類殼結團結構，但是同樣可以在THSR框架下得到很好的描述?；谶@樣的事實，在深入分析THSR波函數(shù)背后物理意義的基礎上，我們提出了一個描述結團結構的新圖像，即原子核結團的容器圖像。在容器圖像中，原子核結團被認為處于由THSR波函數(shù)描述的一種結團平均場中，做非局域化的結團運動。

首先，包含寬度參數(shù)B的THSR波函數(shù)的Hill-Wheeler方程可以寫為，

這里，Hill-Wheeler方程中對于參數(shù)B的積分可以通過B取離散值求和來得到。對于兩結團系統(tǒng)而言，角動量投影后的THSR波函數(shù)ΦL（B）可以寫為，

代入上面的Hill-Wheeler方程后，我們可以得到一個與RGM方程等價的形式，

這種等價關系表明，我們可以應用THSR波函數(shù)形式的Hill-Wheeler方程來求解散射問題。這也進一步證明了，THSR波函數(shù)很好的抓住了原子核結團的動力學特征。

在3α［26，55，111］和4α［26，128］結團系統(tǒng)中，系統(tǒng)的激發(fā)態(tài)可以通過求解THSR類型的Hill-Wheeler方程進行很好的描述。進一步說，在結團平均場中，系統(tǒng)的激發(fā)態(tài)首先是由THSR波函數(shù)中的動力學參數(shù)B來描述的，它可以看做是一種生成坐標，接著通過結團中的單粒子運動激發(fā)來實現(xiàn)。我們稱這種新的結團動力學機制為容器圖像。在結團容器圖像中，表征結團動力學的參數(shù)是寬度參數(shù)B，它其實描述了一類自洽的結團平均場。我們可以很容易的在容器圖像中理解類氣態(tài)結團的形成機制，它可以看作是容器的體積或者空間增大所致（B參數(shù)由小變大）。

簡單的說，容器圖像的動力學包含三個部分。首先，原子核結團被認為處于一種自洽的結團平均場中做相互獨立的非局域化運動。其次，系統(tǒng)的集體激發(fā)態(tài)通過求解THSR型的Hill-Wheeler方程得到的疊加波函數(shù)來描述。第三，原子核分子結團結構起源于結團間的泡利阻塞效應。

B.12C基態(tài)的2α關聯(lián)效應

在原子核結團物理的研究中，12C幾乎被看作是最重要的一個原子核。長久以來，它有趣的結團結構已經(jīng)被各種原子核模型進行了廣泛的研究［9，17，101］。12C中一個典型的結團態(tài)是著名的Hoyle態(tài)。四十幾年前，Horiuchi提出，基于OCM的計算，這個Hoyle態(tài)具有類似的結團結構，并且結團之間相對運動波函數(shù)是處于0S態(tài)的［78］。后來，Uegaki［53］和Kamimura［129］等人完成了3α結團結構的完全微觀計算，進一步證實了這個觀點?，F(xiàn)在，Hoyle態(tài)被看作是一種α凝聚態(tài)，其中3α結團主要占據(jù)（0S）軌道，做相互關聯(lián)及其微弱的非局域化結團運動。與稀疏的類氣態(tài)Hoyle態(tài)不同，12C的基態(tài)處在3α閾值的7.27 MeV之下，它通常被認為具有一種非常緊致的3α結團結構。

我們已經(jīng)知道，20Ne的宇稱翻轉雙重轉動帶的16O+α Brink-GCM波函數(shù)幾乎100%等于相應的單個THSR波函數(shù)，如前面提到的，對于20Ne的基態(tài)而言，它們重疊波函數(shù)的平方高達0.993。這表明，非局域化的THSR波函數(shù)不僅僅可以描述低密度的類氣態(tài)結團結構，同時還能描述具有正常密度的一般結團結構。這個發(fā)現(xiàn)促使我們引入了基于THSR波函數(shù)的容器模型。在這個新的容器圖像下，結團通過占據(jù)類似于結團平均場中的最底軌道做非局域化的結團運動，而這種運動通過表征容器大小的參數(shù)來描述。特別是，具有緊致結團結構的20Ne的基態(tài)也能在這個容器圖像下進行高精度的描述。而我們知道，單個3α基態(tài)的THSR波函數(shù)與對應的RGM/GCM波函數(shù)的重疊積分的平方是0.93。如果我們認為容器圖像可以對不同特征的結團結構進行統(tǒng)一的描述，那么這個0.93的幅度似乎比預料的要小了一些。我們需要進一步去研究12C的基態(tài)能否被單個擴展的THSR波函數(shù)進行很好的描述。

在結團容器圖像下，2α+α結團的THSR波函數(shù)可以寫為如下形式，

其中，ΦB（R1，R2）是12C的Brink波函數(shù)，

這里，我們再次強調(diào)一下THSR波函數(shù)重要的極限特征。當β1和β2→0時，歸一化的THSR波函數(shù)變?yōu)闅つＰ筒ê瘮?shù)。與之相反，當β1和β2→+∞時，這時反對稱效應可以被忽略，歸一化的THSR波函數(shù)變?yōu)榱艘粋€3α諧振子波函數(shù)的乘積。這也是THSR波函數(shù)或者容器圖像不僅能應用于研究類氣態(tài)結團態(tài)，同時還能描述緊致的結團態(tài)的一個重要原因。

在上面的2α+α THSR波函數(shù)方程（44）中，我們引入了兩個形變參數(shù)β1和β2，用以表征非局域化結團的特點。而在Brink波函數(shù)方程（86）中，使用了表征局域結團間距的參數(shù)作為變分參量。在12C的3α結團系統(tǒng)中，2α結團在β1參數(shù)限制的容器中做相對運動，而這個8Be（2α）結團和另外的一個α結團可以看作在β2參數(shù)限制的容器中做相對的結團運動。圖（43）展示了容器圖像中，12C的2α+α結團結構示意圖。通過構造這種形式的波函數(shù)，2α關聯(lián)被包含了進來。需要注意的是，如果我們在方程（44）中做這樣的替換，和，2α+α THSR波函數(shù)就變?yōu)榱酥话粋€參數(shù)β0的3α THSR波函數(shù)［111］。

圖43.容器圖像中，12C的2α+α結團結構示意圖。

實際計算中，我們假定2α+α系統(tǒng)是軸對稱的，即βi≡（βix=βiy，βiz）（i=1，2）。這樣，角動量投影后的0+THSR波函數(shù)可以簡化為，

變分計算中，我們采用了兩組勢參數(shù)。F1表示采用Volkov No.1有效核子勢能，并且Majorana M=0.575和b=1.41 fm。Uegaki等作者在3α Brink-GCM計算中使用了此參數(shù)［53］。F2表示采用改進的Volkov No.2有效核子勢，并且參數(shù)Majorana M=0.59和b=1.35 fm。Kamimura等作者的3α RGM計算中使用了此參數(shù)［129］。

圖（44）展示了采用投影的0+2α+α波函數(shù)，在兩參數(shù)空間，β1x=β1y=β1z和β2x=β2y=β2z，12C基態(tài)的能量等勢圖。等勢圖中在β1x=β1y=β1z=1.8 fm且β2x=β2y=β2z=1.5 fm的點上有一個能量極值點，Emin=-86.10 MeV。需要注意的是，這個極值能量與使用只包含一個形變參數(shù)β的3α THSR波函數(shù)所得到的變分結果-86.09 MeV幾乎是一致的。如果采用F2參數(shù)，我們也可以得到相似的結論。僅僅從以上結果來看，推廣的兩參數(shù)THSR波函數(shù)在對12C基態(tài)的描述中似乎并沒有太大的改進。

圖44.在兩參數(shù)空間，β1x=β1y=β1z和β2x=β2y= β2z，12C基態(tài)的能量等勢圖。變分計算采用F1參數(shù)。

接下來，我們使用角動量投影的0+THSR波函數(shù)在形變的四參數(shù)空間β1x=β1y、β1z、β2x= β2y和β2z中做變分計算。采用F1參數(shù)，變分結果顯示，能量極值點Emin=-87.28 MeV出現(xiàn)在β1x=β1y= 1.5、β1z=0.1、β2x=β2y=0.1、β2z=3.2 fm的位置，這比使用單形變參數(shù)得到的能量低了大約1.2 MeV。如果采用F2參數(shù)，在β1x=β1y=0.1、β1z= 2.3、β2x=β2y=2.8、β2z=0.1 fm的位置，我們可以得到極值能量Emin=-89.05 MeV，它也比使用單形變參數(shù)得到的能量低了大約1.4 MeV。這些通過推廣的THSR波函數(shù)得到的較低的能量極值點顯示，12C基態(tài)中的2α關聯(lián)是不可忽視的。

為了得到在容器圖像下12C基態(tài)的精確解，我們通過疊加2α+α THSR波函數(shù)來進行THSR-GCM的計算，

其中，β1=（β1x=β1y，β1z），β2=（β2x=β2y，β2z）。通過求解這樣的Hill-Wheeler方程，我們可以得到在使用F1和F2參數(shù)下，12C基態(tài)的能量收斂本征值分別為-87.98 MeV和-89.65 MeV。我們同樣計算了THSR-GCM波函數(shù)GCM（β1，β2）和單個歸一化的2α+α THSR波函數(shù)的重疊積分的平方，相關的結果都列在了表III中。

表III.Emin（β0）表示使用具有單形變參數(shù)β0的3α THSR波函數(shù)進行變分計算得到的極值能量。EGCM（β0）是對應的GCM能量［111］。Emin（β1，β2）表示使用具有兩形變參數(shù)的2α+α THSR波函數(shù)得到的極值能量。EGCM（β1，β2）是相應的GCM收斂能量本征值。其中GCM（β1，β2）和單個歸一化的2α+α波函數(shù)的重疊積分的平方也在表中列了出來。這里，SO=|〈min（β1，β2）|GCM（β1，β2）〉|2［127］。能量的單位為MeV。

參數(shù)Emin（β0）［111］Emin（β1，β2）完全3α求解EGCM（β0）［111］EGCM（β1，β2）SO F1-86.09-87.28-87.92［53］-87.81-87.980.975 F2-87.68-89.05-89.4［129］-89.52-89.650.978

與12C的3α THSR波函數(shù)相比，我們會發(fā)現(xiàn)包含2α關聯(lián)的2α+α THSR波函數(shù)在描述12C的基態(tài)方面有了很大的提高，得到的最低能量比使用3α THSR波函數(shù)低了1 MeV以上。即使THSR-GCM的計算結果也得到了一些改善。這表明，在容器圖像中，2α關聯(lián)在12C的基態(tài)中起著重要的作用。

進一步來看，在表III中，我們得到的重疊積分的平方，|〈min（β1，β2）|GCM（β1，β2）〉|2高達了98%。通常，通過增加參數(shù)來使得波函數(shù)變得更為精確是常用的方法。但是，高達98%的精確性卻是令人驚奇的，因為它表示擴展后的單個THSR波函數(shù)幾乎與精確的3α Brink-GCM或3α RGM波函數(shù)完全相等。這樣，緊致的三體結團基態(tài)結構在容器圖像下得到了很好的描述。進一步說，單個3α THSR波函數(shù)和THSR-GCM波函數(shù)的重疊積分大約為93%，然而通過引入2α關聯(lián)，對應的重疊積分的平方提高到了98%，這強有力的證明了12C基態(tài)中存在著重要的2α關聯(lián)效應。

最近，12C的5-態(tài)已經(jīng)在實驗上得到了證實，這似乎支持了12C中3α結團具有D3h對稱結構的觀點［130］。我們已經(jīng)知道基態(tài)的Brink-GCM波函數(shù)包含著重要的3α等邊三角形空間，即D3h對稱結構。由于THSR波函數(shù)幾乎100%與Brink-GCM波函數(shù)相等，因此我們可以認為，它同樣有一個重要的D3h對稱空間。需要注意的是，Brink-GCM波函數(shù)中并非只包含等邊三角形空間，同時還包含一些非等邊等腰三角形空間和非等腰三角形空間［53］。然而，由于主要的空間仍可看作是D3h對稱的，因此Brink-GCM波函數(shù)是可以描述Kπ=3-轉動帶的。在THSR波函數(shù)中存在的不是很強但是卻非常重要的2α關聯(lián)或許正是Brink-GCM波函數(shù)中包含的非D3h對稱成分的體現(xiàn)。現(xiàn)在，通過構造2α+α THSR波函數(shù)，我們提取出了基態(tài)的2α關聯(lián)，而這一點是很難在RGM/GCM模型中實現(xiàn)的。

對于Hoyle態(tài)，我們已經(jīng)知道它具有一種類氣態(tài)結團結構。事實上，單個的不包含2α關聯(lián)的3α THSR波函數(shù)幾乎100%與對應的RGM/GCM波函數(shù)相等［111］，這也反映了Hoyle態(tài)這種類氣態(tài)結團結構特征。另一方面，根據(jù)AMD計算56］，和態(tài)同樣可能具有較強的2α關聯(lián)。下一步，我們將利用這個擴展的2α+α THSR波函數(shù)對這些激發(fā)的0+態(tài)進行研究。

最近，結團容器模型已經(jīng)被推廣到了非nα核［131］和Λ超核［132］區(qū)域。

IX.總結與展望

原子核內(nèi)核子運動模式除了單粒子運動和集體運動以外，在輕核和一些中重核中，結團運動也是一種非常重要的運動模式。原子核結團結構的研究是當今國際原子核物理研究的一個熱點課題。一直以來，人們認為輕核中的結團結構具有類剛體的特點，這些結團在原子核中做局域的結團運動。本文采用了一個新的微觀結團波函數(shù)對原子核20Ne的α+16O結團結構進行了系統(tǒng)的分析和研究，并在此基礎上提出了一個原子核結團物理的新概念—非局域化結團，來理解原子核中的結團運動。

局域化結團運動是人們對原子核結團運動的一種傳統(tǒng)理解，其中，20Ne作為一個具有典型結團結構的原子核，它的α+16O結團結構產(chǎn)生的宇稱反轉雙重轉動帶一直以來都被認為是原子核局域化結團的有力證明。盡管如此，當我們使用推廣的THSR波函數(shù)對20Ne的基態(tài)轉動帶進行了成功的描述后，我們開始意識到非局域化結團運動的重要性。為了確定結團在原子核內(nèi)究竟是做局域化還是非局域化的結團運動，我們提出了一個新的Hybrid-Brink-THSR結團波函數(shù)。新構造的結團波函數(shù)在描述結團運動中具有明顯的優(yōu)勢，我們將描述結團關聯(lián)的新的維度引入到了這個波函數(shù)之中，并且，傳統(tǒng)的反映局域化結團特征的Brink波函數(shù)和具有非局域特點的THSR波函數(shù)都可以在這個新結團波函數(shù)的極限條件下自然得到。將這個新的結團波函數(shù)應用到20Ne的結團結構中，經(jīng)過變分計算后發(fā)現(xiàn)，20Ne的正宇稱轉動帶和負宇稱轉動帶得到了非常好的描述。同時，計算得到的20Ne的波函數(shù)是具有非局域特點的THSR-type波函數(shù)，這樣我們就證明了，20Ne中的α和16O結團實際上是在做非局域化的結團運動而非通常理解的局域化結團運動。我們進一步指出，非局域化結團是原子核結團結構的根本特征，結團可以在原子核中作相對自由的非局域運動，結團間距的產(chǎn)生根源于量子反對稱下的泡利阻塞效應而非傳統(tǒng)的局域結團結構。同時，我們還提出了容器圖像來理解結團非局域運動背后的動力學機制，并將其應用到12C的基態(tài)進行了研究。

目前，非局域化結團還是原子核結團物理中一個嶄新的概念，下一步我們將通過新提出的結團波函數(shù)對另外一些典型的原子核結團結構進行計算，如16O中的α+12C結團，24Mg中的16O+α+α結團等。通過對這些結團態(tài)的研究，我們可以進一步證實4n原子核中非局域化結團的概念和新的結團容器圖像。

致謝

感謝與Y.Funaki博士、H.Horiuchi教授、A. Tohsaki教授、P.Schuck教授、G.R¨opke教授、許昌副教授和T.Yamada教授的討論。

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The formation of clusters in nuclei is a fundamental aspect of nuclear many-body dynamics and it is also one of the most interesting phenomenon in nuclear physics.In this paper，we review the nuclear cluster development and some important nuclear cluster models.And based on the investigation of the inversion doublet bands of20Ne within a microscopic cluster model，we discuss a new concept，nonlocalized clustering，for understanding the cluster structures in nuclei.In the new picture（container picture），the clusters are nonlocalized and move around in the whole nuclear volume，only avoiding mutual overlap due to the Pauli blocking effect.The two-alpha correlation for the ground state of12C in the container picture is also discussed.The proposed concept of nonlocalized clustering or container picture is completely different from the traditional understanding of the localized clustering and it opens a door for exploring more complex cluster structures in nuclei.

Nonlocalized clustering in nuclear cluster physics

Zhou Bo1，Ren Zhong-Zhou2
1.Faculty of Science，Hokkaido University，Sapporo 060-0810，Japan 2.Department of Physics，Nanjing University，Nanjing 210093，China

Nuclear cluster model；Nonlocalized clustering；THSR model；Inversion doublet bands

date：2015-03-12

TN011

10.13725/j.cnki.pip.2015.03.001

*bo@nucl.sci.hokudai.ac.jp；?zren@nju.edu.cn

國家自然科學基金（批準號：11035001，10975072，10735010，11375086，11175085，11235001，11120101005）和中國973項目（批準號：2010CB327803，2013CB834400）資助項目。

1000-0542（2015）03-0107-40107

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原子核結團的非局域化運動

目錄

I.引言

II.原子核中的結團現(xiàn)象

III.原子核結團運動的微觀理解

IV.原子核微觀結團模型

V.新的微觀結團波函數(shù)

VI.20Ne（α-16O）的非局域化結團運動

VII.20Ne的宇稱反轉雙重轉動帶描述

VIII.原子核容器圖像下12C基態(tài)的2α關聯(lián)效應

IX.總結與展望