饒 柯 李 熠

分支理論研究修正耦合KdV方程的行波解

饒 柯 李 熠

現(xiàn)代科學(xué)中有許多非線性現(xiàn)象，例如流體力學(xué)中的非線性波動(dòng)，海洋中的突發(fā)海嘯，這些現(xiàn)象大多可以借助非線性發(fā)展方程來很好的描述。1895年荷蘭數(shù)學(xué)家克特韋格和德弗里斯從流力學(xué)的研究建立了描述淺水波的模型——KdV方程。為了更好的描述水波的運(yùn)動(dòng)過程，在本章中我們將研究耦合KdV方程，可以描述分層流體內(nèi)部波之間的近共振相互作用，我們將利用分支理論的方法給出其常微分系統(tǒng)的形式，畫出軌線圖，分析解的類型，得到耦合KdV方程的解析解。

修正的耦合KdV方程

在淺水波模型中水波的傳播一般由KdV方程來描述，但是在某些特定物理?xiàng)l件下，如在不同的水波分層中，其引起的雙折射會(huì)使得水波的偏振量出現(xiàn)不同的群速度從而可能導(dǎo)致水波的展寬甚至分裂，因此如何描述這種分層流體內(nèi)部之間的近共振相互作用，如何找到一種較好的解決方式，這都是我們要考慮的問題。在這種情況下，研究模型就變?yōu)轳詈螷dV方程，它在研究水波內(nèi)部分層之間相互作用方面有著重要的應(yīng)用。目前已經(jīng)有很多文獻(xiàn)研究了耦合KdV方程的解析解。1981年，Hirota提出下列耦合KdV方程用來描述水波之間的相互作用

這里α、β和b都是常數(shù)。Liu運(yùn)用奇次平衡法，給定一個(gè)特定的表達(dá)式，借助符號運(yùn)算，得到一系列的周期解和孤子解。在本章中，我們將考慮一個(gè)如下形式的耦合KdV方程

其中u 和v 分別是表示空間變量x 和時(shí)間變量t的函數(shù)，β是實(shí)數(shù)。通過分支理論的方法和定性分析，我們得到了新的解析解，包括尖端解，孤子解和橢圓函數(shù)周期解，同時(shí)得到新的拓展的橢圓函數(shù)解。

本文內(nèi)容安排如下：我們首先給出方程（2）的常微分系統(tǒng)形式，并通過分支理論的方法得到六組不同的方程的軌線圖。得到了同宿軌、異宿軌和周期閉軌，基于軌線圖，我們將求解出方程解的具體形式。

耦合KdV方程的解析解

關(guān)于ξ對方程（4）積分一次，我們得到

這里c1是積分常數(shù)。

然后將（5）式代入（4）式，并且關(guān)于ξ積分一次，我們得到

通過合適的參數(shù)變換，可以把積分常數(shù)c2化簡。

對系統(tǒng)經(jīng)行首次積分我們得到

這里h是積分常數(shù)?，F(xiàn)在我們討論系統(tǒng)（7）的軌線圖。

令M（ x0，y0）是系統(tǒng)（7）在平衡

點(diǎn)（x0，y0）和J（ x0，y0）近似矩陣的雅克比系數(shù)矩陣。顯然，在（x， y）平面上，系統(tǒng)（7）的平衡點(diǎn)的橫坐標(biāo)的零解方程是設(shè)）是系統(tǒng)（7）的平衡點(diǎn)之一。從平面系統(tǒng)的分支理論我們可以得到，如果J（ x?，0）＞0，那么平衡點(diǎn)（x?，0）可以判別為中心點(diǎn)；如果J（ x?，0）＜0，那么平衡點(diǎn)（x?，0）的類型為鞍點(diǎn)。根據(jù)以上的判斷，我們可以得到系統(tǒng)（7）的以下結(jié)論：

（1）如果q2＞4q ，p≠0且q＜0，如圖一所示，平面系統(tǒng)（7）有兩個(gè)鞍點(diǎn)和一個(gè)中心點(diǎn)系統(tǒng)存在兩條異宿軌鏈接著兩個(gè)鞍點(diǎn)，和一個(gè)周期閉軌圍繞著中心點(diǎn)（0，0），通過軌線圖我們可以知道方程（2）有一組扭結(jié)型或者是反扭結(jié)型的孤子解和一組橢圓函數(shù)周期解。

（2）如果q2＞4q ，p=0且q＜0，如圖2所示，我們可以得到系統(tǒng)（7）有兩個(gè)鞍（±-q，0）點(diǎn)和一個(gè)中心點(diǎn)（0，0）。通過軌線圖我們可以知道這就意味著方程（2）存在著一組扭結(jié)型或者是反扭結(jié)型的孤子解和一組橢圓函數(shù)周期解。

（3）如果q2＞4q 且q＞0，如圖3所示，系統(tǒng)（7）存在兩個(gè)中心點(diǎn)）和一個(gè)鞍點(diǎn)（0，0）。系統(tǒng)存在兩條同宿軌連接著鞍點(diǎn)O（0，0），和兩條周期閉軌圍繞著兩個(gè)中心點(diǎn)，通過軌線圖我們可以知道這就代表方程（2）存在兩組沖擊波類型的孤子解和三組橢圓函數(shù)周期解。

（4）如果q2＞4q 且q=0，如圖4所示，系統(tǒng)（7）只有兩個(gè)平衡點(diǎn)O（0，0）和通過分支理論和定性分析我們可以得到點(diǎn)O 和點(diǎn)P分別是鞍點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)。這就意味著方程存在著沖擊波類型的孤子解和扭結(jié)型的孤子解。

（5） 如果q2=4q，如圖5所示，系統(tǒng)（7）有兩個(gè)平衡點(diǎn)O（0，0）和通過分支理論和定性分析我們可以得到點(diǎn)P 和點(diǎn)O分別是鞍點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)。同上一個(gè)情況一樣，意味著方程存在著沖擊波類型的孤子解和扭結(jié)型的孤子解。

（6） 如果q2＜4q，如圖6所示，系統(tǒng)（7）只有一個(gè)平衡點(diǎn)O（0，0），通過軌線圖我們可以知道這代表方程只存在一組孤子解。

接下來，我們將會(huì)根據(jù)上述討論的結(jié)果，通過平面系統(tǒng)（7）的首次積分和橢圓函數(shù)方法來求得方程（2）的解析解。

（1）尖端解

當(dāng)h=0，p2＞4q 且q=0時(shí)，我們可以從圖4中看到，軌線圖中存在一個(gè)異宿軌連接著鞍

完全積分且對x進(jìn)行求解，我們可以的到尖端解的表達(dá)式如下所示：

當(dāng)h=0且p2=4q 時(shí)，我們從圖5中可以得知，同樣存在一條異宿軌連接著鞍點(diǎn)）和尖端點(diǎn)O（0，0）。那么在（x， y）平面上我們可以得到其表達(dá)式為：

（2）沖擊波類型的孤子解

當(dāng)h=g ，q2＞4q 且q＜0時(shí)，我們可以從圖一和圖二中得知，軌線圖上有兩條異宿軌連接著兩個(gè)鞍點(diǎn)和一組周期閉軌圍繞著中心點(diǎn)O（0，0）。那么在（x， y）平面上我們可以得到其表達(dá)式為：

從而我們得到?jīng)_擊波類型的孤子解u（ x， y ）和v（ x， y）分別如下所示：

當(dāng)h=0，q2＞4q 且q＞0時(shí)，我們可以從圖三中看到軌線圖中存在一組對稱的同宿軌線連接著鞍點(diǎn)O 。那么在（x， y）平面上我們可以得到同宿軌的表達(dá)式為：

接著求得x 的表達(dá)式

如圖4所示，當(dāng)h=0、p2＜4q 且c2=0時(shí)，方程等價(jià)于：

圖1　

圖2　

圖3　

圖4　

圖5　

圖6　

（3）橢圓函數(shù)周期解

當(dāng)h∈（0，g ），我們從圖一中可以看到，系統(tǒng)（7）存在一組周期閉軌。那么在（x， y）平面上我們可以得到這組周期解的表達(dá)式為：

這里

從（23）式中得

又因?yàn)閤=x（ξ）和ξ=kx-ct，我們得到關(guān)于耦合KdV方程的一組周期解：

當(dāng)h∈（-g ，0）時(shí)，我們從圖三中可以看到軌線圖中系統(tǒng)（7）的同宿軌中存在著兩組周期

的閉軌。那么在（x， y）平面上我們可以得到這組閉軌的表達(dá)式為：

這里ν1h和ν2h和由上式所給出的ρ1h和ρ2h一樣。

由上式我們可以得到

又因?yàn)閤=x（ξ）和ξ=kx-ct ，我們得到一組周期解：

當(dāng)h＞0時(shí)，我們從圖三可以看到在同宿軌線的最外層有一組閉合的周期軌線，那么

在（x， y）平面上我們可以得到這組周期解的表達(dá)式為：

結(jié)合上式，我們得到

因此我們得到一組橢圓函數(shù)周期解

結(jié)束語

本文運(yùn)用分支理論的方法和軌線圖對修正的耦合KdV方程進(jìn)行討論。在不同的參數(shù)下，討論了六種情形的軌線圖，基于軌線圖的性質(zhì)，運(yùn)用橢圓函數(shù)展開的方法，我們得到了相應(yīng)的解——尖端解、沖擊波解和周期解。

10.3969/j.issn.1001-8972.2015.15.001