李丹紅，阿達(dá)依·謝爾亞孜旦，丁 撼，馮 廣

（新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，烏魯木齊 830046）

球面漸開線齒形的弧齒錐齒輪建模及優(yōu)化*

李丹紅，阿達(dá)依·謝爾亞孜旦，丁 撼，馮 廣

（新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，烏魯木齊 830046）

綜合優(yōu)化以往研究方法的優(yōu)勢和特點(diǎn)，將球面漸開線理論應(yīng)用于建模中，提出了弧齒錐齒輪球面漸開線齒面的形成原理。從齒面的精確形狀出發(fā)，利用該理論求導(dǎo)了組成完整齒廓的各部分曲線以及齒線等重要曲線的參數(shù)化方程。同時(shí)，以掃略創(chuàng)建曲面、從點(diǎn)云創(chuàng)建曲面等CAD曲面設(shè)計(jì)功能為主體，分別提出了齒輪建模的新方案，即端面齒廓掃略建模、齒面離散點(diǎn)云建模，并就上述方案提出了各自相應(yīng)優(yōu)化方法。最后結(jié)合算例，表明了其建模及優(yōu)化方案得到的齒面模型精度高，為弧齒錐齒輪的快速精確建模提供了理論基礎(chǔ)和途徑。

球面漸開線；弧齒錐齒輪；齒廓曲線；參數(shù)化方程；CAD曲面設(shè)計(jì)功能；快速精確建模

0 引言

弧齒錐齒輪是一種齒面結(jié)構(gòu)很復(fù)雜的關(guān)鍵機(jī)械動(dòng)力傳動(dòng)部件，因重合度高具有承載能力強(qiáng)、傳動(dòng)平穩(wěn)、噪音小等諸多優(yōu)點(diǎn)［1-2］，被廣泛應(yīng)用于汽車、航空、機(jī)床、工程機(jī)械等制造工業(yè)領(lǐng)域?；↓X錐齒輪的模型設(shè)計(jì)，為螺旋錐齒輪的數(shù)字化制造提供基礎(chǔ)，支撐了其中的齒面接觸分析（TCA）和齒面誤差修正等關(guān)鍵技術(shù)，故其一直是研究領(lǐng)域的重點(diǎn)。目前，弧齒錐齒輪的建模研究成果都是以傳統(tǒng)的加工方法和齒輪嚙合原理為基礎(chǔ)，借助三維繪圖和數(shù)據(jù)分析與處理軟件完成的齒輪建模，存在著諸多不足，主要表現(xiàn)在建模精度較低：離散點(diǎn)提取過程中存在插值精度誤差；忽略了齒廓上的過渡圓角曲面的推導(dǎo)與處理；缺少了仿真加工后齒面的優(yōu)化與重構(gòu)；沒有進(jìn)行齒面偏差的測量與修正。

另外，弧齒錐齒輪設(shè)計(jì)的齒形存在誤差，具體表現(xiàn)為：它采用一種近似球面漸開線的齒形，齒輪接觸時(shí)在齒廓和齒長方向都存在開脫，在任意瞬間為點(diǎn)嚙合且接觸跡線通過齒面［3］，造成了傳動(dòng)比不穩(wěn)定嚙合不理想的現(xiàn)實(shí)問題。而在實(shí)際的弧齒錐齒輪傳動(dòng)中，齒廓是為以基錐頂點(diǎn)為球心的球面曲線［4］，并且球面漸開線齒形齒輪副能夠彌補(bǔ)近似球面漸開線齒形的不足。因此，本文避開了傳統(tǒng)的研究理論和加工方法［5］，利用球面漸開線理論于建模研究中，提出了弧齒錐齒輪球面漸開線齒面形成理論并完成了齒面方程的參數(shù)化推導(dǎo)。然后，以計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（CAD）中相關(guān)曲面設(shè)計(jì)功能為準(zhǔn)繩，探求了弧齒錐齒輪的多種建模新方案，且一一提出了多種優(yōu)化方案，以便達(dá)到建模的足夠精度，同時(shí)為弧齒錐齒輪的快速精確參數(shù)化建模創(chuàng)造條件。

1 球面漸開線齒面形成理論

如圖1所示，借助于球面漸開線理論，弧齒錐齒輪齒面的形成原理可以表述為：當(dāng)一圓形平面O與基錐面OK0N相切，且在基錐面上做純滾動(dòng)時(shí)，圓面上的曲線K0Kt在空間軌跡就形成了輪齒的齒面。其中圓面O為發(fā)生面，曲線K0N就是發(fā)生線，而曲線K0Kt則成為產(chǎn)形線。該產(chǎn)形線上端點(diǎn)K0和Kt所形成的空間軌跡為齒輪大小端的球面漸開線。同時(shí)，改變發(fā)生面O的半徑R和旋轉(zhuǎn)角度θ，就可提供了多種可行的建模方案。其中，球面漸開線K0Kt的方程可用線上任一點(diǎn)K的球面偏角βk表示為［10］：

在球面坐標(biāo)系中，可簡化為：

以上各式中，δk為球面漸開線上某點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的錐角，δb為基圓錐角。

圖1 球面漸開線齒面形成理論圖

2 端面齒廓掃掠建模

2.1 球面漸開線齒廓曲線的基本組成

如圖2所示，一個(gè)完整的球面漸開線弧齒錐齒輪的齒廓至少由四部分組成：S1段齒頂，S2段工作齒廓，S3段齒根，以及連接工作齒廓及齒根的S4段齒根過渡圓角。在弧齒錐齒輪的加工過程中，工作齒廓線所成的曲面由刀具的直線刃部分包絡(luò)展成，過渡曲線所構(gòu)成的過渡曲面，根據(jù)刀具形狀的不同，是由刀具齒頂尖或者齒頂圓角包絡(luò)形成的。

圖2 齒廓曲線的組成

2.2 齒廓曲線各部分的求解

（1）工作齒廓的求解。工作齒廓曲線S2是一段球面漸開線，根據(jù)球面漸開線齒面形成理論和推導(dǎo)方程，在齒輪大端可以表示為：

與S2對(duì)稱一側(cè)的工作齒廓曲線可表示為：

其余參數(shù)與S2一致。

（2）齒根和齒頂?shù)那髮?dǎo)。齒根曲線S4是齒根圓上的一段圓弧，故可以表示為：

同理，與之對(duì)稱的一側(cè)齒根曲線為：

其余各參數(shù)與與S4一致。而齒頂?shù)那蠼馀c齒根類似，只需將根錐角δf變成頂錐角δa，另將根錐齒厚角δfs變成頂錐齒厚角δas即可。

（3）小端齒廓曲線各部分的求解。相對(duì)于大端齒廓曲線，小端的齒廓曲線只是矢徑ρ和轉(zhuǎn)角φ發(fā)生了變化，其參數(shù)化方程可表示為：

上式中，B為齒寬。

2.3 齒廓曲線的形成

根據(jù)齒廓曲線的基本組成，其工作齒廓曲線為球面漸開線，故其可由球面漸開線齒面形成理論求解。在三維繪圖軟件中繪制并裝配好相切的發(fā)生面與基錐模型，利用旋轉(zhuǎn)功能，模擬大端面端點(diǎn)K0和Kt的空間運(yùn)動(dòng)軌跡就可得出其大小端面完整的端面齒廓曲線。

至于齒頂和齒根，由于是齒頂圓和齒根圓上的一段圓弧，可以根據(jù)相關(guān)參數(shù)方程直接繪制。而連接工作齒廓和齒根的過渡圓角曲線，其繪圖時(shí)則需要通過倒角圓方法進(jìn)行處理：

式中，mne為法向模數(shù)，Rb為基圓錐半徑，Rf為齒根圓半徑，r′為最大刀尖圓角半徑，系數(shù)η≥1。

2.4 引導(dǎo)線的方程求解

弧齒錐齒輪的節(jié)錐與齒面的交線稱為節(jié)線，其表示了齒輪的縱向齒形。在平面內(nèi)，齒輪的節(jié)線稱為齒線，真實(shí)的反映了齒輪的弧線形狀，故可以作為引導(dǎo)線。圖3表示了弧齒錐齒輪的齒線，其中左圖表示了加工狀態(tài)時(shí)齒線形成過程，而右圖是其幾何示意圖。令r0為刀盤半徑，點(diǎn)O到O1表示刀位，β為名義螺旋角，可用節(jié)線上任意一點(diǎn)的螺旋角β′和錐距R′來表示齒線方程：

圖3 弧齒錐齒輪的齒線

2.5 端面齒廓掃掠建模及優(yōu)化方案

如圖4所示，在繪圖軟件（如pro/E、UG）中，根據(jù)已經(jīng)求導(dǎo)的參數(shù)化方程，由端面齒輪廓曲線的沿齒線方向的掃掠就可完成建模，大致有以下幾個(gè)步驟：①創(chuàng)建齒輪的基錐。②構(gòu)造大小端的齒廓曲線。③繪制引導(dǎo)線。④進(jìn)行掃掠和陣列操作，前者完成單個(gè)齒面，后者完成所有齒面的模型。

圖4 端面齒廓曲線掃描建模

為了保證模型設(shè)計(jì)的足夠精度，在該種建模方法的基礎(chǔ)上可以作如下改進(jìn)。

（1）截面齒廓曲線串插值。在已經(jīng)求導(dǎo)的大小端齒廓之間，以齒線為參考基準(zhǔn)，可等值改變矢徑ρ變化量，使其在齒線方向上存在若干等距離的齒廓曲線，參數(shù)改變?yōu)椋?/p>

上式中，ΔL為每次插值的距離改變量，可適當(dāng)取值，t為所插入曲線的數(shù)目。

（2）適當(dāng)增加引導(dǎo)線。例如在圖5中，齒面上一側(cè)齒頂線a和b的求解，可看作是沿齒線點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，可表示為：

同理，根據(jù)過渡圓角和齒根圓的起始點(diǎn)坐標(biāo)，通過改變矢徑ρ的變化量，依次可以求出齒面上相應(yīng)的齒根圓角線c和d、齒根線e。

圖5 添加的引導(dǎo)曲線

3 齒面離散點(diǎn)云建模

3.1 弧齒錐齒輪齒面離散點(diǎn)的求取

基于相關(guān)的參數(shù)化方程等份求取齒面的U線和V線的方程，然后聯(lián)立二者方程求取交點(diǎn)，就可以得出齒面網(wǎng)格曲線及其交點(diǎn)構(gòu)成的均勻分布的離散點(diǎn)。如圖6所示，將齒面選取了7×7個(gè)均勻分布的離散點(diǎn)，其中U線和V線都是7條。

（1）U線的參數(shù)方程。在求取的產(chǎn)形線上根據(jù)Rn變化值獲取均勻的N等分點(diǎn)，其中，取N等分點(diǎn)可以由以下公式確定：

根據(jù)求取的齒廓曲線參數(shù)化方程，求取各點(diǎn)在形成齒面的過程中的運(yùn)動(dòng)軌跡即為U線的方程表達(dá)式。

（2）V線的參數(shù)方程。根據(jù)以求的端面齒廓中齒面部分的參數(shù)化方程，可同樣等值等距獲取N等分點(diǎn)，然后只需適當(dāng)改變矢徑ρ，即：

就可以快速得到齒長方向的一組等距曲線即為V線的參數(shù)方程表達(dá)式。

（3）離散點(diǎn)的求取。聯(lián)立U線和V線的參數(shù)方程組，得出其交點(diǎn)的參數(shù)方程，然后可輸入一些數(shù)據(jù)處理軟件（如MATLAB、CAXA）等，進(jìn)行齒面離散點(diǎn)信息的求取并輸出點(diǎn)的數(shù)據(jù)，構(gòu)成一個(gè)后綴為“.dat”文件。

圖6 齒面離散點(diǎn)的求取與邊界

3.2 相關(guān)設(shè)置及齒面離散點(diǎn)云的邊界求解

在創(chuàng)建齒面的過程中，U向和V向階次可以適當(dāng)選取，一般選取三次或三次以下的曲線表達(dá)式，而補(bǔ)片類型可選單個(gè)，沿U向和V向封閉。另外，齒面點(diǎn)云的邊界是一個(gè)重要環(huán)節(jié)，可以通過如下方式獲得：如圖6所示，齒面邊界其實(shí)就是齒面與大端面、小端面、頂錐面、根錐面等四個(gè)面的相交線，而這四條邊界曲線可以根據(jù)已經(jīng)求得的參數(shù)方程依次求得。

3.3 齒面離散點(diǎn)云建模及優(yōu)化方法

齒面離散點(diǎn)云創(chuàng)建齒面的建模過程大致為：先通過讀取齒面離散點(diǎn)的數(shù)據(jù)文件獲取點(diǎn)信息依次創(chuàng)建出組齒面各個(gè)片體，利用縫合技術(shù)完成單個(gè)齒面的創(chuàng)建，然后利用相關(guān)參數(shù)快速創(chuàng)建齒坯模型，最后通過單個(gè)齒面與齒坯的布爾運(yùn)算得出單齒，再通過陣列就可完成整個(gè)弧齒錐齒輪的建模。為了進(jìn)一步提高建模的精度，可以通過如下方法進(jìn)行改進(jìn)：

（1）完成一體化整個(gè)輪齒的齒面離散點(diǎn)求取和建模。點(diǎn)的求取范圍不只僅僅包括輪齒凹面或凸面的離散點(diǎn)，而是將齒頂面、齒根面、凹凸面、大小端面一起作為單個(gè)齒面載體，根據(jù)已經(jīng)求解的精確方程，完成一體化的均勻分布整個(gè)輪齒的離散點(diǎn)信息的提取。這樣，減少了各部分齒面的反復(fù)提取過程和縫合，提高了效率；也避免了曲面片縫合過程中和數(shù)據(jù)多次處理中的累積誤差，提高了精度。

（2）進(jìn)行非均勻有理B樣條（NURBS）齒面重構(gòu)處理。在得到齒面模型后，可以利用NURBS蒙皮技術(shù)完成齒面重構(gòu)，然后利用能量法或者小波分析進(jìn)行光順處理，以進(jìn)一步優(yōu)化齒面，提高齒面的光順度和精度。很顯然，根據(jù)齒面離散點(diǎn)求取過程中的U線和V線構(gòu)成齒面交線網(wǎng)格，可以構(gòu)成一個(gè)NURBS曲面。其中，由U向和V向的兩個(gè)參數(shù)變量（u，v）可以形成分段有理多項(xiàng)式，故其NURBS曲面可以定義為：

4 算例

根據(jù)球面漸開線齒面形成理論和CAD曲面設(shè)計(jì)功能，本文給出了由齒面離散點(diǎn)云建模及優(yōu)化方案所得出的算例。如圖7所示，左圖是弧齒錐齒輪的模型，右圖是利用NURBS方法［8］重構(gòu)的一側(cè)齒面，并通過齒面分析得出的高斯云圖可以看出，其齒面光順性好，精度高。另外，利用齒面一系列均勻分布的離散點(diǎn)與理論點(diǎn)值的一一作數(shù)值比較，求解出最終的各個(gè)方案的建模精度。如圖8所示，三種建模都具足夠高的建模精度，其中最大的齒面誤差為0.00713mm，最小的為0.00434mm，而三種建模方案的平均誤差為0.00546mm，0.00603mm，0.00529mm，大大提高了齒面建模精度。

圖7 齒輪模型和齒面NURBS重構(gòu)及高斯云圖

圖8 三種建模及優(yōu)化方案的建模精度比較

5 結(jié)論

本文提出的球面漸開線齒面形成理論，更加簡單快捷，且實(shí)用性強(qiáng)。尤其是以CAD曲面設(shè)計(jì)功能為主進(jìn)行建模，是對(duì)以往的研究方法取長補(bǔ)短并推陳出新，減少了以前繁雜繪圖和大量計(jì)算的時(shí)間。通過球面漸開線齒面形成理論，能快速精確的完成齒面方程的顯示表達(dá)，并能通過NURBS等方法進(jìn)行優(yōu)化和處理，大大提高了建模的精度，也為弧齒錐齒輪參數(shù)化和多元化設(shè)計(jì)提供途徑。另外，這些建模方案為更廣泛的弧齒錐齒輪加工創(chuàng)造了條件。首先，利用該形成原理將產(chǎn)形線作為刀盤刀刃與工件齒坯做切齒運(yùn)動(dòng)，完成球面漸開線的空間運(yùn)動(dòng)可切出齒面完成輪齒加工，在此方面有吉林大學(xué)的科研團(tuán)隊(duì)開始實(shí)驗(yàn)研究并以得了成果。其次，其精確地參數(shù)化齒輪模型為齒面接觸分析（TCA）等數(shù)字化加工關(guān)鍵技術(shù)提供有效的齒面信息。另外，其NURBS齒面重構(gòu)中的齒面離散點(diǎn)所在的曲線網(wǎng)格，還可為通用機(jī)床的錐齒輪數(shù)控加工乃至NURBS加工中刀具路徑計(jì)算和規(guī)劃提供基礎(chǔ)。

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（編輯 李秀敏）

其中，pij是控制網(wǎng)格上的頂點(diǎn)即交點(diǎn)，wij是頂點(diǎn)的權(quán)因子，Ni，ku（u）是在交點(diǎn)區(qū)間內(nèi)的第i個(gè)ku次樣條基函數(shù)，Nj，kv（v）是在交點(diǎn)區(qū)間內(nèi)的第j個(gè)kv次樣條基函數(shù)。

Modeling and Optimizations of the Spherical Involute Tooth Profile for the Spiral Bevel Gears

LI Dan-hong，ADAYI·Xieeryazidan，DING Han，F(xiàn)ENG Guang
（School of Mechanical Engineering，Xinjiang University，Urumqi833046，China）

Principle of forming spherical involute tooth surface about the spiral bevel gear was proposed with the application of the spherical involute theory in the modeling，on the basis of comprehensive optimization of advantage and characteristics of previous research methods.From a complete tooth profile curve，the quick and accurate derivations of basic parametric equation of each part of the tooth profile curve were made by the principle.Besides，the important tooth line were done.At the same time，on the base of some CAD features about sculptured surface namely by sweeping to found surfaces，and creating a surface from the point cloud，some new approaches were correspondingly proposed，which were sweeping from tooth profile，and discrete point cloud on the tooth surface.And it accordingly made optimization methods for the program proposed.At last，through the given examples，these approaches have been proven that gear model have high accuracy，fast efficiency that can provide some theoretical foundation and means for fast and accurate modeling of spiral bevel gears.

the spherical involute；spiral bevel gears；tooth profile curve；parametric equations；CAD features about sculptured surface；fast and accurate modeling

TH122；TG506

A

1001-2265（2015）01-0009-04 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.01.003

2013-12-07；

2014-05-09

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（50965017）

李丹紅（1990—），女，新疆昌吉人，新疆大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)镃AD/CAM及先進(jìn)制造技術(shù)，（E-mail）1561179874@qq.com；通訊作者：阿達(dá)依·謝爾亞孜旦（1963—），男，新疆阿勒泰人，新疆大學(xué)教授，研究方向?yàn)樘胤N加工、先進(jìn)設(shè)計(jì)及制造技術(shù)方法，（E-mail）adayxj@126.com。