吳柏華，毛范海，董惠敏

（大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧大連 116024）

深溝球軸承元件幾何誤差對回轉(zhuǎn)精度的影響*

吳柏華，毛范海，董惠敏

（大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧大連 116024）

根據(jù)深溝球軸承元件運動幾何關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，空載下對軸承運動狀態(tài)進(jìn)行數(shù)值仿真和模擬，分析了深溝球軸承滾球直徑誤差、內(nèi)外圈滾道圓度誤差對回轉(zhuǎn)精度的影響規(guī)律。結(jié)果表明，隨著單一滾球誤差的增加，軸承回轉(zhuǎn)精度變差；多個滾球存在誤差時，隨著滾球的誤差梯度增加，軸承回轉(zhuǎn)精度變差；內(nèi)外圈滾道分別存在幾何形狀誤差時，誤差階次不變，隨著誤差幅值的增加，軸承回轉(zhuǎn)精度變差；誤差幅值不變，隨著誤差階次的增加，內(nèi)外圈滾道誤差階次與滾球數(shù)目具有周期性的映射關(guān)系。

深溝球軸承；元件；幾何誤差；回轉(zhuǎn)精度

0 引言

滾動軸承作為一種應(yīng)用廣泛的基礎(chǔ)件，其性能指標(biāo)直接影響整個系統(tǒng)的精度、可靠性及壽命等。評價軸承重要指標(biāo)之一是軸承回轉(zhuǎn)精度。Wardle［1-2］推導(dǎo)出關(guān)于表面波紋度的波長和幅值與振動力的關(guān)系式。從理論分析和試驗的角度來研究了推力載荷下球軸承元件表面波紋度對振動力和恒定轉(zhuǎn)速下振動頻率的影響。Ono［3-4］建立了球軸承兩自由度的力學(xué)模型，分析了球以及外圈滾道表面波紋度對軸心的振動特性的影響規(guī)律。Okamoto［5］通過實驗和數(shù)值模擬計算你的方法研究了軸承零件形狀誤差和軸心軌跡的關(guān)系，并給出了重復(fù)性跳動和非重復(fù)跳動的實驗結(jié)果。但只是研究了外圈誤差以及球的直徑誤差以及數(shù)量對軸心軌跡的影響規(guī)律。Noguchi［6］通過理論和實驗的方式描述了軸承內(nèi)外圈滾道和滾球不同誤差形式和大小對軸承非重復(fù)性跳動的影響。但是模型中沒有考慮接觸角變化以及離心力的影響。國內(nèi)方面，史文祥［7］以圓柱滾子軸承為模型，提出了對于外圈轉(zhuǎn)動過程中預(yù)測旋轉(zhuǎn)精度的方法，分析了外圈滾道存在誤差的情況下外圈跳動量和滾道誤差諧波階次以及諧波系數(shù)之間的關(guān)系。宋飛［8］建立了基于內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)分析內(nèi)圈滾道誤差、游隙、滾子個數(shù)對旋轉(zhuǎn)精度影響的模型，得到了相關(guān)結(jié)論。趙惠玲［9］等人從滾動軸承振源入手，運用回歸分析的方法得出軸承制造精度如內(nèi)外套圈滾道圓度和波紋度與振動值的關(guān)系式。李傳順［10］建立了用于分析深溝球軸承非重復(fù)性跳動的五自由度靜力學(xué)模型，但是模型較為復(fù)雜，且是在作用外載荷的情況下分析非重復(fù)性跳動規(guī)律。王寶坤［11］通過迭代初始給定軸心坐標(biāo)，判定有效接觸實現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)軸心坐標(biāo)的確定，從而研究圓柱滾子軸承幾何誤差對軸心軌跡的影響規(guī)律。目前，對于各元件誤差對幾何精度的影響規(guī)律及映射關(guān)系的研究尚不成熟，采用的力學(xué)模型復(fù)雜、求解方法收斂性不佳。

本文引入函數(shù)描述元件幾何誤差，建立空載下考慮幾何誤差的深溝球軸承回轉(zhuǎn)精度分析的數(shù)學(xué)模型。研究滾球單一直徑誤差及多種誤差對回轉(zhuǎn)精度特性的影響規(guī)律，對從軸承零件裝配組合方面提高軸承精度的研究提供理論基礎(chǔ)。

1 軸承回轉(zhuǎn)精度數(shù)學(xué)模型建立

1.1 模型假設(shè)

為簡化計算，建立軸承力學(xué)模型有以下假設(shè)：

①滾球僅存在直徑尺寸誤差。②套圈滾道存在尺寸誤差與幾何形狀誤差。③采用剛性套圈，即滾球與滾道的接觸作用不會引起套圈整體變形，滾球只作純滾動。④不考慮彈流潤滑條件以及接觸角變化?；谝陨霞僭O(shè)，將軸承三維模型簡化為二維模型。

1.2 軸承元件幾何誤差簡化描述

滾球直徑誤差用離散的誤差值表示。內(nèi)外圈滾道誤差采用傅里葉級數(shù)表示：

其中：θ為滾道位置角；R（θ）為θ處的半徑值；D為滾道標(biāo)準(zhǔn)圓直徑，k為滾道幾何形狀誤差階次；αk為滾道誤差函數(shù)初始相位。內(nèi)、外圈滾道實際輪廓半徑分別表示為Ri、Re。由上式可知，滾道實際輪廓就是標(biāo)準(zhǔn)圓與多個不同周期變化的正弦曲線疊加而成。

1.3 坐標(biāo)系建立

不考慮保持架、套圈擋邊的影響，將滾球、內(nèi)外圈滾道作為分析對象，將各元件放到所建立的坐標(biāo)系中進(jìn)行分析計算。坐標(biāo)系系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 坐標(biāo)系系統(tǒng)

外圈固定，內(nèi)圈轉(zhuǎn)動情況下，整體坐標(biāo)系（O-XY）是以外圈滾道最小二乘圓心為原點建立的，X Y平面與滾道徑向平面重合，Z向沿軸承軸向。以內(nèi)圈滾道最小二乘圓心為原點建立局部坐標(biāo)系（Or-XrYr）。設(shè)轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系X方向夾角為β，即內(nèi)圈轉(zhuǎn)過角度為β，以逆時針方向為正。Δx，Δy為內(nèi)圈圓心相對于整體坐標(biāo)原點的變化量。

坐標(biāo)變換的一般形式為：

1.4 軸承元件運動幾何關(guān)系

根據(jù)假設(shè)條件，內(nèi)圈轉(zhuǎn)動過程中，滾球相對于外圈滾道作純滾動。內(nèi)圈轉(zhuǎn)過角度β，滾球公轉(zhuǎn)角度為α。β與α之間的函數(shù)關(guān)系：

式中，Di，Dr分別為內(nèi)圈滾道直徑，滾球理論直徑。初始狀態(tài)下，滾球位置分布角度：

內(nèi)圈中心無偏心位移時，坐標(biāo)系O-XY中，滾球位置角為：

坐標(biāo)系Or-XrYr中，滾球位置角為：

當(dāng)內(nèi)圈圓心相對于軸心變化量為Δx，Δy時，坐標(biāo)系O-XY中，滾球位置角為：

式中Re（θ′）為外圈滾道實際輪廓函數(shù)。

坐標(biāo)系Or-XrYr中，滾球中心處半徑為：

上式中Dwk為滾球?qū)嶋H直徑，

其中，Δδk為滾球直徑誤差，k=1～N為滾動體個數(shù)。

2 數(shù)學(xué)模型求解

通過建立的數(shù)學(xué)模型，對深溝球軸承在無載荷作用下的運動狀態(tài)進(jìn)行仿真分析，程序流程圖如圖2所示。

圖2 程序流程圖

（1）輸入相關(guān)參數(shù)。輸入軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)、滾球直徑誤差、內(nèi)外圈滾道誤差、確定轉(zhuǎn)動步長后根據(jù)式（3）～（8）計算每一轉(zhuǎn)動角度下滾球的位置分布角以及相應(yīng)位置的內(nèi)外圈滾道半徑值。

（2）滾球與滾道有效接觸的判定。將Lk=Rmk-Ri-0.5Dwk作為接觸判定條件，若Lk＞0表示滾球與內(nèi)圈接觸；若Lk=0，表示剛好接觸；若Lk＜0表示無效接觸。

穩(wěn)定狀態(tài)即為LK中至少有兩個元素為0。其他的均要大于0；以Y向正向為主方向，則發(fā)生有效接觸滾球分布在Y軸兩側(cè)。

（3）最優(yōu)穩(wěn)態(tài)判定。在多種穩(wěn)定狀態(tài)中找出最佳的穩(wěn)定狀態(tài)，即為最優(yōu)穩(wěn)態(tài)判定。將有效接觸滾球的中心和內(nèi)圈移動坐標(biāo)的原點相連，求解所有連線與Y軸的斜率絕對值之和，所求結(jié)果越小，表明滾球與Y軸的夾角越小，容易達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

（4）評價指標(biāo)的計算。隨著內(nèi)圈每轉(zhuǎn)過一定角度，就可求得相應(yīng)的內(nèi)圈中心坐標(biāo)值，內(nèi)圈 轉(zhuǎn)過整周就可得到整個周期的中心坐標(biāo)值。徑向跳動指的是同一徑向方向最大距離與最小值距離之差。本文精度分析指標(biāo)指的是X、Y向移動量和跳動量。

3 算例及結(jié)果分析

以深溝球軸承6312為例，采用本文所建立的深溝球軸承回轉(zhuǎn)精度模型，研究滾球直徑誤差、內(nèi)圈與外圈滾道幾何形狀誤差對軸承回轉(zhuǎn)精度的影響。軸承6312的結(jié)構(gòu)參數(shù)及材料屬性如表1所示。

表1 軸承的結(jié)構(gòu)參數(shù)

3.1 不考慮元件誤差軸承回轉(zhuǎn)精度各項指標(biāo)計算

不考慮滾球直徑誤差，內(nèi)外圈滾道的幾何形狀誤差，內(nèi)圈轉(zhuǎn)動情況下，滾球隨著內(nèi)圈的轉(zhuǎn)動而發(fā)生公轉(zhuǎn)。Y向為內(nèi)圈移動主方向。

本算例中，各個方向計算結(jié)果見表2，其中Ymax表示內(nèi)圈中心Y向最大移動量，Ymin表示Y向最小移動量，Tdy表示Y向跳動值；Xmax表示X向最大移動量，Xmin表示X向最小移動量，Tdx表示X向跳動值。X向、Y向移動量變化趨勢如圖3所示。

表2 無誤差各精度指標(biāo)結(jié)果（μm）

由結(jié)果可知，Y向跳動小于X向跳動。這是由于Y向是主方向所導(dǎo)致的。

圖3 元件無誤差計算結(jié)果圖

由圖3可知，由于滾球公轉(zhuǎn)，內(nèi)圈在Y向移動量大，X向則呈現(xiàn)波動變化，Y向呈現(xiàn)周期變化。內(nèi)圈在主方向跳動量小。

3.2 滾球幾何形狀誤差與回轉(zhuǎn)精度特性計算分析

為研究滾球直徑誤差對軸承回轉(zhuǎn)精度的影響，給出不同的滾球直徑誤差狀況，見表3。

表3 滾球直徑幾何尺寸誤差（μm）

按照表3中誤差狀況進(jìn)行分析，（a）是單一滾球直徑誤差變化對回轉(zhuǎn)精度的影響；（b）誤差有18組，各組之間變化梯度為0.1μm，每組各個滾動體誤差變化分別為+0.1～+1.8μm。通過計算，得到圖4。

圖4 Case1-a計算結(jié)果圖

圖5 Case1-b計算結(jié)果圖

由圖4可知，對于Y向指標(biāo)，單一滾球直徑誤差為負(fù)值時，誤差越小，Y向最小移動量不變，最大移動量線性減小，直徑誤差為正時，則變化趨勢相反。對于X向指標(biāo)，單一滾球直徑誤差為負(fù)值時，誤差越小，X向最大移動量線性減小，最小移動量線性增加，直徑誤差為正時，則變化趨勢相反。結(jié)果表明，套圈的移動量與滾球直徑誤差大小緊密相關(guān)，單一滾球誤差越大，軸承旋轉(zhuǎn)回轉(zhuǎn)精度越差。

由圖5可知，隨著單一滾球誤差梯度增加，內(nèi)圈X向最小移動量和Y向最大移動量趨于穩(wěn)定，X向最大移動量線性增加，Y向最小移動量線性減小。由此可知，隨著滾球間誤差梯度的增加，軸承的回轉(zhuǎn)精度將逐漸變差。

3.3 內(nèi)圈滾道幾何形狀誤差與回轉(zhuǎn)精度特性分析

為分析內(nèi)圈滾道誤差對回轉(zhuǎn)精度的影響，給出內(nèi)圈滾道誤差變化狀況，見表4。

表4 內(nèi)圈滾道幾何形狀誤差（μm）

按照表4進(jìn)行分析，得到分析圖如圖6、圖7所示。

由圖6可知，對于三棱圓、十棱圓，誤差幅值的增加會使內(nèi)圈X向和Y向最大移動量增加，最小移動量減小，變化均趨近于線性。因此，誤差幅值的增加使得軸承回轉(zhuǎn)精度變差。

由圖7可知，內(nèi)圈滾道誤差階次為滾球數(shù)目一半的偶數(shù)倍時，Y向跳動量處于波峰值，X向跳動量處于波谷值；誤差階次為軸承滾球數(shù)目一半的奇數(shù)倍時，變化趨勢則相反。軸承內(nèi)圈移動量、內(nèi)圈滾道誤差階次以及滾球數(shù)目具有周期性的映射關(guān)系。

圖6 Case2-a計算結(jié)果圖

圖7 Case2-b計算結(jié)果圖

3.4 外圈滾道幾何形狀誤差與回轉(zhuǎn)精度特性分析

為分析外圈滾道誤差對回轉(zhuǎn)精度的影響，給出外圈滾道誤差變化狀況，見表5。

表5 外圈滾道幾何形狀誤差（μm）

按照表5進(jìn)行分析，得到分析圖如圖8、圖9所示。

圖8 Case3-a計算結(jié)果圖

由圖8可知，與內(nèi)圈滾道對軸承回轉(zhuǎn)精度影響規(guī)律一致，外圈滾道誤差階次一定時，隨著誤差幅值增加，軸承回轉(zhuǎn)精度逐漸變差。

圖9 Case3-b計算結(jié)果圖

由圖9可知，對于外圈滾道誤差，當(dāng)誤差階次低于4階時，誤差階次對X向、Y向跳動影響較小，隨著誤差階次的增加，外圈滾道誤差階次為滾球數(shù)目一半的偶數(shù)倍時，Y向跳動處于波峰值，X向跳動量處于波谷值，誤差階次為軸承滾球數(shù)目一半的奇數(shù)倍時，變化趨勢則相反。這一變化規(guī)律與內(nèi)圈滾道誤差階次對軸承回轉(zhuǎn)精度影響規(guī)律基本一致。

4 結(jié)論

基于所建立的回轉(zhuǎn)精度分析模型，編制相關(guān)的程序進(jìn)行各因素的分析計算，結(jié)果表明：

（1）單一滾球誤差對軸承回轉(zhuǎn)精度影響很大，隨著滾球誤差值的增加，軸承回轉(zhuǎn)精度變差。多個滾球存在誤差時，隨著滾球的誤差梯度增加，軸承回轉(zhuǎn)精度變差。

（2）內(nèi)外圈滾道誤差對軸承回轉(zhuǎn)精度影響規(guī)律基本一致，誤差階次不變，隨著誤差幅值增加，軸承精度變差；誤差幅值不變情況下，隨著誤差階次的增加，X向、Y向跳動規(guī)律呈現(xiàn)周期性變化，與滾球數(shù)目成映射關(guān)系。

（3）合理的排布誤差滾球和選擇內(nèi)外圈滾道圓度誤差諧波階數(shù)，可以減小軸承徑向跳動值，提高軸承的回轉(zhuǎn)精度。

［1］Wardle FP.Vibration forces produced by waviness of the rolling surfaces of thrust loaded ball bearings Part1：theory. Proc Instn Mech Engrs 1988；202（C5）：305-312.

［2］Wardle F P.Vibration forces produced by waviness of the rolling surfaces of thrust loaded ball bearings Part2：experimental validation［J］.Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers，Part C：Journal of Mechanical Engineering Science，1988，202（5）：313-319.

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［7］史文祥.基于外圈廓形的軸承旋轉(zhuǎn)精度計算及統(tǒng)計分析［D］.河南：河南科技大學(xué)，2011.

［8］宋飛.基于內(nèi)圈廓形和徑向載荷的軸承旋轉(zhuǎn)精度預(yù)測［D］.河南：河南科技大學(xué)，2011.

［9］趙惠玲，賈峰一，李旭東，等.套圈制造精度對滾動軸承振動與噪聲的影響［J］.軸承，2003（12）：31-33.

［10］李傳順，毛范海.深溝球軸承元件幾何誤差對非重復(fù)性跳動影響［J］.組合機(jī)床與自動化加工技術(shù)，2013（11）：9-13.

［11］王寶坤.圓柱滾子軸承元件幾何誤差對軸承性能的影響［D］.大連：大連理工大學(xué)，2013.

（編輯 李秀敏）

Effects of Geometric Error of Deep-Groove Ball Bearing on Running Accuracy

WU Bai-hua，MAO Fan-hai，DONG Hui-min
（School of Mechanical Engineering，Dalian University of Technology，Dalian Liaoning 116024，China）

Based on the relationship between the movement and geometry of deep groove ball bearing elements，a mathematical model was established to simulate the motion state of deep groove ball bearing under unloaded.Taking the ball diameter error，inner and outer ring raceway roundness error into consideration to analysis the influence of the rotation accuracy.The results show that the rotation accuracy of bearing would be low when with the increasing of single ball errors；the rotation accuracy of bearing would be low when multiple ball exist error which with the increasing of the error gradient；the rotation accuracy of bearing would be low with the increasing of the amplitude of error when the inner and outer ring raceway geometry errors exist，but the flaps number of error was constant；there has been a periodic mapping relationship between inner/outer ring raceways flaps number of error and the number of ball when the flaps number of error was increased，but the amplitude of error was constant.

deep-groove ball bearings；element；geometrical errors；running accuracy

TH133.33；TG65

A

1001-2265（2015）01-0022-04 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.01.007

2014-04-17

國家自然科學(xué)基金（51375065）

吳柏華（1988—），男，武漢人，大連理工大學(xué)碩士研究生，研究方向為滾動軸承及軸系精度特性與剛度特性研究，（E-mail）berwalled@ sina.com。