【摘要】本文簡要回顧了期望效用（EU）理論以及反映投資者風(fēng)險偏好的具體效用函數(shù)形式，并給出了EU理論在單期投資組合優(yōu)化中的簡單應(yīng)用，文章最后討論了EU理論的缺點及Allias悖論。

【關(guān)鍵詞】期望效用理論 效用函數(shù) 投資組合優(yōu)化

發(fā)端于19世紀(jì)70年代的“邊際革命”將經(jīng)濟學(xué)的研究對象從社會財富的創(chuàng)造轉(zhuǎn)化為了對人的經(jīng)濟活動的邊際效用分析。經(jīng)濟學(xué)被重新定義為“快樂和痛苦的微積分學(xué)”。以主觀效用為基礎(chǔ)的微觀經(jīng)濟理論體系使經(jīng)濟學(xué)從馬爾薩斯時代的“沉悶的科學(xué)”變?yōu)榱恕靶腋５臄?shù)理表達”。20世紀(jì)中期誕生的期望效用（Expected Utility， EU）理論將效用的分析從確定性環(huán)境帶入了不確定性環(huán)境，成為了理性人在不確定性環(huán)境下的決策準(zhǔn)則。

一、期望效用理論（EU）簡述

（一）風(fēng)險與不確定性

期望效用理論描述理性人在風(fēng)險或不確定性環(huán)境下的消費（投資）選擇。“風(fēng)險”及“不確定性”二詞在大多數(shù)情況下可以相互替代使用，但有些經(jīng)濟學(xué)教科書也討論了二者間的細微差異。風(fēng)險與不確定性均用于描述一個決策的后果由于缺乏充分信息而并非確定獲知的情況。若一個決策是在風(fēng)險下做出的，則意味著決策者能夠列出該決策可能產(chǎn)生的所有后果及其相對應(yīng)的可能性（概率）。如果一個決策是在不確定性下做出的，則意味著該決策產(chǎn)生的所有可能后果或其可能性是無法預(yù)測的。以統(tǒng)計學(xué)的觀點來看，風(fēng)險意味著決策者對于決策結(jié)果的概率分布是已知的，而不確定性則相反。所以從嚴(yán)格意義上說，EU理論討論的是決策者在風(fēng)險環(huán)境下的選擇。

（二）效用函數(shù)與期望效用理論

微觀經(jīng)濟學(xué)中，效用函數(shù)用于衡量消費者在不同消費束中獲得的滿足感。從任何消費束獲得的效用取決于其對應(yīng)的特定狀態(tài)。比如人們從一把傘中獲得的效用取決于當(dāng)時的天氣，晴天帶傘對多數(shù)人來說是累贅，而暴雨天的一把傘卻是大多數(shù)人的“救命稻草”。金融經(jīng)濟學(xué)中的效用函數(shù)U（w）則被用于度量投資者在不同財富等級上的相對偏好。效用理論第一次完整意義上的公理化發(fā)展來自于JohnvonNeumann和OskarMorgenstern（1944）提出的期望效用函數(shù)理論。此后，理論界普遍使用該理論為投資者的資產(chǎn)選擇方式建模。將博彩定義為一項有風(fēng)險支付的資產(chǎn)，一種特定的博彩方式可以被看作是一個概率有序集P={p1，p2，…，pn}，其中∑ni=1pi=1，且pi≥0。令>，<和～分別表示對不同博彩方式的偏好和無差異。如果投資者的偏好滿足下面的五個公理，那么它們就可以用定義在給定博彩概率之上的期望效用函數(shù)V（p1，p2，…，pn）來表示。

1.完備性公理。對于任何兩種博彩方式P*和P，只存在P*>P，

P*

2.傳遞性公理。如果P**≥P*，并且P*≥P，那么P**≥P。這表明理性人的選擇具備邏輯性和一致性。

3.連續(xù)性公理。如果P**≥P*≥P，那么存在某個λ∈[0，1]使得P*～λP**+（1-λ）P。連續(xù)性公理表明理性的決策者不僅具備邏輯性和一致性，而且該屬性（邏輯性和一致性）應(yīng)該是完美的。

4.獨立性公理。投資者關(guān)于兩種博彩方式的偏好獨立于其得到它們的方式，對于任何兩個博彩P和P*，P*>P，λP*+（1-λ）P**>λP+（1-λ）P**。

5.單調(diào)或占優(yōu)公理。令P1表示復(fù)合博彩λ1P**+（1-λ1）P*，P2表示復(fù)合博彩λ2P**+（1-λ2）P*，如果P**>P*，那么有P1>P2，當(dāng)且僅當(dāng)λ1>λ2。公理1、2、3描述理性人在確定性環(huán)境中的選擇邏輯，與微觀經(jīng)濟學(xué)中消費者理論的偏好公理完全一致。公理4和公理5則是對前三條公理在不確定性環(huán)境中的運用的擴展。

對于每一個簡單賭局G={p1w1，p2w2，…，pnwn）|pi>0，∑ni=1pi=1}，其中W={w1，w2，…wn}為結(jié)果集。如果效用函數(shù)U（W）=U（∑ni=1piwi）=∑ni=1piU（wi），則稱U（W）為vonNeumann—Morgenstern（VNM）期望效用（EU）函數(shù)。EU理論認(rèn)為，假如決策者選擇風(fēng)險決策備擇方案的過程符合上述五條公理，那么他一定是選擇期望效用值最大的那項備擇方案。期望效用值可以用備擇方案的結(jié)果發(fā)生的概率與該備擇方案所對應(yīng)的效用值的函數(shù)來表示。期望效用函數(shù)在金融經(jīng)濟學(xué)里的一個重要作用在于它能夠用于判斷投資者的風(fēng)險偏好。對于某個行為人，如果u[E（W）]>Eu（W）她是風(fēng)險厭惡的，其效用函數(shù)具有凹性特征；如果u[E（W）]

常見的效用函數(shù)可歸納為以下六種形式：

1.負指數(shù)效用函數(shù)：u（w）=-exp（-rAw），由于rA（w）=-■=■=r■，該效用函數(shù)亦被稱為絕對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)（CARA）不變的效用函數(shù)。

2.冪效用函數(shù)：u（w）=■W1■-rR■，由于rR（w）=-■·w=■·w=rR，該效用函數(shù)亦被稱為相對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)（CRRA）不變的效用函數(shù)。

3.冪指數(shù)效用函數(shù)：u（w）=-exp（-βwα），α<0，αβ>0，rA（w）=-■=-■·αβwα-1，由此可推出■=■+αβ（α-1）w■<0，該效用函數(shù)具有遞減的絕對風(fēng)險規(guī)避（DARA）傾向。

4.對數(shù)效用函數(shù)：u（w）=ln（w），rA（w）=■=■，rR（w）=■·w=1由此可見該效用函數(shù)的投資者的絕對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)隨財富的增加而減少，相對規(guī)避系數(shù)為常數(shù)1。

5.二次效用函數(shù)：u（w）=aw-■w■當(dāng)w為一個隨機變量時，期望效用可以表示為Eu（w）=aE（w）-■σ2w，因此該效用函數(shù)可以用收入的期望和方差表示。

6.雙曲線效用函數(shù)：u（w）=■（a+■w）1-r，rA（w）=-■=■，該效用函數(shù)表面隨著財富的增加，絕對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)將遞減。

二、期望效用理論的一個簡化應(yīng)用

作為現(xiàn)代資產(chǎn)定價理論的基石，EU模型在投資組合優(yōu)化中有著重要的應(yīng)用價值。在金融經(jīng)濟學(xué)中，投資者的目標(biāo)并非最大化自己投資組合的價值而是最大化投資組合產(chǎn)生的期望幸福感，換言之，投資者追求的是自身的期望效用最大化。因此做出最優(yōu)資產(chǎn)組合選擇的關(guān)鍵在于設(shè)計一個投資比例使其令該投資者的期望效用最大化。假設(shè)投資者的風(fēng)險態(tài)度符合對數(shù)效用函數(shù)u（w）=ln（w）的描述，初始財富值為10000人民幣。假定她有兩種選擇，投資x元于風(fēng)險資產(chǎn)（如股票），則其留存的財富值投資于無風(fēng)險資產(chǎn)（如固定收益證券）并獲取5%的年化收益率?，F(xiàn)考慮以下兩種風(fēng)險資產(chǎn)的單期損益情形，第一種情形下投資者的風(fēng)險資產(chǎn)價值在一年后會增值50%變?yōu)?.5x； 第二種情形下投資者的風(fēng)險資產(chǎn)價值在一年后會損失30%至0.7x。那么在上述兩種情形下，投資者一年后的財富分別為

1.5x+（10000-x）（1+0.05）=10500+0.45x（情形一）

0.7x+（10000-x）（1+0.05）=10500-0.35x（情形二）。

假設(shè)兩種情形發(fā)生的概率相等，則其期望效用可表示為

Eu（x）=0.5u（10500+0.45x）+0.5u（10500-0.35x）

=0.5ln（10500+0.45x）+0.5ln（10500-0.35x）

一旦得出期望效用函數(shù)的顯性式，該投資者則可以通過選擇風(fēng)險資產(chǎn)投資份額x使其自身效用最大化。為此，我們僅需對上式一階求導(dǎo)并令其等于0{1}，即

Eu'（x）=■+■=0

■=■

解得x≈3333.3，與之對應(yīng)的期望財富E*（x）為10666.6，期望效用E*u（x）約為9.27。

在上一節(jié)中，我們簡要回顧了效用函數(shù)的六種常見形式，了解到了對數(shù)函數(shù)的絕對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)隨財富的增加而增加。相對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)為常數(shù)1，不隨財富的增減而改變。下面我們通過本例來考察上述性質(zhì)的直觀含義。假設(shè)初始財富減少50%至5000，投資者的期望效用函數(shù)則可定義為Epooru（x）=0.5ln（5250+0.45x）+0.5ln（5250-0.35x），令

Epooru'（x）=■+■=0

解得x≈1667，與之對應(yīng)的期望財富E*poor（x）為5333.35，期望效用E*pooru（x）約為8.57。假設(shè)初始財富增加50%至15000，則可定義投資者的期望效用函數(shù)為Erichu（x）=0.5ln（15750+0.45x）+0.5ln（15750-0.35x），令

Erichu'（x）=■+■=0

解得x=5000，與之對應(yīng)的期望財富E*rich（x）為16000，期望效用E*richu（x）約為9.67。

由此可見，當(dāng)初始財富減少50%至5000時，投資者的最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)投資數(shù)額從3333.3減少到1667，降幅為50%。當(dāng)初始財富增加50%至15000時，投資者的最優(yōu)風(fēng)險資產(chǎn)投資額從3333.3增至5000，增幅為50%。因此，在本例中，投資者初始財富的減少使其減少對風(fēng)險資產(chǎn)的投資數(shù)額，初始財富的增加使其增加對風(fēng)險資產(chǎn)的投資數(shù)額。此外，我們還發(fā)現(xiàn)，投資者對風(fēng)險資產(chǎn)的投資增加（減少）比例恰好等于初始財富的增加（減少）比例，均為50%。以上結(jié)果印證了風(fēng)險偏好理論的兩條結(jié)論：令X為風(fēng)險資產(chǎn)投資額，W0記為初始財富——（1）如果投資者的絕對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)隨財富增加而遞減，則隨著財富的增加，投資者會增加投資于風(fēng)險資產(chǎn)的財富數(shù)量， ■>0；（2）如果投資者的相對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)為常數(shù)，則隨著財富的增加，她對風(fēng)險資產(chǎn)投資的增加比例等于初始財富的增加比例， ■=■。

對比初始財富變化對期望財富與期望效用的影響，我們還發(fā)現(xiàn)■≈■=50%，■=

7.60%>■=4.3%。因此在本例中，初始財富增減相同的比例會使?jié)M足期望效用最大化的期望財富呈同比變動，但是其對應(yīng)的期望效用的增減卻呈現(xiàn)非對稱變化——初始財富減少引發(fā)的效用損失遠遠大于初始財富增多引起的效用增加，這說明風(fēng)險厭惡者從自身期望財富的增加獲取的滿足感遠遠不能抵消相同程度的期望財富減少對其造成的失落感。此外，初始財富增減帶來的期望財富增減比例同樣遠遠大于與之對應(yīng)的期望效用增減比例，微觀經(jīng)濟學(xué)中邊際效用遞減的規(guī)律在此例中表現(xiàn)地格外明顯。

三、EU理論的缺陷

盡管EU理論自提出以來便一直被奉為理性人在不確定情況下的行動準(zhǔn)則，然而正如兩位創(chuàng)始人所言：“要把效用這個東西界定清楚并加以應(yīng)用是非常困難的，要將其描述為一個數(shù)字則更為困難?！睂U理論的一個經(jīng)典質(zhì)疑當(dāng)屬Allias（1953）悖論。給定兩組試驗，每組試驗包含兩個選項，試驗者面臨的支付矩陣歸納如下

大多數(shù)受驗人在面臨試驗一的時候都選擇了擁有肯定收入的A選項，按照EU理論的邏輯，選擇A選項的受驗人在面臨試驗二的時候應(yīng)該選擇C選項，因為既然U（1，000，000）>0.10U（5，000，000）+0.89U（1，000，000）+0.01U（0），就能推出0.11U（1，000，000）+0.89U（1，000，000）>0.10U（5，000，000）+0.89U（1，000，000）+0.01U（0）即0.11U（1，000，000）>0.10U（5，000，000），然而實際情況卻是大多數(shù)受驗人在試驗二中選擇了D選項，這表明0.11U（1，000，000）<0.1U（5，000，000）。以上結(jié)果與EU理論中的獨立性公理相矛盾，獨立性公理認(rèn)為人們對選項A/B與C/D的偏愛不應(yīng)受到由0.89的概率所產(chǎn)生的共同結(jié)果值的影響。直觀理解就是：如果兩個行為的期望效用值的大小關(guān)系為Eu（A）>Eu（B），那么在這個不等式的兩邊同時加上共同的值對于原不等式依然成立。拋開人們行為上的選擇偏差，從經(jīng)濟學(xué)的角度來考慮，獨立性的公理之所以被違背還在于它忽略了商品間的互補性或替代性。比如對于一臺任天堂3ds游戲掌機和一臺索尼PSVita游戲掌機，筆者更偏好前者，但如果對于一臺3ds加五盤PSVita游戲卡帶的組合與一臺PSVita加五盤同樣的PSVita游戲卡帶的組合，筆者肯定更偏好后者。

EU理論的另一爭論點在于其假定決策者具有完全理性。在面臨不確定環(huán)境時，決策者能夠通過其掌握的信息，分析出每種可能的結(jié)果并計算出相應(yīng)的概率。然而，在現(xiàn)實環(huán)境中，決策者受到自身心智的限制而很難在一個高度不確定環(huán)境下設(shè)想出各種行為后果，更缺乏對客觀概率的估計能力?，F(xiàn)實生活中，信息的搜集本身就具有高昂的成本，意圖掌握完整的信息本身就是不理性的。此外，經(jīng)濟學(xué)家（Kahneman&Tversky 1979）還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)行為人同時面對兩件對其財富產(chǎn)生損益的事件時，人們會單獨衡量每一事件，并認(rèn)為收益的重要性遠遠低于損失——哪怕兩件事情的組合會增加他們的總財富。有鑒于此，Kahneman和Tversky（1979）用價值函數(shù)去代替?zhèn)鹘y(tǒng)的效用函數(shù)，將效用函數(shù)里唯一的自變量——財富，分解為收益與損失兩個自變量，并使用主觀決策權(quán)重去替代客觀概率。

簡言之，正如EU理論的批判者所說，現(xiàn)代主流經(jīng)濟學(xué)將行為人在不確定環(huán)境下的決策建立在期望效用理論之上，但大量的行為或選擇悖論卻證明建立在數(shù)理邏輯上的先驗假設(shè)與現(xiàn)實中的行為人選擇并不一致。但是，從經(jīng)濟學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)來看，期望效用理論的產(chǎn)生促成了金融學(xué)理論特別是資產(chǎn)定價和證券組合選擇的大跨越。以期望效用理論為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)金融學(xué)說至今仍保持著旺盛的生命力并被不斷地修正與擴展以解釋不完全信息及有限理性條件下的真實市場行為。

注釋

{1}由于對數(shù)效用函數(shù)是凹函數(shù)，其二階導(dǎo)數(shù)恒小于0，故其在定義域上存在最大值。

參考文獻

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作者簡介：庹思偉（1988-），男，漢族，四川成都人，任職于成都龍騰小額貸款股份有限公司，研究方向：行為金融學(xué)，資本市場的理論與實踐。