劉紫靜等

摘 要：發(fā)展新一代反應(yīng)堆物理數(shù)值計算理論和方法的目標(biāo)是實現(xiàn)三維全堆芯Pin-by-Pin輸運計算，MOC、SN、SPN是其中三種最具有代表意義的全堆芯中子輸運計算方法。該研究介紹了這三種全堆芯中子輸運計算方法的概念及特點，通過調(diào)研國內(nèi)外研究現(xiàn)狀比較分析了三種計算方法的計算精度、計算效率及幾何適應(yīng)性，總結(jié)了三種全堆芯輸運方法的優(yōu)缺點。最終歸納了兩種具備工程應(yīng)用可行性的全堆芯中子輸運計算方案：（1）二維MOC耦合一維輸運/節(jié)塊法直接進(jìn)行全堆芯輸運計算；（2）采用二維MOC進(jìn)行柵格計算，預(yù)制參數(shù)截面庫，再運用三維SPN方法進(jìn)行全堆芯輸運計算。

關(guān)鍵詞：全堆芯中子輸運 MOC SN SPN

中圖分類號：TL329+.2 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）07（c）-0001-04

近年來，我國大力發(fā)展第四代反應(yīng)堆，多樣的堆芯環(huán)境給核設(shè)計帶來了更復(fù)雜的中子學(xué)特性和非均勻性，并對中子輸運方法的堆芯分析能力提出了更高的要求，主要體現(xiàn)在計算精度、計算效率、處理幾何復(fù)雜度等方面[1]。

新一代反應(yīng)堆物理數(shù)值計算理論和方法的目標(biāo)是實現(xiàn)三維全堆芯Pin-by-Pin 輸運計算，精確求解任意幾何結(jié)構(gòu)的中子輸運問題，避免任何均勻化近似；具備強(qiáng)大的幾何處理能力，能適應(yīng)復(fù)雜中子輸運問題，可以并行計算[2]。目前，國內(nèi)外開展了大量研究工作，并開發(fā)了多個全堆芯輸運計算程序。主要形成了以下三種最具代表意義的全堆芯Pin-by-Pin 輸運計算方法：①以非均勻柵元為基礎(chǔ)的三維特征線法（Method of Characteristics，MOC）；②以均勻柵元為基礎(chǔ)的三維離散縱標(biāo)法（Discrete Ordinate Method，SN）。③以均勻柵元為基礎(chǔ)的三維簡化球諧函數(shù)法（Simplified Spherical Harmonics Method，SPN）。

1 特征線法（MOC）

特征線法（MOC）從中子輸運方程的微分形式出發(fā)，沿著中子運行軌跡（特征線）進(jìn)行積分求解。從理論上說，其整個求解過程不受幾何形狀的限制，無需做均勻化處理，能準(zhǔn)確處理強(qiáng)各向異性問題，是全堆芯Pin-by-Pin 輸運計算的理想方法[3]。目前，MOC已逐漸成為許多程序包中的標(biāo)準(zhǔn)求解器。表1列出了部分基于MOC開發(fā)的程序。

MOC方法采用特征線掃描方式求解中子輸運方程，通常采用平源近似，在求解過程中無需保存角中子通量和有關(guān)系數(shù)矩陣，比較節(jié)省內(nèi)存[4]。幾何處理大量采用模塊化特征線追蹤方法，重復(fù)結(jié)構(gòu)共用一套特征線信息，從而節(jié)省大量存儲空間，提高計算效率。因空間、能群、角度離散，各條特征線的求解相對獨立，所以MOC具有天生的并行性。

但是MOC為取得高計算精度，必需采用細(xì)致的特征線和平源近似區(qū)劃分，導(dǎo)致求解復(fù)雜問題的速度緩慢，在三維計算中更為突出，需要研究加速并行。其次，MOC在處理三維模型的反射邊界條件時，存在入射線和反射線空間或角度錯位的問題[5]。再次，模塊化特征線追蹤方法僅適用于直線規(guī)則邊界問題，限制了求解問題的任意性。

直接采用MOC方法進(jìn)行三維復(fù)雜中子輸運問題計算，速度緩慢且占用大量存儲空間?？紤]堆芯的非均勻性主要來源于堆芯徑向布置，軸向布置相對均勻，國際上提出了一種“退化”的三維MOC方法，即徑向二維模塊化MOC耦合軸向一維擴(kuò)散或輸運方法。此方法大大提升了計算效率，同時可以保持較高的計算精度。需要提到的是，若軸向一維方向采用擴(kuò)散方法，在計算控制棒移動等工況時會出現(xiàn)一定誤差。基于此方法開發(fā)的程序主要有DeCART[6]、Tiger-3D[7]、MOCHA_2D1D[8]等。

2 離散縱標(biāo)法（SN）

離散縱標(biāo)法（SN）將方向自變量離散，每個方向?qū)?yīng)一定的立體角，所有立體角之和為4π，在特定方向上求解中子輸運方程，并假定立體角內(nèi)的角通量是常數(shù)，采用求積代替積分，得到中子標(biāo)通量。SN在反應(yīng)堆屏蔽計算的中子及光子深穿透問題、壓力殼輻照損傷分析中得到了廣泛應(yīng)用[3]。表2列出了一些基于SN開發(fā)的程序。

SN方法每個離散方向的方程相對獨立，應(yīng)用迭代法求解時，數(shù)值過程比較簡單，便于編寫通用程序。相比于擴(kuò)散近似、球諧函數(shù)等近似方法，SN對邊界條件的離散精確自洽，便于處理真空邊界。

但是為得到足夠的精度，需要足夠細(xì)密的離散點，這導(dǎo)致計算耗用大量內(nèi)存和時間，尤其對于離散方向數(shù)較大的三維問題，挑戰(zhàn)更為嚴(yán)峻。其次，SN通常采用簡化方法來處理幾何和源模型，使其在處理復(fù)雜幾何及精確源模擬上存在嚴(yán)重缺陷[3]。再次，SN在進(jìn)行多維問題計算時，由于角度離散本身固有的缺陷，容易出現(xiàn)“射線效應(yīng)”并引起假散射，導(dǎo)致計算誤差。SN通常采用菱形差分計算模型，這往往導(dǎo)致計算出現(xiàn)與物理不符的負(fù)中子通量密度，需要采用置零修正，這也進(jìn)一步影響了計算精度。

3 簡化球諧函數(shù)法（SPN）

球諧函數(shù)方法（PN）針對輸運方程中的角度自變量做近似，將中子通量密度用球諧函數(shù)展開成N階級數(shù)，將中子輸運方程化成相互耦合微分方程組，并確定級數(shù)中的系數(shù)，再采用迭代策略進(jìn)行求解。但是當(dāng)階數(shù)N增大時，尤其對于多維度復(fù)雜幾何，PN方法將變得非常復(fù)雜和困難[9]。簡化球諧函數(shù)法（SPN）在一維平板幾何下導(dǎo)出球諧函數(shù)方程組，將一維空間微分算子直接換成三維空間微分算子得到三維直角坐標(biāo)系下的SPN方程組。此方法由PN方法適當(dāng)化簡而來，減小了方程的復(fù)雜性，保持了較高的精度[10]。表3列出了一些SPN程序。

SPN方法僅對空間位置離散，對角度變量的處理是連續(xù)的，具有角度旋轉(zhuǎn)不變性，不存在射線效應(yīng)；可以采用有限元方法，特別適用于不規(guī)則幾何的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格計算[11]。相比高階PN和SN方法，SPN更容易在滿足精度的前提下節(jié)省計算時間和資源。

但是，SPN方法在柵元均勻化的基礎(chǔ)上實施，需要進(jìn)行計算網(wǎng)格離散，通過SPH因子修正均勻化截面，預(yù)制參數(shù)截面庫，這些均給全堆芯pin-by-pin計算引入了誤差。其次，SPN方法作為低階輸運近似本身具有一定誤差。

4 MOC、SN、SPN對比分析

三種全堆芯輸運計算方法各有優(yōu)勢，但又都存在不同程度的缺點。國際上針對三種方法開展了一些對比研究，主要分析了計算精度、計算效率、幾何適應(yīng)性等。

日本名古屋大學(xué)[12]通過BWR組件計算比較了MOC、SPN、擴(kuò)散方法的計算精度和計算時間。結(jié)果表明：在采用細(xì)致網(wǎng)格進(jìn)行均勻柵元的組件計算時，經(jīng)SPH因子修正后的SPN在計算精度方面與MOC計相當(dāng)，比擴(kuò)散方法高2倍；在計算時間方面，比MOC快很多，僅為擴(kuò)散方法的1.5倍。SPN與基于非均勻柵元的MOC相比，Keff的誤差約為0.02%，反應(yīng)率的誤差約為0.5%。另一方面，考慮到第四代反應(yīng)堆中包含不同形式的組件，SPN方法必須具備處理交錯網(wǎng)格的能力，才有工程上的實用性。但目前尚未有人開展此方面的工作。

加拿大蒙特利爾大學(xué)以O(shè)ECD/NEA發(fā)布的NEA3D-TAB-2007中子輸運基準(zhǔn)題為例，分析比較了DRAGON程序中三維MOC方法和SN方法對空間參數(shù)劇烈變化問題的計算性能，結(jié)果表明：MOC和SN方法均具備較好的計算精度，但SN方法在非均勻性較強(qiáng)的介質(zhì)中具有明顯的射線效應(yīng)；而MOC方法在平源近似情況下，角度離散和網(wǎng)格劃分?jǐn)?shù)量的不足將導(dǎo)致計算誤差急劇增加，且在同等的計算條件下，MOC方法的計算時間遠(yuǎn)超于SN方法。

5 MOC、SN、SPN聯(lián)合研究

考慮到三種方法各有優(yōu)劣，因此可以取長補(bǔ)短，采用兩種方法聯(lián)合進(jìn)行全堆芯pin-by-pin計算。目前國際上開展的相關(guān)主要研究有：

日本核工程公司、名古屋大學(xué)和核燃料工業(yè)公司合作開發(fā)了PWR堆芯燃料管理系統(tǒng)程序包AEGIS/SCOPE2[12]，其中AEGIS為柵格輸運計算程序，采用MOC方法計算得到柵元均勻化截面并進(jìn)行SPH因子修正；SCOPE2為堆芯程序，采用近似輸運的節(jié)塊SPN方法。AEGIS/SCOPE2采用MOC加SPN的“兩步法”進(jìn)行全堆芯輸運計算。計算的Keff與實驗值相差152 pcm，棒功率相差1%以內(nèi)。

2005年，歐盟提出了NURESIM計劃[8]，旨在研究更先進(jìn)、精確的堆芯計算方法，以滿足四代反應(yīng)堆的設(shè)計計算要求。該計劃提出了兩條技術(shù)路線：先進(jìn)蒙卡方法和確定論方法研究。其中先進(jìn)確定論方法的研究路線為：采用二維MOC進(jìn)行組件柵格計算，開發(fā)了APOLLO2、HELIOS-2等程序；采用三維節(jié)塊SPN進(jìn)行堆芯計算，研制了DYN3D程序等；并以蒙卡程序Serpent為基準(zhǔn)，驗證了HELIOS-2/DYN3D系統(tǒng)計算分析鈉冷快堆的準(zhǔn)確性[10]。

從以上研究情況和國際發(fā)展趨勢來看，采用MOC加SPN的“兩步法”進(jìn)行全堆芯輸運計算可以得取得足夠的計算精度，計算代價也在可接受范圍內(nèi)。因此，該方案可作為工程應(yīng)用的選擇之一。

6 結(jié)語

該研究介紹了MOC、SN、SPN三種全堆芯中子輸運計算方法的概念及特點，通過國內(nèi)外研究現(xiàn)狀分析對比了三種方法的全堆芯輸運計算能力，得到以下結(jié)論：①計算精度：MOC不存在均勻化，精度最高。SN存在射線效應(yīng)以及計算出負(fù)，計算精度略低。SPN需柵元均勻化，在細(xì)致網(wǎng)格條件下精度接近輸運計算，但在非均勻性強(qiáng)的區(qū)域誤差偏大。②計算效率：MOC計算時間最長，占用大量內(nèi)存，采用模塊化MOC可提高效率，節(jié)省存儲空間。SN同樣需耗用較大的計算內(nèi)存和時間。SPN計算時間最短，計算效率最高。③幾何適應(yīng)性：MOC理論上適用于任意幾何，若采用模塊化MOC則限制了幾何適應(yīng)能力。SN和有限元SPN方法同樣具備很強(qiáng)的幾何適應(yīng)性。但由于計算耗時、耗內(nèi)存，MOC、SN還多限于二維問題計算。

三種方法取長補(bǔ)短，已形成兩套可行的全堆芯pin-by-pin輸運計算方案，可為今后全堆芯輸運計算方法的工程應(yīng)用提供參考依據(jù)：①二維MOC耦合一維輸運/節(jié)塊法直接進(jìn)行全堆芯計算，如韓國DeCART程序。②二維MOC進(jìn)行柵格計算，預(yù)制參數(shù)截面庫，再采用三維SPN進(jìn)行全堆芯計算，如日本AEGIS/SCOPE2、歐盟APOLLP2/DYN3D程序。

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