黃汝平

（福建省龍巖市高級(jí)中學(xué) 福建龍巖 364000）

知其然，又知所以然
——對(duì)《形同質(zhì)別的不等式恒成立與有解問(wèn)題分析》補(bǔ)充

黃汝平

（福建省龍巖市高級(jí)中學(xué) 福建龍巖 364000）

不等式恒成立與有解問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，又是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).怎樣在理解的基礎(chǔ)上，掌握其解決方法，是突破這個(gè)難點(diǎn)關(guān)鍵所在.否則易混淆、易錯(cuò).因而需對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)提示，區(qū)別各問(wèn)題異同點(diǎn).文中通過(guò)舉例說(shuō)明，幫助學(xué)生理解解題原理，再結(jié)合變式訓(xùn)練，使得學(xué)生切實(shí)理解并掌握.

熱點(diǎn) 難點(diǎn) 原理 恒成立 有解

不等式恒成立與有解問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，又是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).有關(guān)這一問(wèn)題的文章很多.文［1］中就不等式恒成立與有解問(wèn)題，通過(guò)一個(gè)問(wèn)題，比較系統(tǒng)歸納了五種有關(guān)不等式恒成立與有解的常見(jiàn)類(lèi)型，并給予解法分析，同時(shí)得出了兩個(gè)結(jié)論，最后再舉了兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明，使學(xué)生對(duì)此問(wèn)題有個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，知道該怎么做，稱(chēng)之為知其然.本文想對(duì)此問(wèn)題作個(gè)補(bǔ)充，不妨當(dāng)作變式訓(xùn)練，記為變式1、2、3，并對(duì)這八個(gè)類(lèi)型問(wèn)題談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí)， 為了讓讀者便于閱讀和思考，仍以文［1］中所提出的問(wèn)題加以說(shuō)明，使學(xué)生明白為什么可以這樣，可謂知所以然.

解法一.此類(lèi)問(wèn)題若能將參數(shù)k與x分離，一般首選分離參數(shù)法

解法二.若參數(shù)k與x不易分離，當(dāng) ］3，3［-∈x 時(shí)，轉(zhuǎn)化為

而第二類(lèi)就比較不好理解，尤其是問(wèn)題（4）、變式1和變式3.前面談到變式1是指時(shí)，函數(shù)與的圖像有交點(diǎn)即自變量相同，函數(shù)值相同.而卻不是，如圖1，若作一條與y軸垂直的直線l，當(dāng)l同時(shí)與函數(shù)與函數(shù)的圖像有交點(diǎn)，則方程有解，否則無(wú)解.從集合角度看，函數(shù)的值域A與函數(shù)的值域B交集應(yīng)滿(mǎn)足.對(duì)于第二類(lèi)問(wèn)題其實(shí)質(zhì)是研究集合A與B的關(guān)系.利用數(shù)軸能形象刻畫(huà)它們二者的關(guān)系.在實(shí)際教學(xué)中，若能借助幾何畫(huà)板變換函數(shù)的圖象效果會(huì)更好.我認(rèn)為把滿(mǎn)足這一條件，看成兩圖像有一樣“高”的時(shí)候.那么滿(mǎn)足看成“高矮“比較，學(xué)生會(huì)覺(jué)得形象、直觀.在數(shù)軸上體現(xiàn)就是集合A與B關(guān)系.再看問(wèn)題（4）： 若對(duì)于任意總存在使得成立，就好理解為什么據(jù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)先求出變式3： 若存在使得成立.可先研究此時(shí)通過(guò)容易得到或用補(bǔ)集法可得所求k的取值范圍

圖1

同學(xué)們可將上述的八個(gè)問(wèn)題看成解這兩類(lèi)問(wèn)題的原理，再舉幾個(gè)實(shí)例，供同學(xué)們參考.

分析與略解：（Ⅰ）略

解：（1）略

［1］鄭一平.形同質(zhì)別的不等式恒成立與有解問(wèn)題分析.數(shù)學(xué)通訊.2010（7）

黃汝平，中學(xué)高級(jí)教師，連續(xù)多年被評(píng)為"優(yōu)秀班主任"，發(fā)表論文多篇.