李曉君

（昆明市嵩明縣第一中學(xué) 云南昆明 651700）

高考中的數(shù)列求和問(wèn)題

李曉君

（昆明市嵩明縣第一中學(xué) 云南昆明 651700）

數(shù)列是高中生學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是在為學(xué)生今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打基礎(chǔ)，同時(shí)也是高考的一個(gè)考察重點(diǎn)，高考命題的方向有以下三方面：（1）對(duì)數(shù)列本身的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行考察。要求能用等差或等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解；（2）對(duì)數(shù)列與其它類知識(shí)，如與函數(shù)、方程、不等式幾何及合情推理等知識(shí)點(diǎn)結(jié)合的考察；（3）對(duì)于數(shù)列應(yīng)用的考察。

在此，針對(duì)高考中的數(shù)列求和問(wèn)題解決方法提出自己的一些見(jiàn)解。

我認(rèn)為在高中階段，解決數(shù)列問(wèn)題最關(guān)鍵是認(rèn)清數(shù)列的規(guī)律，其實(shí)一個(gè)數(shù)列的規(guī)律就體現(xiàn)在它的通項(xiàng)上。不同通項(xiàng)的數(shù)列對(duì)應(yīng)不同的求和方法。高中階段主要的求和方法有：（1）公式法；（2）分組轉(zhuǎn)化法；（3）錯(cuò)位相減法；（4）裂項(xiàng)相消法。下面依次舉例說(shuō)明。

方法小結(jié)：若已知一個(gè)數(shù)列是等差或等比數(shù)列，則可以直接用等差或等比的前n項(xiàng)和公式解決數(shù)列的前n項(xiàng)和問(wèn)題。我們把這種求和方法稱為公式法求和。

（Ⅰ）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

解答：

（Ⅱ）由 an=3n 得 b1=a2=6，b2=a4=12，則等比數(shù)列｛bn｝的公比為所以數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式為 bn=6×2n-1=3×2n，即：bn=3×2n，故 數(shù) 列 ｛an+bn｝ 的 通 項(xiàng) 公 式 為 an+bn=3n+3 × 2n， 所 以

即：數(shù)列｛an+bn｝的前n項(xiàng)和

分析：由題目已知條件可分析出數(shù)列｛an+bn｝的通項(xiàng)公式由兩部分構(gòu)成，而且是兩部分的和。這兩部分一個(gè)是等差數(shù)列通項(xiàng)，另一個(gè)是等比數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)加法的交換律和結(jié)合律就把這個(gè)數(shù)列求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了一個(gè)等差數(shù)列的和和一個(gè)等比數(shù)列的和的和。

方法小結(jié)：若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)是兩種數(shù)列的和構(gòu)成的，則此數(shù)列求和可以轉(zhuǎn)化為這兩種數(shù)列的求和問(wèn)題來(lái)解決。我們把這種求和方法稱為分組轉(zhuǎn)化求和法。

例3.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝滿足

解答：

兩式相減得

方法小結(jié)：若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由一個(gè)等差通項(xiàng)和一個(gè)等比通項(xiàng)乘積構(gòu)成的，則采用錯(cuò)位相減法解決該數(shù)列的求和。

一般步驟：1.寫(xiě)出前n項(xiàng)和（即從首項(xiàng)加到第n項(xiàng)）；

2.在等式兩邊同時(shí)乘上等比數(shù)列的公比錯(cuò)一位對(duì)齊；3.兩邊對(duì)應(yīng)相減，進(jìn)行化簡(jiǎn)求解。

例4.已知等差數(shù)列｛an｝滿足：a3=7，a5+a7=26.

（Ⅰ）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

解答：

所以an=3+（n-1）×2=2n+1，即｛an｝的通項(xiàng)公式為an=2n+1.

所以