清華大學(xué)附屬小學(xué)（100084） 湯衛(wèi)紅（特級教師）

孕育數(shù)學(xué)理性 培植理性氣質(zhì)

清華大學(xué)附屬小學(xué)（100084） 湯衛(wèi)紅（特級教師）

兒童為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？教育哲學(xué)理論認(rèn)為：“通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維！”數(shù)學(xué)的思維是和數(shù)學(xué)最核心的本質(zhì)特征緊密關(guān)聯(lián)的，這種核心本質(zhì)應(yīng)該是理性精神。如何理解數(shù)學(xué)理性？如何培育學(xué)生的理性精神、理性氣質(zhì)？這都是數(shù)學(xué)教師必須思考的話題。

數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)理性 兒童 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)是人類智慧的榮耀，是人類理性文明的火車頭。理性是數(shù)學(xué)特有的氣質(zhì)，數(shù)學(xué)理性是數(shù)學(xué)最為重要的文化精神，深刻影響著人類的精神生活，是一種普遍化的力量，使人類的思維得以運用到最完善的程度，滿足人類對宇宙的探求，甚至影響著現(xiàn)代文明的進程。數(shù)學(xué)課程體現(xiàn)理性是數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)在要求，數(shù)學(xué)理性也是數(shù)學(xué)教育承載的重要的育人功能。

一

何為“理性”？詞典中解釋為：“指屬于判斷、推理等活動的（跟‘感性’相對）：～認(rèn)識?！保ㄒ姟冬F(xiàn)代漢語詞典》2002年增補本，商務(wù)印書館）不難看出，感性是理性存在的基礎(chǔ)，人最初對事物的認(rèn)識總是從感性開始的，感性屬于認(rèn)識過程的低級階段，而理性是感性飛躍發(fā)展的高級階段。對事物感性的認(rèn)識往往是片面的、現(xiàn)象的和外部聯(lián)系的，而對事物的理性認(rèn)識往往是全體的、本質(zhì)的和內(nèi)部聯(lián)系的。詞典主要是從認(rèn)知活動的角度對“理性”的基本含義給出解釋。就數(shù)學(xué)理性而言，主要是指孕育于古希臘文明，并伴隨著近代自然科學(xué)的形成和發(fā)展逐步穩(wěn)定的西方理性精神，即人們在數(shù)學(xué)活動中形成的追求對研究對象本質(zhì)、規(guī)律和內(nèi)部聯(lián)系的準(zhǔn)確把握，追求抽象的、超驗的思維取向，能夠不斷反思、批判自己并以此開辟前進道路的價值觀和行為規(guī)范。更為全面地講，我們通常所說的數(shù)學(xué)理性亦包括數(shù)學(xué)理性思維。

在人類文明的進程中，數(shù)學(xué)理性表現(xiàn)為人類對真理的不懈追求，表現(xiàn)為以嚴(yán)密的、超驗的、科學(xué)的思維方法抽象、概括、判斷和推理。它大大促進了人類思想的解放，提高和豐富了人類的精神水平。因此，數(shù)學(xué)教育要通過培養(yǎng)理性思維、培育理性精神、培植理性氣質(zhì)，提高思維的深刻性、靈活性、獨創(chuàng)性、批判性和敏捷性，促進學(xué)生形成求真、求實品格，成為更完全、更豐富、更有力量的人。于數(shù)學(xué)教學(xué)而言，理性會讓我們直抵?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)的核心，確證數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)意義，以至理性成為數(shù)學(xué)教學(xué)得以安身立命的文化支柱以及數(shù)學(xué)教學(xué)成功的文化力量。數(shù)學(xué)教學(xué)只有孕育理性才能不斷生長，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有孕育數(shù)學(xué)理性才能根深葉茂。

二

針對新課改初期出現(xiàn)的“非數(shù)學(xué)化”傾向，不少教師大聲疾呼：數(shù)學(xué)課要有“數(shù)學(xué)味”！其中，最重要的就是要孕育數(shù)學(xué)理性。對于處于具體運算階段的小學(xué)兒童而言，他們的思維一般還不能離開具體事物的支持，正從具體形象思維為主逐步向抽象邏輯思維過渡。顯然，教師不能硬生生地直接闡釋數(shù)學(xué)的概念、法則，不能過早地脫離感性直接進行理性的抽象教學(xué)，否則數(shù)學(xué)的艱澀和抽象會讓學(xué)生喪失對數(shù)學(xué)的興趣和信心。因此，基于感性，孕育理性是數(shù)學(xué)教育的應(yīng)然選擇。

基于感性意味著沒有感性經(jīng)驗的積累和支撐就沒有理性認(rèn)識的飛躍，孕育理性意味著沒有逐步抽象的引導(dǎo)就不能形成概念、判斷、推理，就不能到達本質(zhì)，揭示聯(lián)系。要獲得感性經(jīng)驗，就必須以觀察、模仿、嘗試、實驗、猜想等活動經(jīng)驗為支撐。在此基礎(chǔ)上，通過思考、分析、概括、想象等活動讓感性經(jīng)驗向抽象和普遍發(fā)展。毋寧說這是對教師的理性氣質(zhì)的一種要求。在實際教學(xué)中，我們的課堂往往不缺乏豐富、具體的操作活動，甚至學(xué)生也不缺乏感性經(jīng)驗的積累，但往往由于教師的“不作為”，學(xué)生會耽于感性的“溫柔之鄉(xiāng)”，而忘記對數(shù)學(xué)本質(zhì)的探求。例如，“三角形三邊關(guān)系”教學(xué)，不少課堂上都會出現(xiàn)為“兩根小棒長度之和等于第三根時，到底能不能圍成三角形”而爭執(zhí)不下的情況，而教師解釋為“制作和操作的誤差”，并用多媒體動畫演示“圍”的過程（甚至請放大鏡出馬放大兩根短棒之間的縫隙），顯然不能讓固執(zhí)地認(rèn)為“能”者所信服。感性經(jīng)驗造成的“偽事實”遮蔽了學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的正確把握。理性能讓我們?nèi)未嬲?、由表及里。引?dǎo)學(xué)生基于感性經(jīng)驗思考：將兩根等長的小棒疊在一起，其中一根截成兩段，這時三根小棒長度有何關(guān)系？相反地，如果用長棒去量兩根短棒的長度之和，你會怎么擺？這時會出現(xiàn)什么情況？三根小棒之間是否圍成一個區(qū)域？如果以兩根短棒與長棒相接的端點為中心向外旋轉(zhuǎn)，想象短棒外端運動的軌跡。觀察這個軌跡，你明白了什么？從確認(rèn)“重合時首尾相連但未構(gòu)成三角形”這個理性認(rèn)同的事實出發(fā)，以運動軌跡促進學(xué)生理性思考兩端點難以覺察但無可置疑地“一動即分”。以大趨勢把握小瞬間就能夠擊穿感性“偽事實”，抵達本質(zhì)規(guī)律，這正是數(shù)學(xué)理性的重要力量。更為重要的是，超越經(jīng)驗、嚴(yán)謹(jǐn)求實、用理性思考力量探尋真知的理性精神和科學(xué)態(tài)度對學(xué)生的影響無疑超越于知識而更為巨大。

數(shù)學(xué)教育孕育數(shù)學(xué)理性對教師的數(shù)學(xué)理性提出了挑戰(zhàn)，教師需要從以下幾個方面提高自身的修養(yǎng)。

第一，豐富和完善數(shù)學(xué)本體性知識，超越教材，把握所教內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，探尋其本原意義。這是課堂孕育數(shù)學(xué)理性的前提。只有教師洞察到問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，才有可能引導(dǎo)學(xué)生在淺顯中見深刻，具體中現(xiàn)理性。例如，“可能性”教學(xué)，摸球游戲中出現(xiàn)摸到某種球的頻率與概率完全背離的現(xiàn)象，如果明白概率知識，我們反而能抓住契機，讓學(xué)生感受數(shù)據(jù)的隨機性，再通過數(shù)據(jù)的不斷增加體會頻率穩(wěn)定于概率附近這一規(guī)律。

第二，回歸數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的本來面目，把握人類思維發(fā)展中的那些關(guān)鍵性步子。學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)知過程與數(shù)學(xué)發(fā)展史的過程相似，歷史上人類所遇到的困難往往也是學(xué)生認(rèn)知的障礙。而人類對數(shù)學(xué)認(rèn)知的過程往往是數(shù)學(xué)理性不斷作用的過程，是不斷向數(shù)學(xué)本質(zhì)邁進的過程。波利亞曾說：“在了解人類是怎樣獲得某些事實或概念的過程之后，我們就能更好地去判斷我們的孩子應(yīng)當(dāng)怎樣去學(xué)習(xí)這些知識?！痹谶@個基礎(chǔ)上的學(xué)習(xí)便是數(shù)學(xué)理性不斷提升的過程。

第三，把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理，遵循心理發(fā)展的規(guī)律，聚焦于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知的認(rèn)知過程，觸及新知所需思維方式的變換。只有教師從理性的高度把握真實的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，才可能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識由具體向形式飛躍，由感性向理性提升。例如，學(xué)生對面積與周長的混淆是由于弄不清周長乃長與寬測度之和，而面積是兩維測度之積，這是加法結(jié)構(gòu)對乘法結(jié)構(gòu)干擾的一種表現(xiàn)形式。把握住這一點，就可以在教學(xué)實踐中構(gòu)造對比圖形（如長方形由公共邊分成周長相等但面積不等的兩部分）以促進學(xué)生理性認(rèn)識的形成。另一方面，通過操作單位正方形測量面積，發(fā)展兒童的空間表征能力有利于長度表征與面積表征的分化，從而真正建立起對面積概念的理性認(rèn)識。

三

當(dāng)我們認(rèn)同發(fā)展兒童數(shù)學(xué)理性思維，培植理性精神的價值，并將之作為數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)時，我們更加關(guān)注如何做，做到什么程度。我以為應(yīng)從以下幾個方面進行探索與實踐。

1.于直觀操作中抽象實在，凸顯要義

數(shù)學(xué)課堂中的直觀操作絕不僅僅是操作，一定是服務(wù)于理性認(rèn)識的需要，僅僅這種理性認(rèn)識不是一蹴而就的，但我們從一開始就要朝這個目標(biāo)前進，而不是停留于具體的操作經(jīng)驗。只有逐步融入理性思考的操作才是數(shù)學(xué)的活動。比如，對于分?jǐn)?shù)，張奠宙教授說：“對于，兒童如果腦子里始終是半個大餅，那就還沒有學(xué)好分?jǐn)?shù)?！备M一步，分?jǐn)?shù)的教學(xué)絕不能停留于對一個物體、一個計量單位、許多物體組成的一個整體進行平均分操作。如果沒有把這些操作的經(jīng)驗適時抽象，兒童就會出現(xiàn)如下的錯誤：

史寧中教授強調(diào)分?jǐn)?shù)的“無量綱性”，對單位“1”的抽象是實現(xiàn)分?jǐn)?shù)本質(zhì)建構(gòu)的關(guān)鍵。所以，在學(xué)生根據(jù)各種情形說出分?jǐn)?shù)意思的基礎(chǔ)上，通過多媒體將各種平均分的對象對應(yīng)到數(shù)軸上的“1”，促進學(xué)生認(rèn)識到抽象的自然數(shù)“1”能夠涵蓋林林總總可以用“1”表示的事物：1個餅、1米、1盤桃……當(dāng)它們都抽象為“1”時，并無本質(zhì)差別。而各種情形中的等亦需對應(yīng)數(shù)軸上相應(yīng)的點，讓學(xué)生領(lǐng)悟每個分?jǐn)?shù)作為一個數(shù)的概括性與抽象性。

2.于感性經(jīng)驗中突破超越，躍向本質(zhì)

數(shù)學(xué)知識作為一種抽象的存在，很多時候超越于經(jīng)驗，必須借助于理性的抽象思考才能領(lǐng)悟其本質(zhì)。教師在學(xué)生已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，搭建合理的想象起飛跑道，才能助其實現(xiàn)抽象，達到對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)屬性的理性認(rèn)識。僅通過文字、符號的抽象表達并不能很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性。例如，觀察物體中學(xué)生很容易提出“看到的一前一后兩個正方體的面并非等大，為什么卻要畫成一樣大”這樣的問題。教師就應(yīng)當(dāng)清楚數(shù)學(xué)上所畫的視圖不同于美術(shù)中的透視，而是用平行光線正投影得到的物體輪廓。如何跨越經(jīng)驗與抽象的視圖之間的鴻溝？教師不妨讓學(xué)生逐漸遠離物體，體會長距離下人的視線對于小物體趨近于平行線時所看到的兩個正方形趨近等大。另一方面，這種畫法所得結(jié)果的唯一性避免了根據(jù)人眼觀察物體因距離遠近而結(jié)果各不相同不利于數(shù)學(xué)交流的尷尬，從而體會三視圖畫法的優(yōu)越性，感悟數(shù)學(xué)理性的價值。

3.于相異無關(guān)中尋同求聯(lián)，彰顯結(jié)構(gòu)

尋找數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，形成橫貫縱通的統(tǒng)一結(jié)構(gòu)亦是人類理性的不懈追求。教師應(yīng)當(dāng)從高觀點、高視角俯視學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，引導(dǎo)其尋求一個個看似相互獨立、已有定論的知識的相同屬性，建立內(nèi)在聯(lián)系，甚至走向結(jié)構(gòu)化，這對促進學(xué)生的數(shù)學(xué)理性形成和數(shù)學(xué)內(nèi)在美的認(rèn)同大有裨益。例如，學(xué)生所學(xué)的平面圖形都有各自的面積公式，除了引導(dǎo)其建構(gòu)知識樹，更具理性意味的問題是“能否選擇一個公式作為統(tǒng)一的面積公式？說說你的理由。”在尋找聯(lián)系中，學(xué)生既能體會到上位思考的力量，又能感悟到量變中的質(zhì)變，質(zhì)變中量變的統(tǒng)一，經(jīng)常的理性的哲思必將塑造學(xué)生的理性氣質(zhì)。

（責(zé)編 金 鈴）

G623.5

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1007-9068（2015）08-001