曾耿明

(中國(guó)中投證券博士后工作站，廣東 深圳 518000)

引言

傳統(tǒng)期貨定價(jià)理論認(rèn)為期貨的價(jià)格為現(xiàn)貨價(jià)格加上持有現(xiàn)貨的成本。例如，股指期貨的價(jià)格等于股指的現(xiàn)貨價(jià)格加上持有現(xiàn)貨的資金利息成本，如果該關(guān)系不成立，則市場(chǎng)就可以通過做多現(xiàn)貨做空期貨或做空現(xiàn)貨做多期貨方式進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)套利。然而，國(guó)債期貨的合約設(shè)計(jì)和傳統(tǒng)的期貨合約存在諸多顯著差異，導(dǎo)致國(guó)債期貨的定價(jià)如果簡(jiǎn)單地運(yùn)用該理論模型就會(huì)產(chǎn)生一定的偏差。首先，國(guó)債期貨的合約標(biāo)的是虛擬的國(guó)債現(xiàn)貨，如中金所的國(guó)債期貨合約規(guī)定其標(biāo)的合約為5年期的到期收益率為3%的國(guó)債現(xiàn)貨，然而滿足該合約條件的國(guó)債現(xiàn)貨在市場(chǎng)中并不一定存在，代替其交割的標(biāo)的國(guó)債是期限為4～7年期的國(guó)債現(xiàn)貨，簡(jiǎn)稱為可交割券。其次，持有國(guó)債期貨的空頭在到期交割時(shí)可以選擇對(duì)自己最有利的可交割券進(jìn)行交割，相當(dāng)于期貨合約內(nèi)嵌了一個(gè)有利于空頭的隱含期權(quán)合約。

因此，本文根據(jù)中金所國(guó)債合約的設(shè)計(jì)條款研究建立以交換期權(quán)模型為基礎(chǔ)的國(guó)債期貨轉(zhuǎn)換期權(quán)價(jià)值模型，試圖得到一個(gè)更加適合我國(guó)國(guó)債期貨合約設(shè)計(jì)狀況且更加精確的定價(jià)方程。

在學(xué)術(shù)文獻(xiàn)上，Margradbe(1978)[7]闡述了對(duì)資產(chǎn)交換期權(quán)進(jìn)行定價(jià)的方法。Gay等(1984)[3]利用William交換期權(quán)的定價(jià)方法為商品期貨合約中的質(zhì)量期權(quán)進(jìn)行定價(jià)建模。Hemler(1990)[6]提出使用交換期權(quán)的定價(jià)方法來實(shí)現(xiàn)為國(guó)債期貨的隱含期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，但是由于我國(guó)國(guó)債期貨合約條款和美國(guó)存在諸多差異，該模型并不完全適合我國(guó)國(guó)債期貨市場(chǎng)。Grieves and Marcus(2005)[4]利用交換期權(quán)的定價(jià)方法為只含有兩個(gè)可交割券的交割期權(quán)定價(jià)，并研究了這種期權(quán)的存在對(duì)套期保值效果的影響。Richard and Rendleman(2004)[8]采用BDT模型為即期無風(fēng)險(xiǎn)利率建模，從而得到了包含擇券交割期權(quán)的國(guó)債期貨價(jià)格，相應(yīng)得到擇券交割期權(quán)的價(jià)值。Abdallah等(2012)[1]同時(shí)考慮了擇時(shí)交割期權(quán)和擇券交割期權(quán)來為國(guó)債期貨合約定價(jià)。Balbas and Reichardt(2010)[2]采用了無套利的方法從市場(chǎng)價(jià)格中提取擇券交割期權(quán)的價(jià)格。Grieves等(2010)[5]對(duì)兩個(gè)可交割券的交割期權(quán)進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)只包含兩個(gè)可交割券的交割期權(quán)定價(jià)方法能夠吻合國(guó)債期貨的市場(chǎng)價(jià)格特征。

國(guó)內(nèi)對(duì)國(guó)債期貨的研究較多集中在制度與市場(chǎng)建設(shè)上，如張慶修和趙文杰(1994)[13]、蔣錦志(1995)[10]對(duì)我國(guó)90年代早期的國(guó)債期貨市場(chǎng)進(jìn)行了概述，鄭權(quán)(1995)[14]對(duì)美國(guó)國(guó)債期貨市場(chǎng)的發(fā)展經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了研究，王敬(2013)[12]等對(duì)中金所國(guó)債期貨的合約設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究。關(guān)于我國(guó)國(guó)債期貨隱含交割期權(quán)建模研究的文獻(xiàn)較少，這是由于我國(guó)國(guó)債期貨是于2013年9月6日才重新上市的，歷史時(shí)間較短?？祫P和潘進(jìn)(2014)[11]利用線性回歸模型研究國(guó)債期貨定價(jià)與交割期權(quán)的實(shí)證關(guān)系，但并未對(duì)交割期權(quán)提出定價(jià)模型。陳穎(2012)[9]探討了國(guó)債期貨的轉(zhuǎn)換期權(quán)，但只是定性的研究，并沒有做定量和模型分析。周子康等(2008)[15]等對(duì)國(guó)債期貨的最便宜交割債券進(jìn)行分析，但并未對(duì)國(guó)債期貨的隱含期權(quán)價(jià)值進(jìn)行探討。

因此，本文首次提出了基于我國(guó)國(guó)債期貨隱含交割期權(quán)的模型分析和實(shí)證分析，并將其用于修正傳統(tǒng)國(guó)債期貨定價(jià)的偏差。通過對(duì)市場(chǎng)數(shù)據(jù)的實(shí)證檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)本文的修正方法在一定程度上減少了國(guó)債期權(quán)的定價(jià)偏差。

中國(guó)國(guó)債期貨合約特征

2013年8月30日中金所發(fā)布了5年期國(guó)債期貨的業(yè)務(wù)規(guī)則，并于2013年9月6日正式在中金所掛牌上市，標(biāo)志著我國(guó)國(guó)債期貨自1995年“327”事件被停止后，重新返回歷史舞臺(tái)。與之前的國(guó)債期貨合約設(shè)計(jì)不同，此次合約為防范市場(chǎng)價(jià)格被人為操縱融入了更嚴(yán)格的限制條款。

5年期國(guó)債期貨的掛鉤標(biāo)的是面值為100萬元人民幣、票面利率為3%的名義中期國(guó)債。由于國(guó)債期貨采用實(shí)物交割方式，在真實(shí)市場(chǎng)中未必能找到剛好滿足該條件的標(biāo)準(zhǔn)券進(jìn)行交割，因此中金所采用合約到期月首日剩余期限為4～7年的記賬式附息國(guó)債作為可交割券來替代標(biāo)準(zhǔn)券。到交割日時(shí)，期貨的空頭可以在一籃子可交割券中選擇對(duì)自己最有利的一支可交割券進(jìn)行實(shí)物交割。然而，不同可交割券的票面利率、剩余期限存在著差異，因此通過轉(zhuǎn)換因子系數(shù)將可交割券的到期收益率和標(biāo)準(zhǔn)券進(jìn)行統(tǒng)一。在數(shù)學(xué)上，轉(zhuǎn)換因子定義為面值1元的可交割國(guó)債在假定到期收益率為標(biāo)準(zhǔn)券利率3%時(shí)其在期貨合約上市日的凈價(jià)。中金所會(huì)在每個(gè)國(guó)債期貨合約上市時(shí)公布轉(zhuǎn)換因子表。國(guó)債期貨交割方式為實(shí)物交割，交割方式分為滾動(dòng)交割和集中交割。滾動(dòng)交割指當(dāng)季合約進(jìn)入交割月份后至最后交易日之前申請(qǐng)的交割，集中交割是指合約最后交易日收市后的未平倉部分按照交易所的規(guī)定進(jìn)入交割。具體合約條款、轉(zhuǎn)換因子系數(shù)和交割清算公式均可在中金所網(wǎng)站查閱得到。

國(guó)債期貨的交割期權(quán)

國(guó)債期貨合約的交割制度賦予期貨空頭一系列選擇權(quán)，具有期權(quán)的屬性，在對(duì)國(guó)債期貨進(jìn)行定價(jià)時(shí)需充分考慮到該類期權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值。如果忽略這些隱含期權(quán)的價(jià)值，可能導(dǎo)致交易策略失效。例如，在利用國(guó)債期貨對(duì)現(xiàn)貨套期保值時(shí)，如果忽略最便宜可交割券的變動(dòng)，很可能導(dǎo)致計(jì)算的對(duì)沖比例和現(xiàn)貨的風(fēng)險(xiǎn)暴露頭寸不匹配，使得套期保值失效。下文根據(jù)中金所國(guó)債期貨合約的條款，對(duì)該類隱含的交割期權(quán)進(jìn)行分析。

一、隱含交割期權(quán)種類

國(guó)債期貨空頭的隱含交割期權(quán)主要包括轉(zhuǎn)換期權(quán)、時(shí)機(jī)期權(quán)和月末期權(quán)。

轉(zhuǎn)換期權(quán)是指在合約的交割月份中，期貨的空頭可以選擇一支最便宜的交割券(簡(jiǎn)稱CTD券)用于最終交割，實(shí)現(xiàn)交割成本的最小化。CTD券并不是一成不變的，而是隨著期貨價(jià)格、現(xiàn)貨價(jià)格、到期期限的變化可能發(fā)生變化。期貨空頭方可以購入更低價(jià)格的交割券替代原先的CTD券完成交割，并從中賺取差價(jià)獲利。正是該或有收益構(gòu)成了轉(zhuǎn)換期權(quán)的到期收益。該轉(zhuǎn)換期權(quán)主要與可交割債券的利率波動(dòng)、到期期限等因素相關(guān)，是國(guó)債期貨空頭隱含交割期權(quán)最重要的構(gòu)成部分。

時(shí)機(jī)期權(quán)來自投資者有權(quán)在第一個(gè)可交割通知日到最后交割日之間的任意一天提出交割申請(qǐng)，空頭方可以選擇一個(gè)現(xiàn)貨價(jià)格較低的時(shí)點(diǎn)提出交割申請(qǐng)，以獲取更低的交割成本。

月末期權(quán)來自期貨交割價(jià)格和最終交割日之間的時(shí)滯。在合約月份中，最后交易日到最終實(shí)物交割日之間，仍有若干個(gè)交易日。在逐日盯市制度下，期貨價(jià)格被鎖定在最后交易日，因此空頭方可以在最終交割日之前選擇一個(gè)有利時(shí)點(diǎn)來買入最便宜的債券。

圖1總結(jié)了三個(gè)期權(quán)的主要特征，轉(zhuǎn)換期權(quán)是從期貨合約上市日到最后交易日空頭方有權(quán)選擇CTD券的權(quán)力，時(shí)機(jī)期權(quán)是從期貨交割月首日到最后交易日空頭方有權(quán)選擇CTD券的權(quán)力，而月末期權(quán)則是從期貨最后交易日到最終交割日空頭方有權(quán)選擇CTD券的權(quán)力。

二、隱含交割期權(quán)估值

盡管目前中金所的國(guó)債期貨存在著諸多嵌入期權(quán)價(jià)值，但合約交割制度同樣限制了時(shí)機(jī)期權(quán)和月末期權(quán)的價(jià)值。首先，對(duì)于時(shí)機(jī)期權(quán)，在滾動(dòng)交割階段，空頭和多頭都可以提出提前交割的申請(qǐng)，但只有在配對(duì)成功后才能進(jìn)入交割，如果提前交割只對(duì)交易的一方有利時(shí)，交易的另一方則可以選擇推遲交割，使得提前交割配對(duì)無法實(shí)現(xiàn)，因此，時(shí)機(jī)期權(quán)對(duì)于我國(guó)國(guó)債期貨價(jià)值可以近似忽略。其次，對(duì)于月末期權(quán)，由于我國(guó)國(guó)債交易集中于銀行間市場(chǎng)，交易所市場(chǎng)交易比較清淡，銀行間市場(chǎng)買賣的國(guó)債在交割時(shí)需由中債登劃轉(zhuǎn)到中證登，至少需要3個(gè)交易日，所以國(guó)債期貨中月末期權(quán)的時(shí)滯性相對(duì)于銀行間市場(chǎng)國(guó)債轉(zhuǎn)托管的時(shí)間變得無意義。即便是交易所市場(chǎng)的債券，期貨交易結(jié)束后也只有半個(gè)交易日可以用于購買交割券，對(duì)空頭獲利的空間也非常有限，因此月末期權(quán)的價(jià)值也可以近似忽略。

圖1 交割期權(quán)比較

綜上分析，目前對(duì)我國(guó)國(guó)債期貨價(jià)值影響最大的隱含期權(quán)是轉(zhuǎn)換期權(quán)。轉(zhuǎn)換期權(quán)的價(jià)值來源于當(dāng)前CTD券是否會(huì)在最后交割日發(fā)生變動(dòng)，如果發(fā)生變動(dòng)則意味著期貨空頭可以用更加便宜的CTD券來進(jìn)行交割，從而獲利。

三、轉(zhuǎn)換期權(quán)的定價(jià)模型

目前，市場(chǎng)中確定CTD券的最常用方法是隱含回購利率最大化。隱含回購利率是指通過計(jì)算當(dāng)前買入可交割券，同時(shí)按當(dāng)前期貨價(jià)格賣空國(guó)債期貨，持有到交割日并用于最后交割，所能夠獲得的實(shí)際收益率。該實(shí)際收益率越高，表明該可交割券的交割成本越低。隱含回購利率的計(jì)算公式如下：

其中Ft為t時(shí)點(diǎn)國(guó)債期貨價(jià)格，CF為轉(zhuǎn)換因子AIT為上一付息日到交割日可交割券的應(yīng)計(jì)利息，Bt為t時(shí)點(diǎn)的可交割券凈價(jià)，AIt為上一付息日到t時(shí)點(diǎn)的可交割券應(yīng)計(jì)利息，n為時(shí)點(diǎn)t到交割日的天數(shù)。表1顯示了TF1503在銀行間市場(chǎng)的可交割券在2014年12月9日時(shí)點(diǎn)的隱含回購利率列表，表中顯示‘13付息國(guó)債15’為該時(shí)刻的最便宜可交割券。

隱含回購利率的公式(1)顯示，隨著債券價(jià)格Bt或期貨價(jià)格Ft的變化，IRR也是在不斷變化，因此，CTD券隨著市場(chǎng)的變化可能會(huì)發(fā)生變化。但是由于可交割券的期限、到期收益率和風(fēng)險(xiǎn)因子相近，不同可交割券的價(jià)格Bt波動(dòng)相關(guān)性較強(qiáng)，而期貨價(jià)格Ft對(duì)不同可交割券均一致，因此不同可交割券的IRR波動(dòng)也具有較強(qiáng)相關(guān)性。正是這樣，不同可交割券的IRR排序變化并不平凡，在交割時(shí)次便宜交割券最有可能替代當(dāng)前的CTD券，可以解釋總體轉(zhuǎn)換期權(quán)價(jià)值的絕大部分。因此，本文建模時(shí)將基于一籃子交割券的轉(zhuǎn)換期權(quán)簡(jiǎn)化為基于兩個(gè)次便宜交割券的最小值看跌交換期權(quán)。

表1 TF1503可交割券的隱含回購利率(2014-12-9，銀行間市場(chǎng))

在設(shè)立模型時(shí)，假設(shè)只有兩個(gè)交割券能夠成為交割時(shí)的最便宜交割券，其中交割券1是當(dāng)前的CTD券，交割券2為次便宜交割券。例如，在表1的交割券1為‘13附息國(guó)債15’，而交割券2為‘14附息國(guó)債24’。當(dāng)國(guó)債期貨進(jìn)入交割時(shí)，交割券2可能替代交割券1成為新的CTD券。

其中Ft為期貨價(jià)格，CF1為交割券1的轉(zhuǎn)換因子，B1,t為交割券1在t時(shí)刻的凈價(jià)，AIt～T為t到T期間的債券利息收入。如果發(fā)生CTD券轉(zhuǎn)移，交割券2成為新的CTD券，則空頭將買入份新的CTD券(交割券2)代替原來的CTD券(交割券1)進(jìn)行交割，并在二級(jí)市場(chǎng)上賣出原CTD券，空頭總獲利為：

其中CF2為交割券2的轉(zhuǎn)換因子，B2,T為交割券2在交割時(shí)的凈價(jià)。對(duì)(3)和(2)式做差就是期貨空頭因持有隱含轉(zhuǎn)換期權(quán)到期時(shí)的獲利，即

另外，假設(shè)模型中兩支可交割券的凈價(jià)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即

其中dW1,t和dW2,t是相關(guān)系數(shù)為σ的維納過程。在這些模型假設(shè)下，本文參考William(1978)對(duì)股票資產(chǎn)交換期權(quán)的基本模型，求解得到國(guó)債期貨轉(zhuǎn)換期權(quán)價(jià)格的封閉解析解為：

其中

基于轉(zhuǎn)換期權(quán)修正的國(guó)債期貨定價(jià)方程

假設(shè)國(guó)債期貨不存在著交割期權(quán)，則國(guó)債期貨的理論價(jià)格滿足一般的期貨定價(jià)方程，即CTD券的凈價(jià)加上其持有成本并除以轉(zhuǎn)換因子，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為如下公式：

其中B1,t+AIt為t時(shí)刻購買CTD券的全價(jià)，AIT為上一付息日到交割日CTD券的應(yīng)計(jì)利息。

由上文分析知，我國(guó)國(guó)債期貨的空頭擁有隱含的轉(zhuǎn)換期權(quán)價(jià)值，因此我們對(duì)我國(guó)國(guó)債期貨定價(jià)時(shí)，需要對(duì)傳統(tǒng)的定價(jià)方程(8)的現(xiàn)券購買成本進(jìn)行修正，即在原先的理論價(jià)格減去隱含期權(quán)價(jià)值，具體方程表達(dá)式如下所示：

對(duì)我國(guó)國(guó)債期貨市場(chǎng)的實(shí)證分析

本文通過建立的模型對(duì)我國(guó)國(guó)債期貨的價(jià)格形成機(jī)制進(jìn)行實(shí)證分析。選取的國(guó)債期貨合約樣本為TF1503，樣本區(qū)間為該合約的交易初始日2014年7月3日～2014年12月23日，總共120個(gè)樣本數(shù)據(jù)。Wind數(shù)據(jù)庫給出了對(duì)TF1503期貨CTD券的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在樣本期內(nèi)，成為該合約CTD券次數(shù)最多的是‘11付息國(guó)債15’，其轉(zhuǎn)換因子為1.056；其次是‘14付息國(guó)債13’，其轉(zhuǎn)換因子為1.0579，因此，這里我們可以近似將這兩支交割券作為本文轉(zhuǎn)換期權(quán)模型的兩支可交割券。

圖2 CTD券和次CTD的凈價(jià)走勢(shì)(數(shù)據(jù)來源Wind)

圖2顯示了‘11付息國(guó)債15’和‘14付息國(guó)債13’在我國(guó)銀行間交易市場(chǎng)的凈價(jià)走勢(shì)，顯然兩支交割券的走勢(shì)高度相關(guān)，這是由于國(guó)債期貨的可交割券具有相似的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)屬性，如國(guó)債的到期期限、到期收益率等。通過該樣本數(shù)據(jù)對(duì)方程(5)和(6)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，選取的估計(jì)方法為：

表2顯示了模型參數(shù)的估計(jì)結(jié)果，兩支可交割券的波動(dòng)率參數(shù)非常接近且相關(guān)系數(shù)為0.99，說明兩支可交割券的波動(dòng)高度相關(guān)。本文在樣本期間內(nèi)市場(chǎng)的無風(fēng)險(xiǎn)利率選取為1年期定期儲(chǔ)蓄存款基準(zhǔn)利率3%，則通過國(guó)債期貨可轉(zhuǎn)換期權(quán)的定價(jià)模型(7)以及參數(shù)估計(jì)值可以計(jì)算出TF1503隱含的可轉(zhuǎn)換期權(quán)的價(jià)值。

表2 模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

圖3 TF1503轉(zhuǎn)換期權(quán)價(jià)值

圖4 TF1503理論價(jià)格、修正價(jià)格和當(dāng)日國(guó)債期貨收盤價(jià)比較

圖3顯示了根據(jù)模型(8)計(jì)算的國(guó)債期貨TF1503隱含的轉(zhuǎn)換期權(quán)價(jià)值。在樣本期內(nèi)，該期權(quán)的價(jià)值平均值為0.257，日波動(dòng)率為0.031。圖3還顯示該轉(zhuǎn)換期權(quán)的價(jià)值隨著到期日的不斷臨近而不斷減少，這是由于期權(quán)的時(shí)間價(jià)值隨著到期日的不斷臨近在不斷流逝。

完成對(duì)轉(zhuǎn)換期權(quán)價(jià)值的估算，我們可以通過本文修正的國(guó)債期貨定價(jià)方程(9)來估計(jì)國(guó)債期貨的理論價(jià)格。圖4顯示了通過傳統(tǒng)期貨定價(jià)方程(9)計(jì)算的國(guó)債期貨理論價(jià)格(圖中的標(biāo)示為“理論價(jià)格”)、本文轉(zhuǎn)換期權(quán)價(jià)值修正的國(guó)債期貨修正價(jià)格(圖中的標(biāo)示為“修正價(jià)格”)以及TF1503期貨市場(chǎng)收盤價(jià)。圖中顯示國(guó)債期貨的理論價(jià)格和修正的理論價(jià)格均與國(guó)債期貨的收盤價(jià)吻合得較好，說明期貨市場(chǎng)和現(xiàn)貨市場(chǎng)保持較高相關(guān)性的價(jià)格趨勢(shì)。圖中還顯示轉(zhuǎn)換期權(quán)價(jià)值的修正能減小一部分基差，通過轉(zhuǎn)換期權(quán)修正的國(guó)債期貨理論價(jià)格曲線和比傳統(tǒng)的理論價(jià)格曲線更加吻合TF1503期貨的市場(chǎng)價(jià)格曲線。這里我們用均值誤差平方根(RMSE)1指標(biāo)來度量?jī)烧咧g的定價(jià)誤差。傳統(tǒng)期貨定價(jià)方程的理論價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格的平均定價(jià)誤差RMSE為0.2112，而本文修正的期貨理論價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格的RMSE為0.0596。因此，RMSE的大小比較分析表明修正的理論價(jià)格定價(jià)誤差顯著小于傳統(tǒng)的期貨定價(jià)模型。

總結(jié)

為了規(guī)避國(guó)債期貨交割時(shí)的逼倉風(fēng)險(xiǎn)，中金所在對(duì)國(guó)債期貨合約的設(shè)計(jì)時(shí)采用了一籃子可交割券交割、滾動(dòng)交割等一系列交割制度，使得傳統(tǒng)的期貨定價(jià)方程會(huì)對(duì)國(guó)債期貨實(shí)際價(jià)值的估計(jì)產(chǎn)生偏差，這是由于其忽略了國(guó)債期貨合約自身隱含的各類期權(quán)價(jià)值。本文通過對(duì)國(guó)債期貨隱含的各類期權(quán)價(jià)值進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)國(guó)債期貨空頭在交割時(shí)會(huì)在一籃子可交割券中選擇最廉價(jià)的現(xiàn)券進(jìn)行交割，其等價(jià)于期貨空頭方持有一個(gè)以可交割券為一籃子資產(chǎn)的交換期權(quán)，基于此，本文首次建立了我國(guó)國(guó)債期貨的轉(zhuǎn)換期權(quán)估值模型，并將該模型融入到國(guó)債期貨傳統(tǒng)的定價(jià)方程。對(duì)樣本的實(shí)證研究表明，該修正模型計(jì)算的理論價(jià)格不僅與國(guó)債期貨的市場(chǎng)價(jià)格高度一致而且比傳統(tǒng)的定價(jià)模型減少了定價(jià)誤差。

注釋