沙 峰，姚林泉，程 曦

（蘇州大學(xué)城市軌道交通學(xué)院，江蘇 蘇州215131）

地震是一種突發(fā)的地殼劇烈運動，世界范圍內(nèi)幾乎每年都要發(fā)生多次不同震級的地震，尤其最近幾年地殼運動非?；钴S，而我國作為地震災(zāi)情嚴(yán)重的國家，自20世紀(jì)以來，平均大約每3年就要發(fā)生2次七級以上地震［1］。地震，尤其是震級與能量較大的地震，給人的生命財產(chǎn)帶來嚴(yán)重的危害。對于鐵路系統(tǒng)而言，較大的地震發(fā)生時，巨大的地震能量會導(dǎo)致路面開裂、地基變形、軌道彎曲、橋梁坍塌，列車脫軌，引發(fā)安全事故。隨著我國高速鐵路的飛速發(fā)展，鐵路橋梁在線路中的比重逐年增加，地震發(fā)生時列車過橋的概率隨之變大。隨著地震烈度的增強和列車運行速度的增加，車橋耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng)變得愈發(fā)復(fù)雜［2］，因此，分析地震作用下車橋系統(tǒng)動力響應(yīng)具有重要意義。

自上世紀(jì)以來，國內(nèi)外許多學(xué)者對地震作用下軌道車輛在橋梁上的行車性能和橋梁的動力響應(yīng)開展了大量的理論和試驗研究工作［3-5］，研究主要集中在地震作用下不同行駛速度對車橋動力響應(yīng)的影響，對于不同烈度地震作用下車橋系統(tǒng)動力響應(yīng)的研究相對較少。在輸入地面激勵時，一些研究只考慮地震波的作用，忽略了軌道隨機不平順的影響，軌道不平順引起的列車振動會隨著列車速度的提高成倍增大［6］，新近的研究表明，對地震作用下列車運行安全性分析不應(yīng)忽略軌道隨機不平順的影響［7］。從目前研究現(xiàn)狀來看，關(guān)于地震條件下車橋動態(tài)安全性能的研究還不夠系統(tǒng)、深入和完善。有的局限于垂向動力學(xué)的分析［8］，有的對車輛模型和輪軌關(guān)系做了大量的簡化，對地震與列車耦合作用考慮不全面［9］，為此需要進一步開展相關(guān)方面的研究工作。

本文在前人的研究基礎(chǔ)上，建立了車輛-橋梁空間耦合動力學(xué)模型，在考慮地震激勵的同時，還考慮了軌道隨機不平順的影響，使激勵更加接近真實。采用新型顯式積分法［10］求解系統(tǒng)動力學(xué)方程，分析了不同地震烈度對車輛運行平穩(wěn)性的影響，可為地震作用下鐵路橋梁的動力響應(yīng)分析和車輛的運行安全分析提供參考。

1 地震作用下車輛-橋梁耦合系統(tǒng)分析模型

1.1 車輛空間振動分析模型

分析中，本文做如下假定：①車體、轉(zhuǎn)向架和輪對均假定為剛體；②車體、轉(zhuǎn)向架和輪對之間均作微振動；③彈簧假定為線性，阻尼按黏滯阻尼計算；④輪軌關(guān)系采用垂向密貼橫向蠕滑線性簡化模型［11］。圖1為車輛-橋梁空間耦合系統(tǒng)模型，車輛采用四軸整車模型，車體和轉(zhuǎn)向架考慮橫移、沉浮、側(cè)滾、搖頭和點頭5個自由度，輪對考慮橫移、沉浮和側(cè)滾3個自由度，整車共有27個自由度。

根據(jù)D′Alembert原理可以推導(dǎo)出車輛多剛體系統(tǒng)的動力學(xué)方程，可表示為如下矩陣形式，具體形式可參見文獻［10］。

式中：[Mv]，[Cv]，[Kv]分別為車輛的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，分別為車輛系統(tǒng)振動的加速度向量、速度向量和位移向量，{Fv} 為車輛系統(tǒng)激勵列向量。

圖1 車輛-橋梁空間耦合系統(tǒng)模型Fig.1 Model of spatial coupled system of train and bridge

1.2 橋梁空間振動分析模型

假設(shè)橋梁為等截面簡支梁，質(zhì)量均勻分布，考慮垂向、橫向和扭轉(zhuǎn)3個方向的自由度，橋梁的運動滿足小變形理論并在彈性范圍內(nèi)，以垂向振動為例，其振動微分方程［12］可表示如下：

其中：δ為Dirac函數(shù)；P(t)為輪對作用在橋上的力。

對于等截面的簡支梁，其振型函數(shù)可假定為三角函數(shù)

其中：n為橋梁的模態(tài)階數(shù)。

引入廣義振型坐標(biāo)qn(t)，則橋梁的任一截面上垂向的運動可由振型函數(shù)疊加表示為

采用Ritz 法，將（4）代入（2）式并乘以第n階振型函數(shù)φn(x)，再沿梁全長積分，并考慮振型的正交特性，即可將四階偏微分方程轉(zhuǎn)化為二階常微分方程：

至此，得到了橋梁垂向振動微分方程。橋梁橫向和扭轉(zhuǎn)振動微分方程可類似得出［10］。

1.3 車橋耦合系統(tǒng)動力學(xué)分析模型

將車輛的動力學(xué)方程（1）和橋梁振型的廣義坐標(biāo)方程（5）進行組合，即可得車輛-橋梁耦合系統(tǒng)的動力學(xué)方程：

式中的下標(biāo)v和b分別表示車輛和橋梁，其中

這里，qV，qL，qT分別為橋梁在垂向、橫向和扭轉(zhuǎn)方向的廣義坐標(biāo)。

地震作用下車橋系統(tǒng)分析模型是由車輛模型和橋梁模型組成的耦合系統(tǒng)，系統(tǒng)的激勵源為軌道隨機不平順和地震的振動。地震作為外部激勵作用在車輛和橋梁上［13］。地震作用下車橋耦合系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

式中：Fv*，F(xiàn)b*分別表示車輛和橋梁的地震力向量，篇幅所限，其它相關(guān)矩陣不詳細羅列。

2 系統(tǒng)激勵模型

2.1 軌道隨機不平順

軌道隨機不平順的統(tǒng)計特征只能依靠線路實地測量獲得，迄今為止，我國尚未形成表征自己鐵路線路狀態(tài)的軌道譜標(biāo)準(zhǔn)，只有相關(guān)部門給出的一些建議的功率譜密度表達式。而國外對于軌道不平順功率譜的研究已相當(dāng)深入，并且形成了相應(yīng)的軌道譜標(biāo)準(zhǔn)［10］；因此，在計算中選用了適用于高速鐵路的德國高速軌道低干擾譜，其功率譜密度公式如下：

高低不平順

方向不平順

其中：Av，Aa是粗糙度常數(shù)；Ω為軌道不平順的空間頻率；Ωc，Ωr是截斷頻率。具體取值參見文獻［10］。

通過數(shù)值模擬的方法［14］，將軌道隨機不平順功率譜密度函數(shù)轉(zhuǎn)換為空間時域樣本引入車橋耦合系統(tǒng)。

2.2 地震波的規(guī)格化

在分析地震作用下車輛-橋梁系統(tǒng)的動力響應(yīng)時，通常選用一些國際上常用的真實地震加速度記錄，進行規(guī)格化處理之后作為系統(tǒng)的輸入激勵。地震作為外部激勵作用在車輛和橋梁上，采用一致激勵模式，假定地震發(fā)生時基礎(chǔ)各點以相同的振幅和相位振動，不考慮場地效應(yīng)和地震波的行波效應(yīng)，即每跨橋梁受到的地震作用相同。本文選用典型的El Centro地震波作為地震輸入激勵。

地震波的規(guī)格化是將實際地震記錄的加速度峰值調(diào)整為分析需要的峰值，按照《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》［15］的規(guī)定：當(dāng)結(jié)構(gòu)采用三維空間模型需要雙向或三向地震波輸入時，其加速度最大值通常按1（水平1）：0.85（水平2）：0.65（豎向）的比例調(diào)整。本文在計算時不考慮車輛和橋梁的縱向振動，因此采用雙向輸入，按最不利的情況考慮，即按1（水平1）：0.65（豎向）的比例調(diào)整，地震波的加速度最大值為

式中：ay(t)，az(t)和a′y(t)，a′z(t)分別為調(diào)整前后的地震波加速度，下標(biāo)y，z分別表示水平和豎向。

根據(jù)《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》給出的地震烈度和地震加速度峰值對應(yīng)關(guān)系，如表1所示，將初始地震波進行規(guī)格化處理之后即可得到分析所需的地震波，表中g(shù)為重力加速度。

表1 地震烈度和加速度峰值對應(yīng)關(guān)系Tab.1 Relationship between seismic intensity and maximum acceleration

3 數(shù)值計算方法

車橋耦合系統(tǒng)動力學(xué)模型可知，車橋耦合系統(tǒng)的動力學(xué)方程可表示為如下形式：

本文采用文獻[10]提出的新型顯式積分法進行數(shù)值求解。新型顯式積分法是由Newmark 法演變而來的，其積分格式為

其中：φ，ψ為積分參數(shù)。將上式代入系統(tǒng)微分方程（12）在t=(n+1)Δt瞬時的形式

由上式可得

其中：

根據(jù)初始條件可得

于是便可按遞推公式（13）及（15）逐次計算出各步長對應(yīng)的位移、速度和加速度離散值。起步時只需令φ=ψ=0，從而使本方法具有積分“自開始”的特性。

4 車橋耦合系統(tǒng)動力響應(yīng)分析

本文以高速鐵路車輛-橋梁耦合系統(tǒng)為研究對象，其中車輛選用高速車輛模型，模型的具體參數(shù)詳見文獻［10］中的附表6，橋上軌道結(jié)構(gòu)和橋梁視為一體，橋梁采用多跨單線高速鐵路簡支梁形式，橋梁的相關(guān)參數(shù)為：彈性模量Eb=2.943×1010N·m-2，橋梁橫截面在兩個方向的轉(zhuǎn)動慣量分別為Ibz=8.78 m4、Iby=14.83 m4，每跨橋梁長度Lb=24 m，橋梁各階阻尼比均為0.05。假設(shè)車輛以250 km·h-1的速度勻速運行于橋梁上，橋梁共有9跨。不考慮墩高對系統(tǒng)響應(yīng)的影響，系統(tǒng)的振動位移從靜平衡位置開始算起。采用新型顯式積分法求解系統(tǒng)振動方程，取積分參數(shù)φ=ψ=1/2，時間步長Δt=200 μs。我國將地震烈度劃分為12 個等級，6 度以下地震的加速度峰值較小，對車橋耦合系統(tǒng)的影響不大；橋梁的抗震設(shè)防烈度為9度，當(dāng)?shù)卣鹆叶却笥?度時橋梁可能已經(jīng)發(fā)生破壞，故本文主要研究地震烈度為6～9度時車橋耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng)。

4.1 系統(tǒng)動力響應(yīng)分析

根據(jù)表1不同烈度的地震所對應(yīng)的加速度峰值將地震波進行規(guī)格化處理，引入車橋耦合系統(tǒng)，便可得到車橋耦合系統(tǒng)在地震作用下的動力響應(yīng)，圖2～圖5為地震烈度為9度時橋梁的動力響應(yīng)曲線。

圖2 地震烈度9度時橋梁中點垂向加速度Fig.2 Vertical acceleration of the bridge midpoint under 9-degree of seismic intensity

圖3 地震烈度9度時橋梁中點橫向加速度Fig.3 Horizontal acceleration of the bridge midpoint under 9-degree of seismic intensity

圖4 地震烈度9度時橋梁中點垂向撓度Fig.4 Vertical deflection of the bridge midpoint under 9-degree of seismic intensity

圖5 地震烈度9度時橋梁中點橫向撓度Fig.5 Horizontal deflection of the bridge midpoint under 9-degree of seismic intensity

根據(jù)《高速鐵路設(shè)計規(guī)范（試行）》［16］的規(guī)定：橋梁的垂向和橫向振動加速度限值分別為0.50g和0.14g，g為重力加速度；橋梁的垂向撓度限值為L/1 400，橫向撓度限值為L/4 000，L為橋梁跨度。由圖2～圖5可以看出：當(dāng)?shù)卣鹆叶葹?度時，橋梁垂向、橫向的加速度和撓度均滿足限值的要求。

對于高速鐵路車輛，車體振動加速度的標(biāo)準(zhǔn)為：垂向振動加速度0.13g，橫向振動加速度0.10g。表2為不同烈度地震作用下車體的振動加速度峰值，可以看出：當(dāng)?shù)卣鹆叶葹?度，地震加速度峰值為0.10g時，車輛的垂向和橫向最大加速度的絕對值分別為0.23g和0.13g，已經(jīng)大于車體振動加速度標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的0.13g和0.10g，車輛將不能平穩(wěn)地運行于橋梁之上。

4.2 地震對車輛Sperling指標(biāo)的影響

我國機車車輛運行平穩(wěn)性指標(biāo)采用Sperling指標(biāo)，平穩(wěn)性評定等級的限值為3.0［10］，Sperling指標(biāo)計算公式為

式中：A為車體振動加速度；f為振動頻率；F(f)為頻率修正系數(shù)。具體取值參見文獻［10］。

表2 不同烈度地震下車體振動加速度峰值Tab.2 Maximum acceleration of the vehicle under different degrees of seismic intensity

表3為不同烈度地震作用下車輛垂向和橫向Sperling指標(biāo)，可以看出：當(dāng)?shù)卣鹆叶葹?度，地震加速度峰值為0.3g時，車輛垂向Sperling 指標(biāo)超出限值；當(dāng)?shù)卣鹆叶葹? 度，地震加速度峰值為0.4g時，車輛橫向Sperling指標(biāo)超出限值。

表3 不同烈度地震下車輛Sperling指標(biāo)Tab.3 Sperling index of the vehicle under different degrees of seismic intensity

4.3 軌道隨機不平順的影響

為了考察軌道隨機不平順對地震作用下車橋耦合系統(tǒng)的影響，在一定烈度的地震作用下，對比不考慮隨機不平順和考慮隨機不平順情況下車橋耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng)。根據(jù)數(shù)值結(jié)果可知，軌道隨機不平順對車輛的垂向和橫向加速度響應(yīng)影響都非常小，對橋梁橫向加速度響應(yīng)的影響也不太明顯，而對橋梁垂向加速度響應(yīng)的影響相對明顯。表4為不同烈度地震下橋梁垂向振動加速度的峰值，可以看出，隨著地震烈度的增大，軌道隨機不平順對橋梁垂向振動加速度峰值的影響越來越小。因此，在相對較弱的地震作用下，如需詳細研究橋梁的動力響應(yīng)，需要考慮軌道隨機不平順的影響。

表4 不同烈度地震下橋梁垂向振動加速度峰值（m·s-2）Tab.4 Maximum vertical acceleration of the bridge under different degrees of seismic intensity

綜上可知，車輛在地震烈度為7度時已經(jīng)不能平穩(wěn)地運行于橋梁上。車輛運行平穩(wěn)性的Sperling指標(biāo)相對加速度指標(biāo)較為寬松，為了安全起見，采用相對保守的加速度指標(biāo)更為合理。在相對較弱的地震作用下，軌道隨機不平順對橋梁的垂向加速度響應(yīng)影響明顯，分析時需要加以考慮。

5 結(jié)論

本文建立了車輛-橋梁耦合系統(tǒng)動力學(xué)模型，將規(guī)格化的地震波作為外界激勵引入系統(tǒng)模型，同時考慮了軌道隨機不平順的影響，采用新型顯式積分法對系統(tǒng)動力學(xué)方程進行求解，得到了車橋耦合系統(tǒng)在地震波和軌道隨機不平順共同作用下的動力響應(yīng)，并且對不同烈度地震作用下車橋耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng)進行了分析。研究表明：

1）當(dāng)?shù)卣鹆叶葹?度及以下，地震加速度峰值不大于0.4g時，橋梁的垂向和橫向振動加速度，垂向和橫向撓度均滿足《高速鐵路設(shè)計規(guī)范（試行）》中規(guī)定的限值要求。

2）當(dāng)?shù)卣鹆叶葹?度，地震加速度峰值為0.10g時，車輛的垂向和橫向加速度超出限值；當(dāng)?shù)卣鹆叶葹?度，地震加速度峰值為0.3g時，車輛運行平穩(wěn)性的Sperling指標(biāo)超出限值。

3）車輛運行平穩(wěn)性的Sperling指標(biāo)相對加速度指標(biāo)較為寬松，為了安全起見，應(yīng)當(dāng)采用相對保守的加速度指標(biāo)，當(dāng)?shù)卣鹆叶葹?度，地震加速度峰值為0.10g時，車輛已經(jīng)不能平穩(wěn)地運行于橋梁上。

4）在相對較弱的地震作用下，軌道隨機不平順對橋梁垂向加速度響應(yīng)的影響明顯，如需詳細研究橋梁的動力響應(yīng)，應(yīng)當(dāng)考慮軌道隨機不平順的影響。

[1]王開云,王少林,楊久川,等.地震環(huán)境下鐵路輪軌動態(tài)安全性能及脫軌研究進展[J].地震工程與工程振動,2012,32(6):82-94.

[2]王少林,翟婉明.地震作用下高速列車-線路-橋梁系統(tǒng)動力響應(yīng)[J].西南交通大學(xué)學(xué)報,2011,46(1):56-62.

[3]JU S H.Improvement of bridge structures to increase the safety of moving trains during earthquakes [J].Engineering Structures,2013,56:1563-1579.

[4]XIA C Y, XIA H, ROECK G De.Dynamic response of a train-bridge system under collision loads and running safety evaluation of high-speed trains[J].Computers and Structures,2014,140:23-28.

[5]陳水生,黃里.雙柱式橋墩剛度對橋梁地震響應(yīng)分析[J].華東交通大學(xué)學(xué)報,2014,31(3):29-34.

[6]房建,雷曉燕,練松良.軌道不平順波長對橋上CRTS II 型板式軌道振動特性的影響[J].華東交通大學(xué)學(xué)報,2014,31(1):1-6.

[7]徐鵬.列車-軌道-路基耦合振動及地震條件下行車安全性分析[D].成都:西南交通大學(xué),2012.

[8]LIU M F,CHANG T P,ZENG D Y.The interactive vibration behavior in a suspension bridge system under moving vehicle loads and vertical seismic excitations[J].Applied Mathematical Modelling,2011,35:398-411.

[9]陳令坤.地震作用下高速鐵路列車-無砟軌道-橋梁系統(tǒng)動力響應(yīng)及走行安全研究[D].長沙:中南大學(xué),2012.

[10]翟婉明.車輛-軌道耦合動力學(xué)[M].3版.北京:科學(xué)出版社,2007.

[11]杜憲亭.強地震作用下大跨度橋梁空間動力效應(yīng)及列車運行安全研究[D].北京:北京交通大學(xué),2011.

[12]夏禾,張楠.車輛與結(jié)構(gòu)動力相互作用[M].2版.北京:科學(xué)出版社,2005.

[13]張楠,夏禾.地震對多跨簡支梁橋上列車運行安全的影響[J].世界地震工程,2001,17(4):93-99.

[14]陳果,翟婉明.鐵路軌道不平順隨機過程的數(shù)值模擬[J].西南交通大學(xué)學(xué)報,1999,34(2):138-142.

[15]中華人民共和國住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部.GB 50011-2010.建筑抗震設(shè)計規(guī)范[S].北京:中國建筑工業(yè)出版社,2010.

[16]中華人民共和國鐵道部.TB 10020-2009.高速鐵路設(shè)計規(guī)范(試行)[S].北京:中華人民共和國鐵道部,2009.