張 博，劉 慶，張志祥，曹和平

（1.北京大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，北京100871；2.中央財經(jīng)大學(xué) 中國經(jīng)濟(jì)與管理研究院，北京100081）

一、引 言

從某種意義上說，整個人類史就是人類與自然的互動史。在這一過程中，人類與自然之間不斷地進(jìn)行著物質(zhì)和能量交換。經(jīng)濟(jì)人類學(xué)家卡爾·波郎尼認(rèn)為，經(jīng)濟(jì)的實(shí)質(zhì)正是這一交換過程。作為這一過程中的能動者一方，人類向自然攫取資源以繁衍和發(fā)展自身，進(jìn)而形成了各種類型的文明?？梢钥吹皆谌祟愂飞希煌拿髦腥丝?資源系統(tǒng)的運(yùn)行模式有所不同，而這一模式也正蘊(yùn)含了文明的走向。

復(fù)活節(jié)島之謎一直是困擾人類學(xué)家的一個難題。眾所周知，復(fù)活節(jié)島，作為孤懸于茫茫太平洋之中與世隔絕的彈丸小島，其居民居然早在一千年以前就創(chuàng)造出了令人驚異的巨型莫艾石雕，其創(chuàng)造力是何等的不可思議，但其社會竟然忽然間崩潰了。復(fù)活節(jié)島上究竟發(fā)生了什么？多數(shù)的人類學(xué)家都注意到復(fù)活節(jié)島文明的崩潰在于其生態(tài)系統(tǒng)的崩潰。1998年，Branderamp;Taylor［1］在AER上發(fā)表了他們的有引領(lǐng)作用的文章，以一個經(jīng)濟(jì)學(xué)和生物學(xué)的混合模型來刻畫復(fù)活節(jié)島文明崩潰的過程。他們試圖說明，復(fù)活節(jié)島文明崩潰的癥結(jié)在于生態(tài)系統(tǒng)的脆弱性和在過時的自然資源產(chǎn)權(quán)制度（open access）下人的短視行為導(dǎo)致了生態(tài)系統(tǒng)的崩潰進(jìn)而引發(fā)整個文明的崩潰。Brander和Taylor的工作引發(fā)了不少的經(jīng)濟(jì)學(xué)家對封閉小經(jīng)濟(jì)體崩潰問題研究的熱情。他們的模型（有人簡稱為BTmodel）后來有一系列的發(fā)展，研究者們從各種不同的角度提出了各種各樣的新的模型，以圖更好地揭示復(fù)活節(jié)島文明崩潰的根源。

與復(fù)活節(jié)島文明的崩潰形成鮮明對比的是另一個也堪稱是人類學(xué)活標(biāo)本的位于中國云南西北高原上的瀘沽湖畔的摩梭人社會的持續(xù)和穩(wěn)定。據(jù)考證，摩梭人是古羌人的一支，由古中國西北方越萬里遷徙而來，最終定居于瀘沽湖畔，現(xiàn)已近兩千年。這里由于有高山阻隔，鮮與外界相溝通。除1949年之后受到外界的巨大沖擊之外，兩千年來，這里可以說一直是一個相對封閉的社會。但就是這樣一個相對封閉的社會，卻有著超強(qiáng)的文化凝聚力，其社會經(jīng)濟(jì)在其先祖定居下來若干年后就已經(jīng)進(jìn)入一種穩(wěn)定狀態(tài)，社會安定，族人和睦相處，生活殷實(shí)，并一直能夠享有優(yōu)美的自然環(huán)境。

在摩梭文化中，有著以下的基本特征：①明晰的資源產(chǎn)權(quán)私有制；②上代對下代的較強(qiáng)烈的利他主義傾向；③清晰的生態(tài)意識，包括對生存空間有限性的認(rèn)識，進(jìn)而主動地控制生育率。

以往的模型皆不能直接用來解釋摩梭社會的可持續(xù)。其實(shí)，BT模型以及后來出現(xiàn)的各類模型中把所考察的人的生育率看成是固定的外生變量這一點(diǎn)是非常不恰當(dāng)?shù)?，是對人的行為的過度簡單化的處理。事實(shí)上，有大量的人類學(xué)證據(jù)表明［2］，早在石器時代，有些地域的人們就已經(jīng)有著明確的主動控制人口的做法，而類似的做法至今還保留在一些民族的文化之中，比如今日的亞馬遜叢林中的一些印第安部落，等等。而摩梭人從古至今都有著清醒的主動控制人口的做法?？朔﨎T模型的這一弱點(diǎn)是本文的主要目的之一。

復(fù)活節(jié)島社會與摩梭社會只是本文選取出來的人類在處理自身與自然的關(guān)系方面的兩個典型樣板。本文的目的是，亦如Brander和Taylor，采用規(guī)范的經(jīng)濟(jì)學(xué)建模手段來刻畫在不同的文化背景之下的人的行為，進(jìn)而導(dǎo)致不同的人口-資源運(yùn)行模式。本文的模型與BT模型及其后續(xù)者的根本區(qū)別在于把人的生育率內(nèi)生化，更確切地，將建立一個人口—資源系統(tǒng)模型，其中人對資源的開采速度和人的生育率是控制變量或稱決策變量，模型實(shí)質(zhì)上可以看成是考慮了資源和人口因素的內(nèi)生經(jīng)濟(jì)增長模型。本文著重要刻畫的人的行為的側(cè)面之一就是人自覺地控制人口從而沒有陷入所謂的馬爾薩斯陷阱；另一個側(cè)面是人自覺地把資源的開采速度控制在資源的再生能力可容忍的范圍以內(nèi)，從而避免了生態(tài)系統(tǒng)的崩潰。

二、文獻(xiàn)綜述

本節(jié)綜述BT模型的發(fā)展，帶有內(nèi)生生育率的經(jīng)濟(jì)增長模型、代際公平和利他主義等方面的文獻(xiàn)。

（一）BT模型

BT模型可粗略地表述如下：考慮一個孤島，起初有若干人進(jìn)入，有某種自然資源以支撐人們生存，資源的產(chǎn)權(quán)結(jié)構(gòu)為自由進(jìn)入式。

假設(shè)：人口增長率=生育率-死亡率，而其中生育率為常數(shù)，死亡率與資源的開采速度有關(guān)。那么：①若資源生長不快，則該島的人口—資源系統(tǒng)最終將螺旋式趨向于一個非0平衡狀態(tài)；②若資源生長很快，則該島的人口—資源系統(tǒng)最終將單調(diào)式趨向于一個非0平衡狀態(tài)。而BT認(rèn)為，這兩種情形分別對應(yīng)著波利尼西亞群島中的復(fù)活節(jié)島和Tikopia島，這就是BT模型。事實(shí)上，BT模型對這兩島文明的解釋都是不正確的。因?yàn)閺?fù)活節(jié)島文明崩潰了，而BT模型給出的結(jié)局是整個系統(tǒng)最終趨向于一個非0平衡狀態(tài)，并沒有崩潰。因此，BT模型沒有解釋復(fù)活節(jié)島文明的崩潰。

而在Tikopia島上，有人類學(xué)證據(jù)表明，其資源產(chǎn)權(quán)結(jié)構(gòu)并非自由進(jìn)入式，而是有著嚴(yán)格和明晰的產(chǎn)權(quán)安排。此外，還有證據(jù)表明，他們有意識地主動地控制人口增長，其手段包括降低生育率（減少房事、避孕等），提高死亡率（除自然死亡外，還特別地有殺嬰、活人祭祀、死刑等），提高人口的移出率（鼓勵遠(yuǎn)航、活人放逐等）。因此，用BT模型來刻畫Tikopia島更不恰當(dāng)。

這里，特別強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)的是：Tikopia島人主動控制生育率，因此，把他們的生育率看作外生的常數(shù)是非常不恰當(dāng)?shù)?，在Tikopia島人那里，生育率是他們的決策變量之一；另外，把死亡率看作是只與資源開采速度有關(guān)也是不恰當(dāng)?shù)?，因?yàn)樗麄冞€主動殺人（當(dāng)然其動機(jī)有宗教成分）。

盡管BT模型不成功，但它是首次采用動力系統(tǒng)方法來研究封閉小社會中資源產(chǎn)權(quán)結(jié)構(gòu)對人口—資源系統(tǒng)運(yùn)行影響的工作，所以，還是有價值的，其方法論價值大于其實(shí)際的解釋力方面的價值。

BT在其文章的最后說，波利尼西亞島群中不同島嶼上發(fā)展模式的不同或許可以從制度的不同方面得到解釋。但這僅僅是他們的猜測而已，并不是他們的模型中就有著什么制度變量，這個變量滿足什么條件，文明就可以持續(xù)，他們并沒有為此建立模型。也正因?yàn)锽T模型什么都沒能解釋但有方法論意義，所以才有后來的一系列的發(fā)展，包括關(guān)于復(fù)活節(jié)島和Tikopia島的比較研究。

（二）BT模型的發(fā)展

在解釋復(fù)活節(jié)島文明崩潰的經(jīng)濟(jì)學(xué)文章中，繼BT之后，又出現(xiàn)了各種各樣的新的模型，以期校正BT模型的缺陷并對復(fù)活節(jié)島文明崩潰給予更合理的解釋。本文對其中主要的模型進(jìn)行評述。

所有這些模型，除de la Croixamp;Dottori［3］的博弈模型外，在形式上，類似于傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)增長模型，主要有兩類：①類似于Solow-Swan模型［4］；②類似于Ramsey-Cass-Koopman模型。只不過，這里的資本是自然資本而不是人造資本而已，當(dāng)然有些文章還同時考慮了人造資本。

在所有的類Solow-Swan模型中，BT的后繼者們有別于BT模型的區(qū)別主要有：生產(chǎn)函數(shù)有所改變，或者模型中加入了技術(shù)進(jìn)步，或者效用函數(shù)有所改變，或者資源的再生函數(shù)不同，或者人口的生長規(guī)律不同，或者考慮了制度安排上的因素（譬如，一種鄉(xiāng)規(guī)是對開采資源進(jìn)行征稅，還有對少砍伐樹木的人進(jìn)行獎勵等）?？傊?，都只假設(shè)了人只追求眼前利益的最大化，由這樣的人的行為來推動整個系統(tǒng)的運(yùn)行。在所有這類模型中，即使僅僅是眼前利益，生育問題也不在人的考慮之列。

本文更感興趣的還是類Ramsey-Cass-Koopman模型，這里只有Anderies［5］和Goodamp;Reuveny［6］。其實(shí)，Anderies（2003）討論的主要還是類Solow-Swan模型。與BT模型類似，Anderies（2003）也考慮了一個有兩個經(jīng)濟(jì)部門的封閉經(jīng)濟(jì)體，其生產(chǎn)的投入品為可再生的自然資源、勞動和物質(zhì)資本，人們在自己的財力約束下最大化當(dāng)前的效用，進(jìn)而推動整個人口—自然資源—物質(zhì)資本系統(tǒng)的運(yùn)行，作者同時考慮了技術(shù)進(jìn)步。從系統(tǒng)運(yùn)行的結(jié)果看，作者得出結(jié)論說，通過人口策略上的變化而不是改變技術(shù)進(jìn)步所需要的投資，更能夠避免人口膨脹、自然資源枯竭的惡果。當(dāng)然，作者也在文章的結(jié)尾處，給出了一個類Ramsey-Cass-Koopman模型，其中生育率、兩部門產(chǎn)品的消費(fèi)量為決策變量，但作者僅僅是寫出了一個典型家庭的目標(biāo)泛函和約束而已，并沒有進(jìn)行分析，他說這樣的模型太過復(fù)雜無法處理。因此，可以說，這個模型在他的文章里沒有起到任何作用。

再來看Goodamp;Reuveny（2006）的模型。他們建模的目的是要考察資源產(chǎn)權(quán)制度的作用。如同在BT模型中一樣，考慮一個封閉經(jīng)濟(jì)體，有兩個經(jīng)濟(jì)部門：物質(zhì)生產(chǎn)部門和非物質(zhì)生產(chǎn)部門，其生產(chǎn)函數(shù)以及個體的效用函數(shù)均與BT模型相同。與BT模型的區(qū)別是，任何t時刻，一個人投入到物質(zhì)生產(chǎn)部門和非物質(zhì)生產(chǎn)部門的勞動分別為v（t）和1-v（t）。那么，代表性個體的目標(biāo)就是要選擇最優(yōu)的人力分配路徑以實(shí)現(xiàn)其一生效用最大，即下面的優(yōu)化問題（PT）：

其中，S為自然資源儲量；L為人口數(shù)量；r＞0為資源的本性增長率；K＞0為該生態(tài)環(huán)境對其自然資源的最大承載能力；b＞0為無資源系統(tǒng)下的人口出生率；d＞b＞0為在無該資源系統(tǒng)支撐之下的人口死亡率，它們都為常數(shù)；a＞0表示物質(zhì)部門的生產(chǎn)技術(shù)水平；φ＞0為人均資源消費(fèi)對人口增長率的貢獻(xiàn)系數(shù)；T為其壽命；β∈（0，1）。如果有一個壽命無窮長的社會計(jì)劃者，由他來安排所有人的勞動分配計(jì)劃，那么，他的最優(yōu)化問題就是（P∞），即在上面的優(yōu)化問題（PT）中令T=∞。

對于上述問題，Goodamp;Reuveny（2006）不能給出明確的解析解，只能通過數(shù)值模擬對（P∞）問題進(jìn)行分析，通過模擬得出的“結(jié)論”是，此系統(tǒng)存在全局穩(wěn)定焦點(diǎn)，系統(tǒng)任何內(nèi)部初始狀態(tài)出發(fā)最終都會螺旋式趨向于該穩(wěn)定點(diǎn)，且只要貼現(xiàn)率ρ＞0.5%，此穩(wěn)定狀態(tài)就基本上與BT模型中的相同。因此，他們最終的結(jié)論是，產(chǎn)權(quán)制度救不了復(fù)活節(jié)島。

到此，本文完整地介紹了Goodamp;Reuveny（2006）的核心內(nèi)容。在這里，要指出這篇文章中的兩點(diǎn)不當(dāng)之處。

第一，任何人在物質(zhì)部門都有同樣的生產(chǎn)函數(shù)y1=aS(t)u(t)。這一點(diǎn)，在產(chǎn)權(quán)制度的含義上，與BT模型完全相同，完全沒有體現(xiàn)出“完全的明晰的產(chǎn)權(quán)制度”，與“自由進(jìn)入”毫無二致。

事實(shí)上，作者并沒有明確指出這個所謂的“完全的明晰的產(chǎn)權(quán)制度”到底是什么樣的制度。因?yàn)殡S著時間的前進(jìn)，人口數(shù)量和資源儲量都在變化，這個“產(chǎn)權(quán)制度”是在任何時刻全部資源被當(dāng)時的所有人平分或按別的什么方式分割？還是全部資源從頭到尾根本就歸屬于最初的若干個人？這一點(diǎn)是產(chǎn)權(quán)制度的關(guān)鍵。

假如，一個極端情形，產(chǎn)權(quán)是這樣安排的：在任何時刻，所有資源被當(dāng)時所有的人所平分，那么，如y1=avS這樣的生產(chǎn)函數(shù)對任何人都是不可實(shí)施的，因?yàn)樗佑|不到全部的S，而只能接觸到S/L。所以，如果依然采用Schaefer生產(chǎn)函數(shù)，那么，此時每個人在物質(zhì)部門可獲得的生產(chǎn)函數(shù)應(yīng)該是y1=avS/L。

假如，另一個極端，產(chǎn)權(quán)是這樣安排的：在任何時刻，所有資源皆歸屬于最初的一個人，而其他人可以向他租借，那么，既然是租借，一定要有租金。因此，在任何時刻，一個普通人，他要解決的問題中，其效用函數(shù)中就應(yīng)該減去相應(yīng)的租金，更確切的，此時的效用函數(shù)應(yīng)該是ηy1，其中η＞0為單位租金（或稱為稅率）。

第二，壽命無窮長的社會計(jì)劃者的問題被刻畫成（P∞）。按照作者的觀點(diǎn)，在一個非集中化的經(jīng)濟(jì)體中，社會計(jì)劃者是每一個單個的人的代表。這樣一來，由于他們的模型假設(shè)在沒有資源系統(tǒng)支撐下的本性死亡率d大于0，假設(shè)他有無窮長的壽命就欠妥當(dāng)。因而，無限長的壽命和正的死亡率之間顯然是矛盾的。

而若這個社會計(jì)劃者并不是任何單個的人，而是世代交替的個體銜接而成的一個抽象的個體，那么該模型就應(yīng)該被看成世代交疊模型的連續(xù)化。但是，如若這樣［7］，相對于個體的優(yōu)化問題（PT）的OLG模型不是上述優(yōu)化問題（P∞），而是如下模型：

總之，Goodamp;Reuveny（2006）的模型是不恰當(dāng)?shù)摹?/p>

正如在引言中所述，BT模型以及BT模型的后續(xù)發(fā)展，考慮的僅僅是無資源產(chǎn)權(quán)制度、利己主義主導(dǎo)人的行為、生育率外生的情形，因此不能直接用來刻畫摩梭社會人口-資源系統(tǒng)的運(yùn)動過程。

（三）帶有內(nèi)生生育率的經(jīng)濟(jì)增長模型

人口與經(jīng)濟(jì)發(fā)展顯然具有重要關(guān)系。馬爾薩斯是最早研究人口與經(jīng)濟(jì)發(fā)展的關(guān)系的學(xué)者之一。他提出了著名的馬爾薩斯陷阱：人口的增長會使得自然資源利用增加，并最終將導(dǎo)致資源枯竭、經(jīng)濟(jì)蕭條甚至饑荒和戰(zhàn)爭，進(jìn)而反過來導(dǎo)致人口的下降。但當(dāng)今一些發(fā)達(dá)國家的發(fā)展的事實(shí)表明，人口增加并不必然陷入馬爾薩斯陷阱。通過采取一些措施，譬如控制人口的政策，建立明晰的資源產(chǎn)權(quán)制度，鼓勵制度技術(shù)創(chuàng)新等，可以避免馬爾薩斯陷阱的產(chǎn)生。

此后，很多研究把人口因素加入到經(jīng)濟(jì)增長的模型框架之下，如Cass模型，只不過人口增長率都是外生給定的。Becker［8］是較早研究內(nèi)生生育率的學(xué)者，他將生育率內(nèi)生化，以考察影響人們生育決策的因素。進(jìn)而，后來的經(jīng)濟(jì)增長模型常常把人們的生育決策考慮在內(nèi)。

人們在決定是否生育和生育多少孩子的時候，所慮因素究竟有哪些？在不同的文化背景之下不同的社會發(fā)展階段中，所慮因素都有所不同。其中，不可否認(rèn)，人類生育的最基本動機(jī)是為了種群的延續(xù)。但就單個個體而言，有時這一基本動機(jī)表現(xiàn)得并不十分明顯，而其他因素的作用是很大的。在漢民族的傳統(tǒng)道德中有所謂“不孝有三，無后為大”，其實(shí)這更重要的是來自于漢民族的強(qiáng)烈的家族觀念。但不是所有的民族都對其成員有生育的道德義務(wù)的要求。就單個個體而言，他們考慮的可能包括養(yǎng)兒的未來收益如防老等、養(yǎng)兒成本（包括物質(zhì)成本和精神疲憊的程度等）、兒童給自己帶來的無可替代的精神歡愉、家族實(shí)力的增強(qiáng)、榮耀感，等等。這些因素之中，有些是出于利己主義的（如養(yǎng)兒防老、養(yǎng)兒太費(fèi)力等），而有些是利他主義的（如為種群的繁衍、為后代的幸福等）。不過，在有些文化中，也有可能包括基于對生存空間有限性的認(rèn)識而主動地抑制生育。事實(shí)上，有一個著名的倫理悖論［9］是：在一個悲慘的境遇中，人們是生育后代還是不生育后代，那種選擇更道德呢？或者，出生于一個悲慘的家庭里還是不出生，哪一種更優(yōu)？本文認(rèn)為，在生存空間有限、問題突出的地方，主動抑制生育非但不是利己主義的表現(xiàn)，相反，這一行為是利他主義的。

至此，有關(guān)內(nèi)生生育率文獻(xiàn)的模型一般如下：如是一種離散時間的OLG模型［10］，第t期人的效用函數(shù)是這里xt為其個人消費(fèi)，nt為其子女的人數(shù)，ρ∈[0,1]為折現(xiàn)因子，而δ∈(0,1]，利他主義主要表現(xiàn)在ρ的大小上。關(guān)于折現(xiàn)率的設(shè)定，可參考文獻(xiàn)［11-12］。過大或者過小的折現(xiàn)率都是不妥當(dāng)?shù)?。在本文的結(jié)論部分也會明確地討論折現(xiàn)率的設(shè)定問題。

于是，一族人的祖先的效用函數(shù)即為U0=其中其連續(xù)版本即為這里的利他僅僅是上代對下代的利他。也有人考慮下代對上代的利他［13］。

需要特別強(qiáng)調(diào)的是，在現(xiàn)有的內(nèi)生生育率文獻(xiàn)中，除文獻(xiàn)［13-14］等少量文章之外，死亡率皆是外生的，比如，極端的情形有，Becker的離散模型中，每個人只活兩期，兩期后死是必然的；還有些連續(xù)時間模型，任何人的生存都是瞬間的，生出來然后立即死去。而在上一小節(jié)中所指的BT模型及其發(fā)展的文獻(xiàn)中，生育率是外生常數(shù)，而死亡率與人的資源開采速度有關(guān)，多為一種線性關(guān)系，因此，某種意義上說，死亡率是內(nèi)生的。

總之，在Becker（1960）和BT的模型中，生育率和死亡率只有一個是內(nèi)生的，而另一個是外生的。而本文認(rèn)為，生育率和死亡率都是可變的，生育率本身是人可以操縱的（如在摩梭人和Tikopia島人那里所看到的），而死亡率也與一些可變因素（如資源的開采率）聯(lián)系著也是可變的。

為了更好地刻畫人對于生育的控制，應(yīng)當(dāng)在人的決策中加入生育決策，也即將生育率內(nèi)生化，同時死亡率也不應(yīng)被視為外生給定的。只有這樣，才是對人的行為的更正確更豐富的刻畫。以下建立的模型就是同時考慮了可變的生育率和死亡率的。

最后，關(guān)于人類的利他主義傾向。本文主要關(guān)心上代對下代的利他主義傾向?qū)θ说纳龥Q策的影響。這類存在于有血緣關(guān)系的親屬之間的利他，按照生物學(xué)的分類，屬于所謂的親緣利他，其根源可以追溯到基因?qū)用妗５腿祟惗?，此類利他，絕不純?nèi)粊碜杂谙忍斓倪z傳基因，它亦有文化層面的基礎(chǔ)，包括后天的道德教化、學(xué)習(xí)和模仿。而且，本文認(rèn)為，人類的利他主義傾向的強(qiáng)弱程度主要取決于文化。關(guān)于利他主義的更一般的論述，可參見文獻(xiàn)［15-16］等。

三、模型建立

考慮一個封閉的經(jīng)濟(jì)體，只有一個經(jīng)濟(jì)部門，人們利用一種可再生資源采用一種不變的技術(shù)生產(chǎn)一種產(chǎn)品。記其資源儲量為S，人口為L，生育率為b，成人人均資源消費(fèi)速度為h，資源的自然生長函數(shù)為G(S)，死亡率為h的嚴(yán)格單調(diào)下降函數(shù)f(h)，假設(shè)資源開采的成本為0，養(yǎng)育孩子的單位成本為θ，則資源儲量的運(yùn)動規(guī)律為=G(S)-(h +θb) L，人 口 的 運(yùn) 動 規(guī) 律 為=L(b-f(h))。

為簡單起見，假設(shè)新生嬰兒不會立刻死亡，即為有效生育率，成年人才有死亡。于是，b就可以看作每個人生育的子女個數(shù)，而f(h)可以看作總?cè)丝谥谐赡耆说乃劳霰壤?/p>

記該社會生產(chǎn)的產(chǎn)品的累積量為Y，其單一經(jīng)濟(jì)部門的生產(chǎn)函數(shù)為F(H,L)，則Y的運(yùn)動規(guī)律為=F(H,L)-L(h +θb)。假定生產(chǎn)產(chǎn)品沒有積累，產(chǎn)品皆被當(dāng)期消費(fèi)掉，因此≡0，于是，F(xiàn)(H,L)=L(h +θb) 。假設(shè)F為AK型，即F(H,L)=AH，其中A＞0為常數(shù)，表示技術(shù)水平，調(diào)整產(chǎn)品量綱即可使A=1（以下皆做如此假設(shè)）。于是，h+θb=H/L。

假設(shè)G(S)=rS(1 -S/K)，其中r＞0是該資源的本性增長率，而K＞0稱為此基礎(chǔ)的環(huán)境生態(tài)系統(tǒng)對資源的承載能力。顯然，此資源系統(tǒng)的最大可持續(xù)資源開采速度（MSY）為：

假設(shè)f(h)=β-αh，其中α＞0,β＞0，β表示在無該資源系統(tǒng)支撐下的人口死亡率，而α表示物質(zhì)生活水平（人均資源消費(fèi)）對死亡率降低的貢獻(xiàn)程度。另αθ＞1，即養(yǎng)育一個孩子所消耗的資源若用于養(yǎng)活成人則可以使成人死亡率的下降速度超過1。

再假設(shè)經(jīng)濟(jì)中每個人的效用函數(shù)皆為u(h,b)=ln h+γb(2B-b)，其中γ＞0,B＞0，B表示平均每人生育速度的生理上限（關(guān)于人有有限的生育速度上限的假設(shè)，顯然是具有生物學(xué)基礎(chǔ)的。平均而言，一個女人，一年最多只能生一胎。有所謂“十月懷胎”之說。這個“十月”是人這一生物物種孕育嬰兒至成熟的基本時間長度），γ表示擁有子女所感到的精神歡愉的強(qiáng)弱程度，從本質(zhì)上講，γ與利他主義無關(guān)，甚至可以說，正好相反，γ是有著利己意味的。這一效用函數(shù)中，前一部分ln h表示的是物質(zhì)享受帶來的幸福感，后一部分γb(2B-b)表示的是精神享受（孩子的存在能為自己帶來精神歡愉）帶來的幸福感，這兩部分所刻畫的皆為人基于利己的動機(jī)來度量自己所擁有的財富（包括物質(zhì)財富和精神財富）給自己帶來的幸福感，無利他成分。事實(shí)上，若仿照離散時間的OLG模型，這里的效用函數(shù)中應(yīng)當(dāng)還包括第三部分，那就是后代的效用函數(shù)的折現(xiàn)，這一部分才真正具有利他主義的意義，而其折現(xiàn)率表示的是這一利他主義傾向的強(qiáng)弱程度。由于在OLG模型中，每個人的目標(biāo)都是最大化各代人的效用函數(shù)中利己部分的折現(xiàn)之和，因此，本文只給出效用函數(shù)中的利己部分即可。

假設(shè)β充分大，使得滿足：

現(xiàn)在，基于上述關(guān)于該經(jīng)濟(jì)體的假設(shè)，本文為該經(jīng)濟(jì)建立了以下的連續(xù)時間世代交疊模型，即任何時刻出生的個人所要解決的問題都是以下優(yōu)化問題（Ρ）的子問題：

其中,S0＞0和L0＞0分別是該經(jīng)濟(jì)體初始的資源儲量和人口數(shù)量，ρ＞0為社會貼現(xiàn)率，ρ是該社會中的個人對后代的利他主義的強(qiáng)度。

張博等建立了類似的模型［17］，但其中沒有考慮養(yǎng)育孩子的成本，即假設(shè)了θ=0。但本文的假設(shè)更加符合真實(shí)世界的情景，因此，本文是對張博等的修正和拓展。

四、模型分析

記上述優(yōu)化問題（Ρ）的當(dāng)前值Hamilton函數(shù)為

其中，λ、μ分別可被解釋為資源和人口的影子價格。

由Pontryagin最大化原理可知，最優(yōu)解一定滿足：

于是，有

由此消掉λ、μ，可得關(guān)于（S，L，h，b）的一個四維動力系統(tǒng)：

其中，

優(yōu)化問題（P）的最優(yōu)路徑一定滿足此動力系統(tǒng)。

本文有以下結(jié)果，其證明可向作者索要，篇幅所限，略去。記ε=ρ/r。

命題1當(dāng)ρ≥r，即社會貼現(xiàn)率大于資源的本性增長率時，上述動力系統(tǒng)無均衡點(diǎn)；當(dāng)ρ∈(0,r)，即社會貼現(xiàn)率小于資源的本性增長率時，系統(tǒng)存在唯一均衡點(diǎn)（S*，L*，h*，b*），其中資源儲量S*=(1-ε)K/2，人口數(shù)量L*=(1-ε2)rK/[4(h*+θb*)]，人均資源消耗h*=(β-b*)/a，而生育率b*∈(0,B)且滿足：

命題2在{(ρ,r)|0＜ρ＜r}上，資源儲量S*、人口數(shù)量L*皆為r的嚴(yán)格增函數(shù)，而人均資源消耗h*、生育率b*皆與資本本性增長率r無關(guān)；資源儲量S*、人口數(shù)量L*、人均資源消耗h*皆為社會貼現(xiàn)率ρ的嚴(yán)格減函數(shù)，生育率b*為ρ的嚴(yán)格增函數(shù)。b*為人們對孩子的喜好程度γ的嚴(yán)格增函數(shù)，而h*、L*為γ的嚴(yán)格減函數(shù)，S*與γ無關(guān)。

命題3設(shè)社會貼現(xiàn)率ρ∈(0,r)。則均衡點(diǎn)S*、L*、h*、b*是鞍點(diǎn)，且存在一個二維穩(wěn)定流形和一個二維非穩(wěn)定流形，當(dāng)t→∞時此穩(wěn)定流形上的所有軌線皆趨向于該均衡點(diǎn)，而當(dāng)t→-∞時該二維非穩(wěn)定流形上的所有軌線皆趨向于該均衡點(diǎn)，其余軌線當(dāng)t→±∞時皆不趨于該均衡點(diǎn)。

命題4當(dāng)社會貼現(xiàn)率ρ充分接近資源的本性增長率r時，均衡點(diǎn)S*、L*、h*、b*在穩(wěn)定流形上是焦點(diǎn)；當(dāng)人們對于孩子的喜好程度γ足夠小或r充分大而ρ充分小時，均衡點(diǎn)S*、L*、h*、b*在穩(wěn)定流形上是結(jié)點(diǎn)。

命題5對于任意的初始自然資源儲量S0＞0和人口數(shù)量L0＞0，當(dāng)社會貼現(xiàn)率ρ∈(0,r)時，優(yōu)化問題（P）存在最優(yōu)解且其最優(yōu)路徑最終收斂于均衡點(diǎn)；而當(dāng)ρ≥r時，優(yōu)化問題（P）存在最優(yōu)解且其最優(yōu)路徑上的資源儲量和人口總量皆最終趨于0。

五、模型啟示

基于上述命題，能夠得到一些啟示。

資源本性增長率r是貼現(xiàn)率ρ的閥值，當(dāng)社會貼現(xiàn)率小于資源本性增長率時，系統(tǒng)將趨向于穩(wěn)態(tài)，而當(dāng)社會貼現(xiàn)率大于資源本性增長率時，資源儲量和人口數(shù)量都會趨向于零，該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)將會崩潰。也就是說，在一個特定的社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)之中，人們對后代的利他主義傾向的強(qiáng)度將決定整個經(jīng)濟(jì)社會是否可持續(xù)。如果該經(jīng)濟(jì)中人們不太重視子孫的福利，那么為了眼前的利益，自然資源必然會得到過度的開采，最終會使得生態(tài)系統(tǒng)不能滿足可持續(xù)發(fā)展對于資源的基本要求，進(jìn)而會導(dǎo)致整個社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的崩潰乃至整個族群的消亡。而如果經(jīng)濟(jì)中的人們非常在乎子孫的福利和生活水平，他們必然會合理地開采自然資源，控制合理的人口規(guī)模，整個經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)會出現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展的狀態(tài)。

自然資源的本性生長率r、參數(shù)γ和折現(xiàn)率ρ的取值決定了人口—資源系統(tǒng)運(yùn)行的模式。如果折現(xiàn)率ρ非常接近自然資源的本性生長率r，即使自然資源本性生長率r很大，那么，該社會的人口—資源系統(tǒng)就會出現(xiàn)周期性波動，螺旋式趨于均衡狀態(tài)。相反地，如果自然資源有著很強(qiáng)的再生能力（r很大），而人們對后代的利他主義傾向又非常強(qiáng)（ρ很?。蛘呷藗儾⒉惶谝庾訉O滿堂給自己帶來的榮耀感（γ足夠的?。?，那樣，該社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)就不會出現(xiàn)大的周期性的波動，整個人口—資源系統(tǒng)單調(diào)地趨向于穩(wěn)定狀態(tài)。

在該經(jīng)濟(jì)社會系統(tǒng)最終的穩(wěn)定狀態(tài)下，自然資源總量S*、人口數(shù)量L*均為資源的本性增長率r的嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)。即資源的自生能力越強(qiáng)，穩(wěn)態(tài)處該經(jīng)濟(jì)的自然資源總量和人口數(shù)量就越多。這和人們的經(jīng)濟(jì)直覺是一致的。但在均衡處，人均資源消耗h*、生育率b*皆與資源的本性增長率r無關(guān)。也就是說，人們的生活水平和人均撫養(yǎng)孩子的數(shù)量都與該資源自身的生長能力沒有關(guān)系?？傊?，自然資源是否豐富并不能決定人們生活水平的好壞，只要控制人口的適度規(guī)模，自然資源比較貧瘠也能做到人們生活殷實(shí)；自然資源是否豐厚也不能決定人們養(yǎng)育孩子的數(shù)量。

在該經(jīng)濟(jì)社會系統(tǒng)最終的穩(wěn)定狀態(tài)下，S*、L*、h*都是ρ的單調(diào)遞減函數(shù)。也即，人們越是在乎后代人的福利，則后代所享有的資源總量和人口數(shù)量也就越多，人均消費(fèi)水平也越高，這和人們的直覺是一致的，即該經(jīng)濟(jì)中的人越是珍視后代，后代的人均福利水平越高。但，b*是ρ的嚴(yán)格增函數(shù)，就是說，社會越珍視后代，人均養(yǎng)育孩子的數(shù)量會越少。這一點(diǎn)是發(fā)人深省的。人們越珍視后代，為了給予他們高質(zhì)量的生活，就越不會多生。

在該經(jīng)濟(jì)社會系統(tǒng)最終的穩(wěn)定狀態(tài)下，b*為γ的嚴(yán)格增函數(shù)，而h*、L*皆為γ的嚴(yán)格減函數(shù)。喜歡孩子自然會多生，此處的喜歡指的是孩子的存在給自己帶來的精神愉悅，主觀動機(jī)是利己的，而非利他的?？梢钥吹?，這種意義上的對孩子的喜歡，越喜歡，每個人就越想多生孩子，而這樣帶來的結(jié)果是人均資源占有量自然就會更少，生活質(zhì)量越下降，死亡率越高，最終導(dǎo)致人口總量反而會越少。而S*與γ是無關(guān)的，也就是說最終社會的資源總量與該經(jīng)濟(jì)社會中個人對于孩子的喜好是無關(guān)的。

最后，考慮社會貼現(xiàn)的合理程度問題。在該經(jīng)濟(jì)社會系統(tǒng)最終的穩(wěn)定狀態(tài)下，資源的消耗速度H*=(1-ε2)rK/4并非該資源最大的可持續(xù)消耗速度ˉH，同樣地，S*也并非是最大的資源儲量水平S=K/2，它們都是經(jīng)過社會貼現(xiàn)率調(diào)整后的水平。但當(dāng)社會貼現(xiàn)率ρ→0時，穩(wěn)態(tài)時的各變量S*、L*、h*、b*趨向于一個有限的值此種情況下，該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中所擁有的自然資源總量、總的資源開采量最大，人口數(shù)量最多，人均擁有的子女個數(shù)也最多，但人均消耗的資源也即人均生活水平最低。這也說明，應(yīng)該有一個適當(dāng)合理的社會貼現(xiàn)率水平。另一方面，如果社會貼現(xiàn)率很大，甚至大于資源的本性生長率，那么最終該社會的資源總量、人口數(shù)量都將趨向于0，整個資源—人口系統(tǒng)就會崩潰。所以，社會貼現(xiàn)率較大也會影響經(jīng)濟(jì)社會的可持續(xù)發(fā)展?？傊?，一個經(jīng)濟(jì)社會擁有適當(dāng)?shù)纳鐣N現(xiàn)率是比較重要的，它關(guān)乎該經(jīng)濟(jì)社會能否實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展以及人們的生活福祉。

應(yīng)該看到，參數(shù)γ和ρ的取值是受文化影響的。在有多子多福這樣觀念的民族中，γ較大，在一定的環(huán)境壓力之下，常會發(fā)生人口—資源的大幅震蕩。若無此類觀念，而且整個社會中對后代的利他主義傾向強(qiáng)烈時，人們反而會主動控制人口增長，這樣可使得整個社會與自然之間有著平穩(wěn)的發(fā)展。在這方面，摩梭人是人與自然和諧共處的一個典型樣板。

六、結(jié)論及政策建議

本文針對以可再生資源為基礎(chǔ)的封閉經(jīng)濟(jì)，建立了一個連續(xù)時間OLG模型，其中自然資源開采速度和人的生育速度是人的決策變量。本模型拓展了經(jīng)典的BT模型，展示了自然資源產(chǎn)權(quán)制度、人類的利他主義傾向、自然資源的再生能力等因素對人口-資源系統(tǒng)的運(yùn)行模式所產(chǎn)生的影響。

從模型分析可以看到，在一個社會的文化中，即使存在明確的產(chǎn)權(quán)制度，自然資源再生能力很強(qiáng)，但人們對后代的利他主義傾向過低，勢必過度開采自然資源，最終致使整個人口—資源系統(tǒng)出現(xiàn)周期性大波動甚至歸于崩潰。而當(dāng)人們對后代有著強(qiáng)烈的利他主義傾向時，即使自然資源的再生能力并不很強(qiáng)，只要有著明晰的自然資源產(chǎn)權(quán)制度，人們會主動控制生育以抑制人口的過快增長，同時適度開采自然資源，這樣也可使人口—資源系統(tǒng)最終單調(diào)趨向于穩(wěn)定狀態(tài)，避免系統(tǒng)出現(xiàn)大的周期波動。

本文討論的是封閉經(jīng)濟(jì)體，而在當(dāng)今世界政治版圖中，每一國的經(jīng)濟(jì)都與外部世界聯(lián)系著，因此，似乎更有現(xiàn)實(shí)意義的討論應(yīng)是針對開放經(jīng)濟(jì)的。然而，即使考慮的是開放經(jīng)濟(jì)，一個自然資源貧乏的國家可以從自然資源豐富的國家進(jìn)口資源而不必在意自身自然資源的壓力，這一想法在短期內(nèi)是可行的，但是從更長遠(yuǎn)的角度來看，自然資源豐富的國家為了眼下的利益而瘋狂開采、出口資源，最終也會導(dǎo)致自然資源的崩潰，進(jìn)而影響到全球經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。本文認(rèn)為，即便針對的是開放經(jīng)濟(jì)，需要考慮不同國家之間的博弈，模型會更加復(fù)雜一些而已，但主要結(jié)論，其中尤其是人對自然的態(tài)度以及在考慮到環(huán)境壓力之下的人對生育的態(tài)度等，應(yīng)該大體是一致的。

本文的分析對于當(dāng)下的中國也是具有啟示意義的。為了在中國這片土地上生存繁衍的中華民族的長遠(yuǎn)利益，面對人口激增、資源枯竭與環(huán)境惡化的狀況［18］，應(yīng)該重視經(jīng)濟(jì)、自然和人口之間的協(xié)同發(fā)展，在經(jīng)濟(jì)發(fā)展尚處于趕超發(fā)達(dá)國家階段且自然資源和環(huán)境壓力相當(dāng)大而人口基數(shù)過大的情況下，主動地控制人口的過快增長是必要的。一些具有很高生態(tài)價值的地區(qū)，過多的人口應(yīng)適當(dāng)遷出。本文的討論可視為對“計(jì)劃生育”政策的一種支持，反對時下一些人取消計(jì)劃生育完全放開生育限制的提法。

當(dāng)然，本文的討論仍然是某種意義上的定性討論，并不是針對現(xiàn)實(shí)中國的實(shí)證研究，并沒有給出具體的人口控制的程度。原有的計(jì)劃生育政策是否需要調(diào)整，調(diào)整到什么程度，到底是一胎還是單獨(dú)二胎還是自由二胎甚至三胎，哪個更好，不在本文的討論之列。這需要考慮人口結(jié)構(gòu)、老齡化、年輕人的創(chuàng)造力、大眾普遍的教育水平等。

本文的粗略看法是，放開生育、人口結(jié)構(gòu)年輕化既有正面效應(yīng)也有負(fù)面效應(yīng)，正面效應(yīng)就是老齡化問題消失，社會創(chuàng)造力增強(qiáng)，而負(fù)面效應(yīng)至少包括資源環(huán)境壓力增大人均產(chǎn)出（可能）下降。而總的效應(yīng)是正是負(fù)，就要結(jié)合當(dāng)下中國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和大眾普遍的教育水平而定。就目前而言，放開生育，社會創(chuàng)造力就會顯著增強(qiáng)的局面未必能夠?qū)崿F(xiàn)，因?yàn)樵敢舛嗌⒆拥那∏≈饕秦毨Ш臀幕捷^低的家庭，因此，這樣的家庭生產(chǎn)出更多的年輕人也不能使得社會的創(chuàng)造力增強(qiáng)，而它的負(fù)面效應(yīng)，環(huán)境壓力增大，倒是躲不開的，而人均GDP也可能隨之下降進(jìn)而使得中國人的平均生活水平下降。因此，必須要顧及整個經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平和大眾教育水平的提高，在這個過程中，逐漸放開生育限制。在這個過程中，自然資源的利用、人的生育、消費(fèi)、社會資本的積累、教育投資的增長等，都要統(tǒng)籌安排。更具體的內(nèi)容，當(dāng)另文討論。

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