李明璇,張景旭,陳寶剛,楊 飛

(1.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所,吉林 長(zhǎng)春 130033；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049)

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·紅外技術(shù)及應(yīng)用·

Slope RMS在三鏡支撐設(shè)計(jì)與面形評(píng)價(jià)中的應(yīng)用

李明璇1,2,張景旭1,陳寶剛1,楊 飛1

(1.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所,吉林 長(zhǎng)春 130033；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049)

針對(duì)鏡面面形均方根(RMS)無(wú)法反映表面面形的空間頻域特性,借鑒了國(guó)際上先進(jìn)的斜率均方根(Slope RMS)作為面形評(píng)價(jià)方法。本文以2 m級(jí)望遠(yuǎn)鏡三鏡作為例子,將Slope RMS作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),計(jì)算了支撐點(diǎn)的位置,給出的支撐之后面形誤差RMS值為6.88 nm,在空間間隔為0.25 mm時(shí)的Slope RMS值為0.17809 μrad。利用Zernike多項(xiàng)式作為面形擬合基底函數(shù),將對(duì)成像質(zhì)量沒有影響的剛體位移從面形誤差中分離出來(lái),得到最終的面形誤差的RMS值為3.30 nm,在空間間隔為0.25 mm時(shí)的Slope RMS值為0.15943 μrad。研究結(jié)果表明,以Slope RMS為目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化支撐點(diǎn)的支撐結(jié)果位置滿足光學(xué)設(shè)計(jì)的要求,對(duì)更大口徑光學(xué)元件的支撐設(shè)計(jì)提供了一種指導(dǎo)方法。

斜率均方根；三鏡支撐；澤尼克多項(xiàng)式；面形擬合

1 引 言

隨著近年來(lái)光電設(shè)備的系統(tǒng)口徑不斷增加,相應(yīng)的光學(xué)元件表面形狀誤差的評(píng)價(jià)與檢測(cè)的難度越來(lái)越大。在中小口徑的光學(xué)系統(tǒng)中,普遍采用表面均方根(RMS)作為光學(xué)元件的面形評(píng)價(jià)方法。但是對(duì)于面形誤差頻域特性越來(lái)越復(fù)雜的大口徑光學(xué)元件,對(duì)于某一定值的RMS,可能具有不同的頻域分布,進(jìn)而導(dǎo)致了對(duì)于后續(xù)光學(xué)系統(tǒng)的影響也不盡相同。另一方面,由于RMS不具有頻域特性,其結(jié)果很難與系統(tǒng)傳函數(shù)、點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)以及結(jié)構(gòu)函數(shù)等廣泛使用的評(píng)價(jià)方法進(jìn)行聯(lián)系。

基于以上原因,實(shí)際應(yīng)用中就很需要一種能夠反映頻域特性的評(píng)價(jià)方法。斜率均方根(Slope RMS)是近年來(lái)由國(guó)外的研究人員提出的用來(lái)評(píng)價(jià)大尺度的表面起伏,可以更加詳盡地反映光學(xué)表面的面形特征。

望遠(yuǎn)鏡的第三反射鏡的主要功能是折轉(zhuǎn)光路,在工作狀態(tài)下,三鏡的面形將影響最終的成像質(zhì)量,要求由支撐帶來(lái)的面形誤差盡可能地少,所以要對(duì)支撐點(diǎn)位置進(jìn)行優(yōu)化,尋找到最佳的支撐點(diǎn)的位置[1-4]。

在本文中,首先對(duì)于描述了2 m級(jí)望遠(yuǎn)鏡三鏡的具體工況,提出了所要優(yōu)化的具體問題；之后基于Zernike多項(xiàng)式,以及斜率均方根對(duì)于三鏡支撐點(diǎn)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算。最后對(duì)于該三鏡的面形誤差的Slope RMS值為0.17809 μrad,RMS值為6.88 nm；在去除掉piston和tip/tilt之后的面形誤差的Slope RMS值為0.15943 μrad,RMS值為3.30 nm。

2 Slope RMS與三鏡的支撐點(diǎn)優(yōu)化

采用RMS評(píng)價(jià)鏡面面形,會(huì)忽略掉面形誤差的頻域性質(zhì)。近年來(lái),斜率均方根(Slope RMS)被提出以更好地表征鏡面上的頻域能量分布,更加適用于大口徑的光學(xué)鏡面的評(píng)價(jià)。Slope RMS的定義為:

(1)

(2)

由圖1可知,在空間頻率較為小時(shí),Slope RMS值隨其增大而迅速下降,當(dāng)空間間隔大于一定數(shù)值時(shí),Slope RMS值變化放緩,此時(shí)的空間頻率稱為截止頻率。

圖1 不同空間間隔下的Slope RMS值

2.2 三鏡支撐點(diǎn)設(shè)計(jì)

表1 三鏡尺寸參數(shù)(單位：mm)

在確定軸向支撐點(diǎn)的數(shù)目時(shí),應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得出滿足面形精度要求時(shí)的最少支撐點(diǎn)數(shù)目。Hall在1970年給出的最少支撐點(diǎn)數(shù)目計(jì)算公式為：

記錄傳統(tǒng)形心算法和窗寬自適應(yīng)形心修正算法對(duì)同一波形的仿真結(jié)果，再將其與真值的差作為誤差.仿真基于10 ns脈沖寬度，ADC采樣率為2G SPS，ADC的量化輸入范圍是0～400 mV，兩種算法對(duì)飽和度在50%～1 000%的波形在不同的信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)條件下分別進(jìn)行5 000次仿真，分析算法的精度，統(tǒng)計(jì)在不同飽和度和SNR條件下的最大誤差，SNR指ADC輸入量化范圍和噪聲比值.

(3)

其中,N為最少支撐點(diǎn)數(shù)目;DG,tA,ρG,EG分別為反射鏡的直徑、厚度、密度和彈性模量。取δ=5 nm為可接受的鏡面變形量時(shí),計(jì)算得到N=2.71,即最少需要3個(gè)軸向支撐點(diǎn)支撐。

剛體在自由狀態(tài)下?lián)碛?個(gè)自由度,反射鏡的支撐要在不過定位的狀態(tài)下完全約束住這些自由度,且在任意位姿都能夠滿足受力平衡條件：

(4)

三鏡支撐要恰好滿足以上方程,所以三鏡的底支撐與側(cè)支撐之間要相互獨(dú)立[11-12]。其中,在底支撐的側(cè)向采用了柔性環(huán)節(jié),使它的側(cè)向剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于其軸向剛度,這樣可以放開底支撐上的側(cè)向的自由度,單一的底支撐限制住了Uz方向的自由度,三個(gè)底支撐聯(lián)合在一起可以限制Rotx和Roty向自由度；側(cè)支撐的膜片結(jié)構(gòu)可以保證垂直于膜片表面的軸向剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于平行于膜片表面的側(cè)向剛度,即在側(cè)支撐上放開了底支撐方向的自由度,限制住了Ux、Uy和Rotz方向的自由度。底支撐和側(cè)支撐之間沒有相互耦合,并恰好完全約束住了反射鏡的剛體自由度,達(dá)到了支撐的要求。

2.3 三鏡支撐點(diǎn)優(yōu)化

以Slope RMS作為鏡面面形優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù),優(yōu)化過程的設(shè)計(jì)變量為L(zhǎng)1、L2、L3。取鏡面變形最大時(shí)的工況,即重力垂直于鏡面向下,優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)描述為：

minf=f(L1,L2,L3)

(5)

本文采用ANSYS中的OPT模塊進(jìn)行分析,采用APDL參數(shù)化建模語(yǔ)言建立鏡面模型,并用Solid45單元對(duì)鏡體進(jìn)行網(wǎng)格劃分,求解設(shè)計(jì)變量L1,L2,L3的最優(yōu)值。在優(yōu)化分析時(shí),為了模擬鏡子在支撐時(shí)的受力情況,將邊界條件設(shè)置為：約束底支撐孔的下邊線Uz,Rotx和Roty方向的自由度,約束側(cè)支撐膜片對(duì)應(yīng)鏡體處結(jié)點(diǎn)的Ux,Uy和Rotz方向的自由度。再在垂直于鏡面向下的方向添加重力加速度,模擬鏡子水平放置時(shí)的工況。求解時(shí)以鏡面面形的Slope RMS值為優(yōu)化目標(biāo),最終的設(shè)計(jì)變量最優(yōu)值為：L1=98.93 mm,L2=63.29 mm,L3=62.10 mm；此時(shí)的鏡面面形的Slope RMS值為0.17809 μrad,RMS值為6.88 nm。圖2為最終的面形云圖。

圖2 表面變形云圖

3 采用Zernike多項(xiàng)式分離低階相差

3.1 Zernike多項(xiàng)式

理想的光學(xué)表面都是光滑且連續(xù)的,而從有限元分析中導(dǎo)出的光學(xué)表面上結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)與其位移是離散的。在后續(xù)的分析中,需要將這離散的點(diǎn)擬合為光滑連續(xù)的表面,稱之為鏡面擬合,并且普遍使用的是Zernike多項(xiàng)式法。鏡面的面形誤差可以分為很多類型,有的對(duì)最終成像影響不大,Zernike擬合面形可以連續(xù)的面形誤差給予分類與分離,離散出不同的面形誤差類型。通過忽略掉對(duì)成像影響較小的面形誤差,可以降低對(duì)鏡面加工和鏡體支撐的要求[13-15]。

在鏡面擬合中,Zernike多項(xiàng)式具有如下的優(yōu)點(diǎn)：

(1)Zernike多項(xiàng)式在單位圓上正交。

(6)

(2)與Seidel相差具有相關(guān)性,Zernike多項(xiàng)式的直角坐標(biāo)下表達(dá)式和各項(xiàng)數(shù)意義如表2所示。

(3)多項(xiàng)式中的各項(xiàng)物理意義明確且線性無(wú)關(guān),能夠作為結(jié)構(gòu)分析與光學(xué)分析之間的接口。

在直角坐標(biāo)系下N階Zernike多項(xiàng)式的表達(dá)式為：

=a1Z1(x,y)+a2Z2(x,y)+…+aNZN(x,y)

(7)

其中,Zi為Zernike多項(xiàng)式中的第i項(xiàng);ai為它的系數(shù);x,y是數(shù)據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)值。由于本例鏡子支撐點(diǎn)較少,由支撐帶來(lái)的像差的階數(shù)不會(huì)很高,所以選用10階精度已經(jīng)達(dá)到要求,可以對(duì)鏡面進(jìn)行擬合。

3.2 擬合分析過程

將此前的分析數(shù)據(jù)導(dǎo)出并進(jìn)行歸一化,即將結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)歸一化至單位圓內(nèi)。歸一化之后的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)x=x/a,y=y/b。將歸一化之后的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行均勻化差值,使其在單位圓域內(nèi)均勻分布。即可計(jì)算Zernike基底函數(shù)和Zernike多項(xiàng)式系數(shù)。

由于重力的方向?yàn)榇怪庇诠廨S向下,即主要的變形產(chǎn)生與z方向,x與y方向的變形引起鏡面高度的變化是由泊松比引起的,可以忽略不計(jì)。將得到xi、yi和ΔZi(i=1,2,3,…,k,k為鏡面結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù))代入N階Zernike多項(xiàng)式中去：

(8)

以上表達(dá)式可以簡(jiǎn)寫為：Za=ΔZ。

其中,Z為n×k矩陣,a=(a1,a2,…aN)T,ΔZ=(ΔZ1,ΔZ2,…,ΔZN)T。經(jīng)過計(jì)算得到Zernike多項(xiàng)式前10階的系數(shù)如表2所示。

表2 Zernike多項(xiàng)式在直角坐標(biāo)下的表達(dá)式、意義和擬合系數(shù)

在三鏡的支撐系統(tǒng)中,設(shè)置有相應(yīng)的調(diào)整環(huán)節(jié),Zernike多項(xiàng)式中的前三階相差(光軸的方向平移和關(guān)于x,y軸的旋轉(zhuǎn))是可以消除掉的。根據(jù)此前計(jì)算的Zernike系數(shù),可以計(jì)算得到除去低階像差后的面形評(píng)價(jià)如表3所示。圖3(a)是經(jīng)差值與歸一化之后的鏡面面形,圖3(b)是去除剛體位移之后的鏡面面形云圖。

表3 擬合結(jié)果分析

圖3 經(jīng)歸一化插值與除去低階像差后的鏡面面形

之后,針對(duì)不同空間頻率計(jì)算得到鏡面面形誤差的Slope RMS和RMS值。

從圖4和圖5對(duì)比得出,Slope RMS隨著空間間隔的變化而變化,可以反映有關(guān)空間頻率頻率的信息,而RMS值不能反映空間頻率的信息。本文以三點(diǎn)支撐的三鏡作為分析例子,而去除掉剛體位移之后的三點(diǎn)支撐的面形還存在著大量諸如離焦和像散等其他種類的像差。在30 m望遠(yuǎn)鏡(TMT)中,由于主鏡采用拼接形式的主動(dòng)光學(xué),在三鏡的Zernike擬合面形中,低階的像散可以一并除去,最終能夠達(dá)到非常好的面形結(jié)果。接下來(lái)的工作是以更大口徑的望遠(yuǎn)鏡三鏡作為設(shè)計(jì)優(yōu)化目標(biāo),并以Slope RMS作為優(yōu)化時(shí)的目標(biāo)函數(shù)和最終的面形評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),帶來(lái)更多的工程應(yīng)用。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)RMS在面形評(píng)價(jià)中會(huì)忽略掉其空間頻率特征的缺點(diǎn),提出了采用Slope RMS作為面形評(píng)價(jià)方法,并以兩米級(jí)望遠(yuǎn)鏡的第三反射鏡作為例子,優(yōu)化設(shè)計(jì)了其支撐點(diǎn)位置,在空間間隔為0.25 mm 時(shí)得到最優(yōu)解的面形誤差Slope RMS值為0.17809 μrad,RMS為6.88 nm。

圖5 RMS值與空間間隔的關(guān)系

聯(lián)合Zernike多項(xiàng)式函數(shù)對(duì)面形模擬分析,將面形誤差離散分離,通過去除掉可以通過裝調(diào)改正的低階相差,在空間間隔為0.25 mm時(shí)的最終面形誤差Slope RMS為0.15943 μrad,RMS為3.30 nm。為更大口徑的光學(xué)元件的支撐設(shè)計(jì)與面形評(píng)價(jià)提供了一種可行的方法。

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Application of Slope RMS in the figure evaluation and support design of the tertiary mirror

LI Ming-xuan1,2,ZHANG Jing-xu1,CHEN Bao-gang1,YANG Fei1

(1.Changchun Institute of Optics,Fine Mechanics and Physics,Chinese Academy of Sciences,Changchun 130033,China；2.University of Chinese Academy of Science,Beijing 100049,China)

As the Root-Mean-Square (RMS) cannot specify the spatial frequency of the mirror surface figure,the Slope-Root-Mean-Square (Slope RMS) is applied to evaluate the mirror surface figure.Taking the tertiary mirror of 2 m scale telescope as an example,Slope RMS was used to optimize objective function and the locations of supporting points were calculated.The obtained RMS of surface figure error is 6.88 nm,and the Slope RMS is 0.17809 μrad when the spatial separation is 0.25 mm equally.Using the Zernike polynomials as the foundation function of surface figure fitting,it can separate rigid body displacement which has less influence on the imaging quality from surface figure error,and the final RMS of surface figure error is 3.30 nm,and the Slope RMS is 0.15943 μrad when the spatial separation is 0.25 mm.The results of optimization can meet the design requirements,and it provides guidance for supporting design of large optical element.

Slope RMS;tertiary mirror support;Zernike polynomials;surface figure fitting

1001-5078(2015)11-1349-06

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(No.11403022)資助。

李明璇(1990-)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)榇罂趶酵h(yuǎn)鏡三鏡設(shè)計(jì)。E-mail：lmx325@163.com

2015-03-06;

2015-04-15

TH751

A

10.3969/j.issn.1001-5078.2015.11.013